le basi numeriche

le basi numeriche
Quarantaquattro gatti in fila per sei con resto di due…
cantava una bimba allo Zecchino d’Oro di tanti anni fa…
E’ caratteristico dell’uomo suddividere una quantità in tanti gruppetti.
Se vogliamo suddividere quarantaquattro gatti, lo possiamo fare dividendoli in gruppetti da dieci e otterremo
4 gruppetti da dieci più quattro gattini a formare un gruppettino da quattro.
Quindi quarantaquattro = 4Xdieci+quattro
Ma potremmo anche suddividere l’insieme dei gatti in file di sei ed otterremo sette file da sei più una
microfila da due gatti.
Quindi quarantaquattro= setteXsei+due.
Se il numero fosse grande?
Ad esempio, trecentocinquanta soldati che formano delle truppe da dieci per ogni truppa?
Si otterrebbe trecentocinquanta = trentacinque X 10 soldati
oppure se il centurione decide di dividerli in truppe da sette: trecentocinquanta= cinquanta X sette soldati.
Quando i numeri sono grandi si può pensare di dividere il numero in gruppi via via più numerosi, ad
esempio, per trecentocinquanta: 3 gruppi da cento +5 gruppi da dieci + basta
quattrocentocinquantasei= 4 gruppi da cento+5 gruppi da dieci +sei
trecentoquattro= 3 gruppi da cento+nessun gruppo da dieci +quattro
Questo sistema di suddividere un insieme in sottoinsiemi via via più grandi è alla base di una delle PIU’
GRANDI INVENZIONI DELL’UOMO (paragonabile a quella della ruota o del fuoco).
Il sistema posizionale dei numeri: usare il numero di sottoinsiemi con cui sono suddivise le quantità per
rappresentare la quantità.
Fissato un numero base, che può essere un qualsiasi numero naturale b più grande di uno, si costruiscono i
sottoinsiemi formati da b elementi, b2 elementi, b3 elementi e così via, per rappresentare il numero si
indicano poi solo i numeri dei sottoinsiemi, così composti.
Pensiamoci, se dico quarantaquattro, intendo un insieme con quel numero di elementi, se SCRIVO 44,
intendo 4X10+4, ossia uso la base dieci. In questo modo basta avere dieci simboli diversi, che hanno il
seguente aspetto: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 per rappresentare TUTTI i numeri. Direte, come faccio a rappresentare
dieci? Facile, basta 1 gruppetto da dieci: 1Xdieci+niente= 10, 23 =2 gruppetti da dieci +3 unità,
trecentocinquantadue= 3 gruppetti da cento +5 gruppetti da dieci+due unità=352.
Ma si può usare anche una qualsiasi altra base: la bambina dello zecchino usa la base sei e quindi
quarantaquattro=7 gruppetti da sei +due unità = 72 (che però non si leggerà settantadue, visto che tale
parola ha in sé la base dieci: settanta= sette volte dieci).
In base sei: (44)10=36+6+2=1X62+1X6+2=(112)6
I circuiti elettronici possono essere o accesi o spenti: è utile dividere un numero in gruppetti da due, in
maniera tale che bastano solo due simboli: 0 e 1.
Ad esempio quarantaquattro= 1 gruppetto da trentadue +0 gruppetti da sedici+1 gruppetto da otto+1
gruppetto da quattro+0 gruppetti da due +0gruppetti di unità= 101100= 1X25+0X24+1X23+1X22+0X2+0X1.
bastano sei circuiti: Circuito acceso, circuito spento, circuito acceso, circuito acceso, circuito spento, circuito
spento.
Fissata quindi un numero b, detto base, si scelgono b simboli : 0,1,…b-1, per rappresentare qualsiasi numero,
utilizzando i coefficienti dello sviluppo.
In questo modo, la rappresentazione dipende dalla POSIZIONE delle cifre ed inoltre è necessario un simbolo
per indicare l’ASSENZA di sottoinsiemi di quella particolare numerosità. Tale simbolo è lo ZERO. Senza
l’invenzione dello ZERO non potrebbe esistere nessuna rappresentazione posizionale.
Infatti il sistema romano, che è additivo e non posizionale, è costretto ad usare sempre nuovi segni per
indicare numeri sempre più grandi e non esiste lo zero.
Risultati che dipendono dalla base:
Un numero è divisibile per tre o per nove se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per tre o per nove
Questo risultato VALE SOLO in base dieci:
Infatti:
ad esempio, per 357: 357=3X100+5X10+7= 3X(99+1)+5X(9+1)+7= 3X99+5X9+3+5+7. essendo 99 e 9
divisibili per tre e per nove, basta che 3+5+7 sia divisibile per tre e per nove.
La strana regola della divisione per 11:
abc= aX100+bX10+1= aX(99+1)+bX(11-1)+c= aX99+bX11+a-b+c . Quindi essendo 99 e 11 divisibili per
11, basta che lo sia a-b+c.
Queste regole si possono dimostrare per numeri qualsiasi, arbitrariamente grandi.
Se il numero fosse scritto in un’altra base, le regole cambiano, adattandosi alla nuova base:
se N è scritto in base b, N è divisibile per b-1 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per b-1
se N è scritto in base b, N è divisibile per b+1 se e solo se la somma di segno alterno delle sue cifre è
divisibile per b+1
Gli algoritmi delle OPERAZIONI si basano tutti sulla notazione posizionale dei numeri:
35 X
36=
___
210
105
______
1260
PERCHE’?
35X36= 35X(30+6)=35X30+35X6=35X6+(35X3)X10= 210+1050 Ecco perché si sposta il
secondo risultato di un posto verso sinistra