La formula di Eulero

10° SEMINARIO NAZIONALE SUL CURRICOLO VERTICALE
Firenze, 10 maggio 2015
La formula di Eulero per i poliedri,
un approccio laboratoriale
Ivan Casaglia
Liceo Scientifico “Guido Castelnuovo” – Firenze
La formula
risultati più
se il suo
interamente
superiore]
di Eulero per i poliedri costituisce uno dei
interessanti della geometria dello spazio [anche
significato più profondo non può essere
compreso in una trattazione al livello di scuola
I libri di testo più diffusi presentano la formula di Eulero
(quando la presentano), scollegata dagli altri risultati,
relegata ad una sorta di curiosità, talvolta accompagnata
da qualche informazione sul suo significato topologico
Il problema del “significato” in matematica non può essere
affrontato solo attraverso la “modellizzazione” ma anche
ricostruendo il senso del fare matematica
In questa prospettiva l’approccio laboratoriale va inteso
non solo come utilizzo di modelli fisici, ecc. (che è
comunque cosa molto utile), ma come osservazione,
scoperta, formulazione di ipotesi, verifica, validazione,
generalizzazione
Questa traccia di percorso didattico si
ispira ad una proposta di George Polya
contenuta nel capitolo finale di La scoperta
matematica (1962), dal titolo Indovinare e
metodo scientifico
Ripercorre il ragionamento condotto da Eulero nella prima
delle tre memorie dedicata a questo argomento (in cui
spiega come fu portato alla scoperta della formula, senza
fornirne una dimostrazione)
Ha il merito di mostrare alcune caratteristiche del modo di
procedere del pensiero matematico
- ricerca della generalizzazione di un risultato già noto,
- osservazione “sperimentale” di casi “concreti”
-
formulazione di una congettura (evidenziando quindi il
momento “induttivo” del lavoro matematico)
- ricerca di una dimostrazione
Che cosa serve per partire?
Il concetto di poliedro (e questo è di per sé un bel
problema: cosa definiamo come poliedro?)
A partire dall’analogia tra poliedri nello spazio e poligoni
nel piano ci si chiede quali proprietà dei poligoni siano
“traducibili” (cioè generalizzabili) anche per i poliedri e si
considera in particolare la proprietà angolare dei poligoni
la somma degli angoli interni di un poligono di n lati è
uguale a
(n − 2) ⋅ π
(1) Che cosa può prendere il posto degli angoli quando si
passa dai poligoni ai poliedri?
Diedri formati dalle facce?
Angoli solidi nei vertici?
Per i primi si può chiedere agli studenti di indagare in
proprio, a partire da casi molto semplici (tetraedri)
Per i secondi occorrerebbe definire preliminarmente il
significato di addizione tra angoloidi
In entrambi i casi la somma dipende, in generale, dalla
“forma” del poliedro
Consideriamo il caso più “semplice” → angoli delle facce
(2)
“L’osservazione può condurre alla scoperta”
Invitiamo gli studenti a costruire una tabella che permetta
di raccogliere le osservazioni relative a diversi tipi di
poliedri per vedere se si riesce a individuare qualche
regolarità
poliedro
f
Somma angoli di una
faccia
∑α
tetraedro
4
π
4π
cubo
6
2π
12π
ottaedro
8
π
8π
∑α
poliedro
f
Somma angoli di una
faccia
5−prisma
7
3π (basi)
2π (facce laterali)
2 ⋅ 3π + 5 ⋅ 2π = 16π
2π (base e facce dei
“muri”)
5 ⋅ 2π + 4 ⋅ π = 14π
4−torre
9
π (facce del “tetto”)
(3) “L’osservazione dovrebbe rivelare qualche regolarità,
schema o legge”
Osserviamo qualche regolarità?
No, se ci limitiamo a tentare di generalizzare in modo
ingenuo, cercando una relazione tra numero delle facce [ f ]
e somma degli angoli
“L’osservazione ha più probabilità di dare risultati degni di
nota se è guidata da qualche buona considerazione o
intuizione”
idea guida
Nella tabella abbiamo sommato gli angoli “faccia per
faccia”; che cosa accade se sommiamo gli angoli “vertice
per vertice”?
Non siamo in grado di farlo perché non sappiamo quanto
vale la somma degli angoli che concorrono in uno stesso
vertice, ma sappiamo che questa somma deve essere minore
di 2π e quindi se indichiamo con v il numero dei vertici del
poliedro
∑ α < 2π v
Verifichiamo questa relazione nella tabella considerata
poliedro
f
∑α
v
2π v
tetraedro
4
4π
4
8π
cubo
6
12π
8
16π
ottaedro
8
8π
6
12π
poliedro
f
∑α
v
2π v
5−prisma
7
16π
10
20π
4−torre
9
14π
9
18π
Questa nuova tabella permette di osservare che, in tutti i
casi considerati
2π v − ∑ α = 4π
che può essere riscritta nella forma
∑ α = 2π (v − 2)
Tenuto conto che nei poligoni il numero dei vertici è
uguale al numero dei lati, questa relazione si presenta come
una naturale estensione ai poliedri della proprietà angolare
dei poligoni
(4) Si tratta di una coincidenza o è una proprietà di
carattere generale?
Per cominciare invitiamo gli studenti a considerare altri
casi, oltre a quelli già visti, per verificare se vale ancora la
proprietà [cioè mettiamo alla prova la proprietà appena
scoperta]
poliedro
f
∑α
v
2π v
dodecaedro
12
36π
20
40π
icosaedro
20
20π
12
24π
n−prisma
n+2
(4n − 4 ) π
2n
4π n
n−piramide
n +1
(2n − 2) π
n +1
(2n + 2) π
Considerata la varietà dei casi esaminati, la proprietà
∑ α = 2π (v − 2)
può essere considerata una congettura
L’osservazione
dà
solo
generalizzazioni
ipotetiche,
congetture, non dimostrazioni
Controllate la vostra congettura: esaminate i casi
particolari e le relative conseguenze
Qualunque caso particolare o conseguenza che sia verificata
aggiunge credito alla congettura
Alla ricerca di una dimostrazione…
(5) Si può dimostrare questa proprietà?
Un dimostrazione “guidata” → si tratta di generalizzare il
procedimento utilizzato per compilare la tabella
Consideriamo un poliedro con f facce e immaginiamo di
numerarle, indicando con
- s1 il numero dei lati (spigoli) della prima faccia
- s2 il numero dei lati della seconda faccia
ecc.
Andiamo quindi a sommare gli angoli “faccia per faccia”
∑ α = π (s
1
) (
)
(
) (
− 2 + π s2 − 2 + ... + π s f − 2 = π s1 + s2 + ... + s f − 2f
La somma s1 + s2 + ... + s f rappresenta la somma dei lati di
tutte le facce e poiché ogni spigolo del poliedro è lato di
due di queste facce
s1 + s2 + ... + s f = 2s
Mettendo insieme queste due relazioni possiamo scrivere
∑ α = π (2s − 2f ) = 2π (s − f )
)
Questa relazione (a differenza della congettura) è stata
dimostrata
Se combiniamo questa relazione
eliminando ∑ α , otteniamo
( )
con
( )
2π v − 2 = 2π s − f
da cui la formula di Eulero
v −s + f = 2
la
congettura,
(6) Nel nostro tentativo di dimostrare la congettura
abbiamo “scoperto” questa nuova relazione che è
equivalente alla prima
Una dimostrazione della congettura permette di provare
anche la formula di Eulero (e viceversa)
Una prima osservazione: se immaginiamo di poter
deformare il poliedro con continuità, cioè senza strappi, in
modo che la connessione tra vertici, spigoli e facce resti
immutata, il poliedro di modifica, ma i numeri v , s e f
rimangono gli stessi
Una simile trasformazione modifica i singoli angoli delle
facce, ma non modifica la somma ∑ α che, come abbiamo
già dimostrato, dipende soltanto dal numero degli spigoli e
dal numero delle facce
Immaginiamo allora di “appoggiare” una base del poliedro
su un piano orizzontale (il piano di un tavolo) e
immaginiamo di “allargare” questa base in modo che
l’intero poliedro possa essere proiettato ortogonalmente (o
“schiacciato”) su questa base, in modo che i vertici che non
appartengono alla base “allargata” vengano proiettati in
punti interni alla base stessa
Si ottengono, in questo modo, i diagrammi di Schlegel
Si può proporre la costruzione del più semplice e invitare
gli studenti a costruire gli altri
(7) Considerando il diagramma di Schlegel di un generico
poliedro
possiamo calcolare
∑α
Il diagramma si Schlegel rappresenta un poliedro
“schiacciato” costituito
da due “fogli” poligonali
sovrapposti:
- il foglio “inferiore” (la base allargata) che è un unico
poligono
- il foglio “superiore” che è suddiviso in f − 1 poligoni
Indichiamo con n il numero dei lati del poligono che
racchiude i due fogli (cioè il numero degli spigoli della
faccia allargata) e andiamo a calcolare ∑ α .
Foglio “inferiore”
( )
la somma degli angoli interni è n − 2 π
Foglio “superiore”
• la somma degli angoli del bordo è la stessa di quella del
( )
foglio inferiore, n − 2 π
• la somma degli angoli “interni” può essere ottenuta
sommando “vertice per vertice”:
- la somma degli angoli in ciascun vertice è 2π
- i vertici interni al foglio sono v − n
Riassumendo
s. angoli foglio inferiore
∑α =



n−2 π
( )
s. angoli foglio sup.


+ n − 2 π + v − n 2π = 2π v − 2
( ) ( )
( )
(8) La formula di Eulero può essere dimostrata
direttamente considerando il diagramma di Schelegel di un
poliedro generico → rete piana
(9) Un curiosità: i radiolari
I radiolari sono protozoi caratterizzati da uno scheletro
siliceo
A colpo d’occhio: un poliedro
(necessariamente non regolari)
con
facce
esagonali
Se si guarda con maggiore attenzione si individuano delle
facce pentagonali
È un caso o la presenza di facce pentagonali è in qualche
modo necessaria? Può esistere un poliedro le cui facce siano
tutte esagonali?
La formula di Eulero permette di provare che non è
possibile che tutte le facce siano esagonali
(10) poliedri regolari
La formula di Eulero permette di dimostrare che i poliedri
regolari convessi sono solo cinque (senza tener conto del
fatto che le facce sono poligoni regolari…)
(11) Un possibile sviluppo
La formula di Eulero vale per questo “poliedro”?
v − s + f = 2 − 2g
(12) Formula di Eulero e definizione di poliedro
[Imre Lakatos, Dimostrazione e confutazioni – la logica
della scoperta matematica]
poliedro → superficie poliedrica
(i) è una superficie formata da poligoni
se in uno spigolo concorrono quattro facce non vale la
formula di Eulero
→ due tetraedri “affiancati” lungo uno spigolo
v −s + f = 3
(ii) è una superficie formata da poligoni disposti in modo
che in ogni spigolo si incontrino esattamente due di essi,
formando un diedro
se in un vertice si incontrano sei facce non vale la formula
di Eulero
→ due tetraedri “incollati” in un vertice]
v −s + f = 3
(iii) è una superficie formata da poligoni disposti in modo
che in ogni spigolo si incontrino esattamente due di essi,
formando un diedro, e che inoltre sia possibile arrivare da
qualunque faccia a qualunque altra, oltrepassando degli
spigoli
[Hilbert – Cohn-Vossen, Geometria intuitiva, 1932]
e così via…
(10)* Se tutte le f facce fossero esagonali si avrebbe
-v=
-s=
6f
3
6f
2
= 2f (ogni vertice è comune tre facce)
= 3f (ogni spigolo è comune a due facce)
da cui
v − s + f = 2f − 3f + f = 0
(11)* Consideriamo un poliedro regolare con f
poligoni (regolari e congruenti) di n lati → n ≥ 3
facce,
Indichiamo con r il numero delle facce che concorrono in
uno stesso vertice → r ≥ 3
n ⋅ f = 2s (ogni spigolo è comune a due facce)
r ⋅ v = 2s (ogni spigolo contiene due vertici)
v −s + f =
2s
r
−s +
2s
n
=2
1
r
+
1
n
=
1
s
+
1
2
n ≥ 3 e r ≥ 3 , ma non possono essere entrambi maggiori di 3
[se fosse n = r = 4 si avrebbe
→ n=3 o r =3
1
s
= 0]
(a) n = 3 (triangoli equilateri) l’uguaglianza diventa
1
r
Poiché deve essere
1
−
1
6
=
1
s
> 0 si hanno solo tre casi possibili
r =3 → s=6
s
tetraedro
r = 4 → s = 12
ottaedro
r = 5 → s = 30
icosaedro
(b) r = 3 (triangoli equilateri) l’uguaglianza diventa
1
n
−
1
6
=
1
s
come prima si hanno solo tre casi possibili
n=3 → s=6
tetraedro
n = 4 → s = 12
cubo
n = 5 → s = 30
dodecaedro