Economia Teorica e Analisi Funzionale

Economia Teorica e Analisi Funzionale
Massimo Marinacci
Università Bocconi
Bologna – 14 Settembre 2011 – XIX Congresso UMI
Economia teorica
L’Economia teorica si suddivide in tre aree principali:
Teoria delle decisioni: analisi del comportamento individuale
Teoria dei giochi: analisi del comportamento strategico
Equilibrio economico generale: analisi dell’interazione di
mercato
Teoria delle decisioni
L’unità elementare di analisi dell’Economia teorica sono le
scelte individuali degli agenti economici (quali individui,
famiglie, imprese e governi)
La Teoria delle decisioni modella tali scelte
Analisi descrittiva: studio di come tali scelte vengono
e¤ettuate
Analisi normativa: studio di come esse dovrebbero essere
compiute in modo “razionale” date le informazioni disponibili
al decisore
Teoria delle decisioni (TdD)
A di¤erenza dello psicologo, l’economista teorico non è
interessato al comportamento umano di per sé, ma in modo
“strumentale” quale base per modellare l’interazione
economica tra agenti
La modelizzazione delle scelte individuali della TdD è alla base
dello studio delle interazioni di mercato (EEG) e strategiche
(TdG), …ne ultimo dell’analisi economica
L’Individualismo metodologico è il fondamento
epistemologico di tale approccio
Storia:inizi
L’Economia teorica moderna, talvolta detta neoclassica o
marginalista, nasce intorno al 1870 con i lavori di Carl
Menger, Stanley Jevons e Leon Walras
La Teoria del valore soggettivo pone a fondamento dello
scambio le preferenze individuali degli agenti economici e la
loro “ottimizzazione” soggetta a vincoli determinati da prezzi
di mercato e risorse individuali
Cambio di prospettiva rispetto alla teoria del valore
“oggettivo” degli economisti teorici classici (in particolare
David Ricardo), basata sulla nozione di valore lavoro
Storia: …no al 1945
L’Economia teorica si sviluppa a cavallo del novecento col
lavoro di Vilfredo Pareto e della sua scuola
Tra le due guerre nasce la probabilità soggettiva, fondamento
dell’analisi economica dell’incertezza, con i lavori di Frank
Ramsey e Bruno de Finetti, portati a compimento negli anni
cinquanta da Leonard Savage
Negli anni quaranta John von Neumann crea la TdG e
rivoluziona la TdD assiomatizzando l’utilità attesa (il criterio
alla base delle scelte in condizioni di rischio)
Nel far ciò von Neumann rivoluziona i metodi dell’Economia
teorica introducendo metodi funzionali
Storia: 1945-1970
Negli anni cinquanta, Robert Aumann, John Nash e Lloyd
Shapley danno contributi pioneristici alla TdG
Negli anni quaranta e cinquanta, Kenneth Arrow, Gerard
Debreu e Paul Samuelson espandono e consolidano
l’Economia teorica; in particolare l’EEG trova la sua veste
classica nella Theory of value del 1959 di Debreu
Negli anni sessanta, Kenneth Arrow e John Pratt consolidano
la Teoria dell’utilità attesa con lo studio dell’avversione al
rischio
Storia: inizi-1970 (“ricadute” matematiche)
Teorema Minimax (von Neumann 1928)
Programmazione lineare (Dantzig 1947)
Teoria delle decisioni statistiche (Wald 1947)
Programmazione nonlineare (Kuhn e Tucker 1951)
Programmazione dinamica (Bellman 1957)
Teoria delle corrispondenze/multifunzioni (Berge 1959,
Aumann 1965)
Analisi convessa (Fenchel 1953, Rockafellar 1970)
Storia: inizi-1970 (italiani)
Due giganti
Vilfredo Pareto (1848-1923):
1
2
ottimalità
utilità ordinale: nascita della moderna TdD
Bruno de Finetti (1906-1985):
1
2
probabilità soggettiva (schema scommessa, scambiabilità)
quasiconcavità
Canto del cigno: l’articolo di de Finetti del 1949 “Sulle
strati…cazioni convesse”, Annali di Matematica Pura e
Applicata
Storia: 1970 a oggi
Dopo gli anni sessanta, l’EEG ha i suoi sviluppi più importanti
non più nella teoria “pura” ma in Macroeconomia (Rivoluzione
delle aspettative razionali) e Finanza (Asset pricing)
La TdG, sino ad allora di importanza secondaria rispetto
all’EEG, si sviluppa impetuosamente negli anni settanta e
ottanta, consentendo lo studio di fenomeni economici basati
sull’interazione strategica (oligopolio, contrattazione, ecc ecc)
Dagli anni novanta, anche la TdG ha i suoi sviluppi più
importanti in campo applicato, in particolare nella Teoria del
mechanism design
Negli ultimi venti anni la TdD è il campo dell’Economia
teorica dove la teoria “pura” ha i suoi sviluppi più interessanti
sia economici sia formali
Teoria delle decisioni
Nozione base: relazione binaria %, detta preferenza, su un
insieme di alternative, detto insieme di scelta
Le alternative possono essere deterministiche oppure aleatorie
(e.g., attività …nanziarie)
% modella le preferenze del decisore: x % y si legge “x è
preferito (debolmente) a y ”
La TdD studia “assiomi comportamentali” sulla preferenza %
Idealmente, tali assiomi sono falsi…cabili con esperimenti
comportamentali
Assiomi
Assiomi di razionalità: transitività (x % y e y % z implica
x % z)
Assiomi di semplicità: completezza (x % y oppure y % x)
Assiomi tecnici: continuità (xn % y per ogni n implica x % y
se xn ! x)
Alternative rischiose: struttura
Sia A un insieme di conseguenze deterministiche, dette premi;
e.g., A = R: importi monetari
Se A = R, un’attività …nanziaria si può modellare come una
probabilità p : 2R ! [0, 1] con supporto …nito
p (a) è la probabilità che l’attività paghi l’importo a
Alternative rischiose: struttura
In generale, un’alternativa aleatoria si modella con una
probabilità p : 2A ! [0, 1] con supporto …nito
Tali probabilità sono dette lotterie
Dato un insieme A qualsiasi, sia ∆ (A) l’insieme di tutte le
lotterie su A
∆ (A) è l’insieme di scelta in Teoria del rischio
Rischio: utilità attesa
Nozione primitiva: preferenza % su ∆ (A)
Identi…cando premi a e misure di Dirac δa , % è de…nita anche
su A
Sia u : A ! R una funzione di utilità che rappresenta le
preferenze del decisore su A:
a % b () u (a)
u (b )
Un criterio naturale per ordinare le lotterie, proposto per la
prima volta da Daniel Bernoulli nel 1738, è l’Utilità attesa
Secondo tale criterio, la lotteria p è valutata secondo la sua
utilità attesa:
U (p ) =
∑
u (a ) p (a )
a 2supp p
sicché
p % q () U (p )
U (q )
Rischio: assiomi
Assioma A.1: % è completa e transitiva
Assioma A.2: % è indipendente, i.e., per ogni
p, p 0 , q 2 ∆ (A)
p
p 0 =) αp + (1
α) q
αp 0 + (1
α) q
8α 2 (0, 1)
Assioma A.3: % è Archimedea, i.e., per ogni p, p 0 , q 2 ∆ (A)
tali che p p 0 q esistono α, β 2 [0, 1] tali che
αp + (1
α) q
p0
βp + (1
β) q
Rischio: rappresentazione
Teorema dell’utilità attesa Una preferenza % su ∆ (A)
soddisfa gli assiomi A.1-A.3 se e solo se esiste una funzione
u : A ! R tale che, per ogni p, q 2 ∆ (A),
p % q ()
∑
a 2supp p
u (a ) p (a )
∑
u (a ) q (a )
a 2supp q
Tale funzione u è unica a meno di trasformazioni a¢ ni
strettamente crescenti
Dimostrato da von Neumann nella seconda edizione del 1947
del suo classico libro con Oskar Morgenstern sulla TdG
Ha un antecedente nel Teorema di Nagumo-Kolmogorov-de
Finetti sulle medie associative
Rischio: rappresentazione
Questo celebre risultato dà fondamento comportamentale al
criterio dell’utilità attesa di Bernoulli, rendendolo falsi…cabile
dal punto di vista sperimentale
Dal punto di vista modellistico, è una classica applicazione dei
metodi funzionali che von Neumann stava introducendo in
Economia
Astrazione
Sia C un insieme convesso di uno spazio vettoriale X
E.g., C = ∆ (A) e X è l’insieme di tutte le misure segnate
µ : 2A ! R con supporto …nito
% relazione binaria su C
Astrazione
Assioma B.1: % è completa e transitiva
Assioma B.2: per ogni x, y , z 2 C
x
y =) αx + (1
α) z
αy + (1
Assioma B.3: per ogni x, y , z 2 C tali che x
α, β 2 [0, 1] tali che
αx + (1
α) z
y
8α 2 (0, 1)
α) z
βx + (1
y
β) z
z esistono
Astrazione
Una funzione I : C ! R è a¢ ne se, per ogni x, y 2 C ,
I (αx + (1
α) y ) = αI (x ) + (1
α ) I (y )
8α 2 [0, 1]
Teorema dell’utilità attesa Una preferenza % su C soddisfa
gli assiomi B.1-B.3 se e solo se esiste una funzione a¢ ne
U : C ! R tale che, per ogni x, y 2 C ,
x % y () U (x )
U (y )
Tale funzione U è unica a meno di trasformazioni a¢ ni
strettamente crescenti
Astrazione
Se C = ∆ (A), si ponga u (a) = U (δa )
Se p è una lotteria, da
p=
∑
p (a ) δa
a 2supp p
segue, grazie all’a¢ nità di U,
U (p ) =
∑
p (a ) U ( δa ) =
a 2supp p
e si ritrova l’utilità attesa
∑
a 2supp p
p (a ) u (a )
Astrazione
La versione funzionale del Teorema di rappresentazione di von
Neumann è stata sviluppata nei primi anni cinquanta:
Jacob Marschak identi…cò l’assioma di indipendenza nella
forma attuale
Israel Hernstein e John Milnor svilupparono la versione astratta
(per spazi di misture, una generalizzazione algebrica degli
insiemi convessi)
Astrazione molto fruttuosa
Azioni
Sia S un insieme di stati di natura nei quali l’incertezza si può
risolvere
Sia Σ una σ-algebra di eventi di S
Sia C un insieme di premi convesso (in uno spazio vettoriale
X)
Sia f : S ! C una funzione semplice Σ-misurabile (detta
atto)
Un atto f modella un’azione che, in ogni stato s, produce una
conseguenza f (s )
Azioni
Sia % una preferenza sulla collezione F degli atti
F è un insieme convesso (nello spazio vettoriale delle funzioni
semplici Σ-misurabili f : S ! X )
A livello formale si possono riproporre gli assiomi B.1-B.3
L’interpretazione è però molto diversa
Assiomi
Assioma C.1: % è completa e transitiva
Assioma C.2: % è indipendente, i.e., per ogni f , g , h 2 F
f
g =) αf + (1
α) h
αg + (1
8α 2 (0, 1)
α) h
Assioma C.3: % è Archimedea, i.e., per ogni f , g , h 2 F con
f
g h esistono α, β 2 [0, 1] tali che
αf + (1
α) h
g
βf + (1
β) h
Assioma C.4: % è monotona
f (s ) % g (s )
8s 2 S =) f % g
Utilità attesa soggettiva
Teorema dell’utilità attesa soggettiva Una preferenza % su
F soddisfa gli assiomi C.1-C.4 se e solo se esiste una funzione
a¢ ne U : C ! R e una probabilità P : Σ ! [0, 1] tale che,
per ogni f , g 2 F ,
f % g ()
Z
U (f (s )) dP (s )
S
Z
U (g (s )) dP (s )
S
La probabilità P è unica e la funzione U è unica a meno di
trasformazioni a¢ ni strettamente crescenti
Il risultato risale a Savage (1954) che così uni…cò la teoria
dell’utilità attesa di von Neumann e la teoria della probabilità
soggettiva di de Finetti
Versione di Anscombe e Aumann (1963) e Fishburn (1970)
La dimostrazione si basa sulla versione astratta del Teorema
dell’utilità attesa
Astrazione
L’utilità attesa soggettiva V : F ! R è data da
V (f ) =
Z
U (f (s )) dP (s )
S
e si può scrivere come
V (f ) = (I
dove I : B0 (Σ) ! R è
I (φ) =
Z
S
U ) (f )
φ (s ) dP (s )
I è un funzionale lineare e monotono sull’insieme B0 (Σ)
delle funzioni semplici Σ-misurabili
In luogo di B0 (Σ) si può considerare un M-spazio E (spazio
di Riesz Archimedeo con unità)
Dal punto di vista matematico, alcuni sviluppi sono vicini alla
Teoria delle misure di rischio in Finanza matematica
Sviluppi: linearità
Dalla metà degli anni ottanta si sono studiate in TdD classi
generali di funzionali I : B0 (Σ) ! R e I : E ! R
Si è indebolita la linearità di I
La motivazione è sostanziale: limiti normativi e descrittivi
dell’utilità attesa soggettiva (il più celebre è il Paradosso di
Ellsberg del 1961)
Sviluppi: monotonia
Ipotesi comune: I è monotono, cioè
φ
ψ =) I (φ)
I (ψ)
8φ, ψ 2 B0 (Σ)
Ri‡ette l’idea naturale che i decisori preferiscono alternative
che, stato per stato, producono conseguenze migliori
Sviluppi: quasiconcavità
Ipotesi frequente: I è quasiconcavo, cioè ha insiemi di
soprallivello (I
t ) convessi per ogni t 2 R
Equivalentemente: per ogni φ, ψ 2 B0 (Σ)
I (φ)
I (ψ) =) I (αφ + (1
α) ψ)
I (ψ)
8α 2 [0, 1]
Ri‡ette l’idea che i decisori non amano l’incertezza, il che
porta a preferire combinazioni convesse (diversi…cazione)
Utilità attesa maxmin
Sia ba (Σ) l’insieme delle misure µ : Σ ! R …nitamente
additive e limitate
Sia ∆
ba (Σ) il simplesso delle probabilità
Teorema Un funzionale I : B0 (Σ) ! R è normalizzato,
monotono e superlineare se e solo se esiste un insieme K
convesso e w -compatto tale che
I (φ) = min
P 2K
Z
S
φ (s ) dP (s )
Semplice applicazione del Teorema di Hahn-Banach
∆
Utilità attesa maxmin
Assioma GS.2: per ogni f , g 2 F e ogni costante c
f
g =) αf + (1
α) c
αg + (1
α) c
8α 2 (0, 1)
L’assioma indebolisce l’assioma di indipendenza C.2
Assioma GS.5: per ogni f , g 2 F ,
f
g =)
1
1
f + g %f
2
2
É un’assioma di convessità (diversi…cazione): date due
alternative indi¤erenti, il decisore preferisce la loro
combinazione convessa
Modella l’avversione all’incertezza
Utilità attesa maxmin
Teorema dell’utilità attesa maxmin Una preferenza % su F
soddisfa gli assiomi C.1, GS.2, C.3, C.4 e GS.5 se e solo se
esiste una funzione a¢ ne U : C ! R e un insieme K
∆
convesso e w -compatto tale che, per ogni f , g 2 F ,
f % g () min
P 2K
Z
U (f (s )) dP (s )
S
min
P 2K
Z
U (g (s )) dP (s )
S
L’insieme K è unico e la funzione U è unica a meno di
trasformazioni a¢ ni strettamente crescenti
Il min ri‡ette l’avversione all’incertezza
Qui I : B0 (Σ) ! R è dato da:
I (φ) = min
P 2K
Z
S
φ (s ) dP (s )
Il risultato è di Gilboa e Schmeidler (1989)
Venti anni dopo
Rimuoviamo qualsiasi ipotesi di indipendenza/linearità tra atti
incerti
Consideriamo % su F che sia
completa e transitiva
indipendenza su atti costanti
monotona
convessa, cioè f
g =) 12 f + 21 g % f
Archimedea
Una tale preferenza si dice avversa all’incertezza
Dualità
Sia E un M-spazio (Riesz Archimedeo con unità e)
Il simplesso
∆ = fξ 2 E+ : hξ, e i = 1g
è convesso e w*-compatto
Sia I : E ! R monotono e quasiconcavo
Si consideri la funzione quasiconvessa G : R
G (t, ξ ) = sup fg (x ) : hξ, x i
x 2E
tg
∆ ! R data da
8t 2 R, 8ξ 2 ∆
Dualità
Teorema Un funzionale I : E ! R è monotono e (evenly)
quasiconcavo se e solo se
I (x ) = inf G (hξ, x i , ξ ) ,
ξ 2∆
8x 2 E
Il primo risultato di questo tipo su Rn si deve a de Finetti
(1949), nell’articolo dove introdusse la quasiconcavità
Dualità tra funzionali I : E ! R monotoni e quasiconcavi e
funzioni quasiconvesse G : R ∆ ! R
Dualità
Il problema per l’applicazione alla TdD è l’unicità: per una
data I : E ! R vi possono essere diverse G : R ∆ ! R per
le quali
I (x ) = inf G (hξ, x i , ξ )
ξ 2∆
L’unicità vale, per esempio, nella dualità f 7! f di Fenchel
(per funzioni f concave e usc)
Cerreia-Vioglio, Maccheroni, Marinacci e Montrucchio (2011a)
stabiliscono l’unicità grazie a condizioni di semicontinuità
Rappresentazione
Teorema Una preferenza è avversa all’incertezza se e solo se
esiste una unica funzione (linearmente) continua e
quasiconvessa G : R ∆ ! ( ∞, ∞], crescente e
normalizzata nel primo argomento, e una funzione a¢ ne
U : C ! R tale che la funzione
I (U (f )) = min G
P 2∆
Z
U (f ) dP, P
8f 2 F
rappresenta %
Il min ri‡ette l’avversione all’incertezza
Dimostrato da Cerreia-Vioglio et al (2011b)
Qui I : B0 (Σ) ! R è dato da:
I (φ) = min G
P 2∆
Z
S
φ (s ) dP (s ) , P
Rappresentazione
La rappresentazione MEU
I (U (f )) = min
P 2K
Z
U (f ) dP
è il caso particolare con
G (t, P ) = t + δK (P )
dove δK : ∆ ! [0, ∞] è la funzione indicatrice dell’Analisi
convessa, cioè
δK (P ) =
0
+∞
se P 2 K
se P 2
/K
Frittelli e Maggis (2011) studiano la dualità quasiconcava in
Finanza matematica
Conclusione
Si ha il seguente schema:
Assiomi comportamentali
+
Funzionale I
+
Rappresentazione di I
TdD
Dualità
Conclusione
I metodi di dualità sono centrali in TdD
Essi servono a tradurre assiomi comportamentali in criteri di
scelta
La disciplina dell’esercizio è nella motivazione economica degli
assiomi e del criterio di scelta