Come mostrato schematicamente in figura, il corpo A

Come mostrato schematicamente in figura, il corpo A di massa MA =0.5 kg è appoggiato
su una superficie orizzontale scabra con coefficiente di attrito dinamico μD= 0.3 ed il
corpo B, di massa MB= MA, è collegato al soffitto tramite una fune inestensibile di massa
trascurabile e di lunghezza L = 2 m. All’istante iniziale, t =0, si osserva che il corpo A si
trova a distanza d=30 cm dal corpo B, si muove verso il corpo B con velocità 𝑣𝑣" =4𝑥𝑥 m/s,
che la fune è verticale ed il corpo B è fermo. Si considerino i
due corpi puntiformi e si trascuri ogni attrito fra fune e soffitto.
All’istante t1>0 il corpo A urta il corpo B e l’urto è tale che
immediatamente dopo l’urto la somma delle energie
cinetiche dei due corpi è pari alla metà dell’energia cinetica
posseduta dal corpo A immediatamente prima che il corpo
A urti il corpo B.
1) Si dica quale tipo d’urto avviene fra i due corpi (elastico, parzialmente anelastico e
completamente anelastico) e si determini la velocità dei due corpi immediatamente dopo
l’urto.
2) Considerando che, qualunque sia il tipo d’urto, i corpi rimangono separati e non
formano un corpo unico, si dica quale è l’angolo massimo θmax a cui giunge il corpo B
dopo l’urto.
3) A quale istante di tempo t1 il corpo B raggiunge per la prima volta l’angolo massimo
θmax ( Si ricordi che all’istante t =0 s il corpo A si trova a distanza d dal corpo B).
4) Si trovi il modulo della forza esercitata dalla fune sul soffitto negli istanti successivi
all’urto in funzione dell’angolo fra la fune e la verticale. Si dica in quale punto il modulo
della forza è massimo e se ne calcoli il valore numerico.
Soluzione
1) Il corpo A scivola in presenza della forza di attrito la cui componente lungo l’asse x è 𝐹𝐹&'' =
−𝜇𝜇* 𝑀𝑀𝑀𝑀. L’accelerazione del corpo lungo x è, perciò costante ed ha componente a=-μDg.
Chiamiamo vf la velocità del corpo A nell'istante immediatamente precedente l'urto. Dal teorema
dell'energia cinetica applicato al corpo A, fra l’istante iniziale e quello dell’urto con il corpo B, si
.
.
ricava −𝑀𝑀𝜇𝜇* 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝑀𝑀𝑣𝑣0/ − 𝑀𝑀𝑣𝑣"/ e, quindi la velocita’ 𝑣𝑣0 = 𝑣𝑣"/ − 2𝜇𝜇* 𝑔𝑔𝑔𝑔= 1,33 m/s.
/
/
2) Nell'urto si conserva il momento della quantità di moto calcolato rispetto al punto O di
sostegno del filo, chiamando vA e vB le velocità delle due masse immediatamente dopo l'urto
Da tale relazione si evince che anche
possiamo scrivere:
𝐿𝐿×𝑀𝑀𝑣𝑣0 = 𝐿𝐿×𝑀𝑀𝑣𝑣5 + 𝐿𝐿×𝑀𝑀𝑣𝑣7 .
la quantità di moto si conserva
𝑀𝑀𝑣𝑣0 = 𝑀𝑀𝑣𝑣5 + 𝑀𝑀𝑣𝑣7 = 2𝑀𝑀𝑣𝑣89: dove
𝑣𝑣89: =
;< =;>
/
=
;?
/
la velocità del centro di massa (del sistema composto da A e B) immediatamente dopo l'urto,
è
quindi al c.d.m. possiamo attribuire una energia cinetica pari a
.
/
;?
/
2𝑀𝑀𝑣𝑣89:
= 𝑀𝑀
Scriviamo l'energia del sistema A+B utilizzando il teorema di Koenig:
/
.
/
.
/
+ 𝐾𝐾 C
𝐾𝐾ABA = 2𝑀𝑀𝑣𝑣89:
/
(dove 𝐾𝐾 C è l'energia cinetica nel S.R. del c.d.m.) e ricordiamo che per i dati del problema
. .
𝑀𝑀𝑣𝑣0/ . Eguagliando le due espressioni abbiamo:
𝐾𝐾ABA =
/ /
.
/
𝐾𝐾ABA = 2𝑀𝑀𝑣𝑣89:
+ 𝐾𝐾 C = 𝑀𝑀
/
;?
/
/
+ 𝐾𝐾 C =
. .
/ /
𝑀𝑀𝑣𝑣0/
e cioè
𝐾𝐾 C = 0!!!!
L'urto è completamente anelastico !. Entrambi i corpi si muovono, separatamente,
immediatamente dopo l’urto con la velocità vA = vB =vcdm = 0.665 m/s.
Dopo l’urto l’energia meccanica del corpo B si conserva l’energia meccanica e θmax viene
raggiunto quando l’energia cinetica del corpo B è nulla. Se consideriamo la superficie
orizzontale come superficie di energia potenziale nulla applicando la conservazione dell’energia
si ricava
.
/
𝑀𝑀𝑣𝑣7/ = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃:&J
da cui 𝜃𝜃:&J = 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 1 −
M
;>
/NO
=0,18 rad
3) Poichè l’angolo trovato è piccolo, il moto è quello di un pendolo in regime di piccole
oscillazioni. Il percorso fatto dal corpo B per raggiungere il punto di massimo angolo corrisponde
ad un quarto di un’oscillazione completa che viene effettuato in un tempo 𝑡𝑡. =
A
Q
=
R
/
O
N
=0.71 s
a cui va aggiunto il tempo t2 impiegato dal corpo A per raggiungere il corpo B. Il tempo t2 si
ricava risolvendo l’equazione del moto accelerato per la velocità del corpo A: vf = vo – μDgt2
da cui 𝑡𝑡/ =
;S T;?
UV N
=
;S T ;SM T/UV N9
UV N
=0.33s
Dunque, l’istante di tempo in cui il corpo B raggiunge la massima altezza è t =t1+t2 = 1.04 s.
4) La forza sul soffitto è in modulo uguale alla tensione T del filo. La tensione si ottiene
imponendo la II legge di Newton relativa alla componente radiale della forza totale agente sul
corpo B. Dunque, indicando con V(θ) la velocità del corpo B in corrispondenza di un generico
angolo θ si ricava 𝑇𝑇 − 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀
X M (Z)
O
.
La velocità corrispondente al generico angolo θ si trova utilizzando la conservazione dell’energia
2
2
meccanica: V (θ)=vB −2gL(1−cosθ) e quindi:
𝑇𝑇 = 𝑀𝑀
𝑉𝑉 / 𝜃𝜃
𝑣𝑣2𝐵𝐵 − 2gL + 2gLcosθ)
𝑣𝑣2𝐵𝐵
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑀𝑀
+ 3𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 − 2𝑀𝑀𝑀𝑀.
𝐿𝐿
𝐿𝐿
𝐿𝐿
Il valore è massimo per θ=0 ed è 𝑇𝑇:&J = 𝑀𝑀
𝑣𝑣2𝐵𝐵
O
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀= 6.0 N