Esercizi vari

Esercizi vari
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Moduli
Esercizio 1. Sia
f :Z→N
f (x) = 2|x| + 3.
f è una funzione? Se si, dire se è iniettiva, suriettiva o biunivoca.
Esercizio 2. Sia
f :Z→N
f (x) = |x|.
f è una funzione? Se si, dire se è iniettiva, suriettiva o biunivoca.
Esercizio 3. Sia
f :Z→Z
f (x) = |x| − 2.
Verificare che non è una funzione iniettiva e suriettiva. Si modifichi l’insieme
l’insieme d’arrivo per renderla una funzione suriettiva.
Esercizio 4. Si consideri la relazione R ⊆ Z × Z tale che
xRy
⇐⇒
|x| = |y|
quali proprietà ha R (riflessiva, simmetrica, ...)? Se di equivalenza, determinare l’insieme quoziente.
1
2
Classi di resto
Esercizio 5. Dire se 33 − 3 è divisibile per 12?
[Si]
Esercizio 6. Sia n ∈ N un generico numero naturale tale che sia la somma
di un multiplo di 4 e di 6, dire se sono vere o false le seguenti affermazioni
(i) n è sicuramente pari,
(ii) n è dispari,
(iii) n è sicuramente multiplo di 3,
(iv) n è sicuramente multiplo di 4.
[Vero, Falso, Falso, Falso.]
Esercizio 7. Sia n un numero naturale che ha resto 5 nella divisione per 6.
Quale resto ha nella divisione per 6 n2 ?
Se m è un numero naturale tale che m ≡ 3mod6 quale è il resto della
divisione per 6 di n + m?
[1, 2]
Esercizio 8. Esiste un numero x ∈ N tale che 2x ≡ 1mod6?
[No]
Esercizio 9. Esiste un numero y ∈ N tale che 5y ≡ 1mod6?
[y ≡ 5mod6]
Esercizio 10. Calcolare 14233 modulo 7.
[14233 ≡ 1mod7]
Esercizio 11. Si consideri la congruenza modulo 5. A quale classe di resto
appartiene a = 84 ? e a3 ?
[1, 1]
Esercizio 12. Che resto deve avere il numero n ∈ N diviso per 5 perché
n2 + n − 16 sia multiplo di 5?
[2]
2
3
Numeri primi e MCD
Esercizio 13. 409 è un numero primo?
Esercizio 14. Verificare che 85 e 91 sono primi tra loro.
Esercizio 15. ∀n ∈ N verificare che n e 5n + 1 sono primi tra loro.
Esercizio 16. Calcolare quoziente e resto nella divisione di a per b dove
(i) a = 72 e b = −15,
(ii) a = −72 e b = −15,
(iii) a = −72 e b = 15.
(Si ricorda che il resto è un numero naturale tale che 0 ≤ r < |b|.)
[q = −4, r = 12; q = 5, r = 3; q = −5, r = 3]
Esercizio 17. Trovare il massimo comun divisore tra i seguenti numeri
mediante l’algoritmo di Euclide:
(i) MCD(1230, 504)
(ii) MCD(346, 789)
(iii) MCD(1389, 378)
(iv) MCD(792, 276)
(v) MCD(1435, 455, 616)
(vi) MCD(1279, 345)
(Si ricorda che l’algoritmo di Euclide è un metodo iterativo in cui si scrive
a = qb + r; b = q1 r + r1 e a = qq1 r + r1 fino a che si ottiene a = qn rn , b = kn rn
e quindi MCD(a, b) = rn . Scrivere dopo ogni passaggio la rappresentazione
di a e b ottenuta.)
[6, 1, 3, 12, 7, 1]
Esercizio 18. Sia n ∈ N tale che n ≡ 1mod7 e n ≡ 0mod3. Quanto vale
MCD(n, 21)? Si motivi la risposta.
[3]
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