Classi di Resto

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123.
Quanti sono i numeri interi, compresi tra 1 e 464, che non sono divisibili né per 21 né per
22?
C.A.P.O.2011 (Corso Annuale di Preparazione Olimpica)
124.
Olimpiadi della Matematica
Univ.
di Roma Tor Vergata - Aula Dal Passo (dip.
docente:
Emanuele Callegari (Univ.
Lezione n.
Matem.)
di Roma Tor Vergata)
125.
126.
8
Quanti sono i numeri interi, compresi tra 1 e 7700, che non sono divisibili né per 7 né per
11?
A.S. 2011-2012
25 Febbraio 2012
ore 15.30-17.00
127.
Quanti sono i numeri interi, compresi tra 1 e 100, che non sono divisibili né per 7 né per 11?
Spiegare cosa rende il problema 125 meno ”pulito” da risolvere rispetto ai problemi 122,
123 e 124.
Siano p e q interi strettamente positivi e primi tra loro e sia m un intero strettamente
positivo divisibile sia per p che per q.
Quanti sono i numeri interi, compresi tra 1 e m, che non sono divisibili né per p né per q?
Classi di Resto
128.
Qualche ulteriore riflessione
Nei problemi che vanno dal 116 al 121, prendendo spunto dal problema di contare i poligoni
stellati regolari con un numero primo di vertici (problema 119), si mostra prima in un caso
particolare (p = 2011), poi nel caso generale, un risultato semplice ma molto utile di teoria
dei numeri elementare (problema 120) che poi ha come effetto collaterale quasi immediato
il teorema di Fermat (problemi 136 e 137).
Invece, il problema di contare i poligoni stellati regolari nel caso generale, cioè anche quando
il numero di vertici non è un numero primo (problema 135), fornisce il pretesto per introdurre la funzione φ di Eulero.
In particolare i problemi che vanno dal 122 al 131 forniscono allo studente un percorso per
arrivare da solo a risolvere il problema del calcolo di φ(n) nella piena generalità.
Problemi svolti e/o proposti
116.
129.
130.
131.
Quanti sono i numeri interi, compresi tra 1 e 7!, che non sono divisibili né per 2, né per 3,
né per 5, né per 7?
Quanti sono i numeri interi k, compresi tra 1 e 7! tali che MCD(k, 7!) = 1?
Per ogni intero strettamente positivo n definiamo φ(n) come il numero di interi k, compresi
tra 1 e n, che sono primi con n, cioè che sono tali che MCD(k, n) = 1.
Tale funzione prende il nome di φ di Eulero.
Calcolare φ (7!), φ (11!), φ (144), φ (2010), e φ (2011).
Mettendo insieme quanto intuito/capito nei problemi che vanno dal 122 al 130, indovinare
e dimostrare una formula pulita per calcolare φ(n) per ogni n intero strettamente positivo.
Mostrare che le seguenti 2011 classi di resto
[0]2011,
[15]2011 ,
[2 · 15]2011 ,
[3 · 15]2011,
...,
[2010 · 15]2011 ,
132.
sono tutte distinte.
Mostrare che le seguenti 2010 classi di resto
[0]2010 ,
[11]2010,
[2 · 11]2010,
[3 · 11]2010 ,
[2009 · 11]2010 ,
...,
sono tutte distinte.
117.
Sia dato un poligono regolare di 2011 lati, i cui vertici, girando in senso antiorario, siano
contrassegnati rispettivamente da A0 , A1 , . . . , A2010 .
Partendo da A0 e girando in senso antiorario congiungiamo A0 con A15 , poi A15 con A30 ,
poi A30 con A45 , e cosı̀ via, congiungendo ciascun vertice con quello che sta 15 posizioni
dopo.
Ci fermiamo non appena arriviamo ad un vertice su cui siamo già stati.
Mostrare che ci si ferma esattamente dopo 2011 salti, dopo aver disegnato una stella a 2011
punte.
133.
[0]2010 ,
134.
118.
Mostrare che, comunque si scelga k = 1, 2, . . . , 2010, le seguenti 2011 classi di resto
[0]2011 ,
[k]2011,
[2k]2011,
[3k]2011,
...,
Dire se sono tutte distinte le seguenti 2010 classi di resto
[100]2010,
[2 · 100]2010,
[3 · 100]2010,
...,
[2009 · 100]2010 .
Dire per quali interi k le seguenti 2010 classi di resto sono tutte distinte:
[0]2010,
[k]2010,
[2k]2010,
[3k]2010,
...,
[2009k]2010.
[2010k]2011,
sono tutte distinte.
135.
119.
120.
In un pentagono regolare A0 A1 A2 A3 A4 vi è una sola stella a 5 punte regolare avente per vertici gli stessi del pentagono: quella che si ottiene congiungendo in sequenza A0 A2 A4 A1 A3 A0 .
In un ettagono regolare A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 , invece, ce ne sono 2: la prima si ottiene congiungendo in sequenza A0 A2 A4 A6 A1 A3 A5 A0 , la seconda invece A0 A3 A6 A2 A5 A1 A4 A0 .
Quante ce ne sono in un poligono regolare di 2011 lati?
Generalizzare il problemi 118 al caso in cui, al posto di 2011 vi è un generico numero primo
p, ovvero mostrare che se p è un numero primo, comunque si scelga k = 1, 2, . . . , p − 1, le
seguenti p classi di resto:
[0]p,
[k]p,
[2k]p ,
[3k]p ,
...,
136.
Se prendiamo un dodecagono regolare di vertici A0 A1 A2 A3 . . . A11 , l’unica stella regolare a
12 punte avente i suoi stessi vertici che sia tracciabile senza staccare la matita dal foglio, si
ottiene unendo i suoi vertici nella seguente sequenza: A0 A5 A10 A3 A8 A1 A6 A11 A4 A9 A2 A7 A0
Se invece prendiamo un poligono regolare di 2010 lati, quante sono le stelle regolari a 2010
punte che hanno i suoi stessi vertici e che si possono tracciare senza staccare la matita dal
foglio?
Generalizzare al caso in cui il poligono ha n lati.
Sfruttare il problema 120 per mostrare che, se p è un numero primo allora, per ogni intero
a che non sia multiplo di p si ha:
(p − 1)!ap−1 p = [(p − 1)!]p
[(p − 1)k]p ,
sono tutte distinte.
137.
121.
122.
Generalizzare il problemi 119 al caso in cui, al posto di 2011 vi è un generico numero primo
p.
(Teorema di Fermat) Mostrare che il problema 136 ha come conseguenza immediata che,
se p è un numero primo ed a è un intero non divisibile per p, allora si ha:
p−1 a
= [1]p
p
Quanti sono i numeri interi, compresi tra 1 e 77, che non sono divisibili né per 7 né per 11?
c Emanuele Callegari c/o Dipartimento di Matematica - Università di Roma Tor Vergata - Tutti i diritti sono riservati.
Info su questa e altre iniziative analoghe alla pagina
www.mat.uniroma2.it/~olimpiad/trainingolimpico.html
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