Gianmaria Martini 1 Istituzioni di Economia Laurea Triennale in

Gianmaria Martini
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Facoltà di Ingegneria
Istituzioni di Economia
Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale
Lezione 7
Scelta di consumo
Prof. Gianmaria Martini
Scelta razionale
Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
• Il principale postulato comportamentale afferma che viene
sempre scelta l’alternativa migliore tra quelle a disposizione.
• Come individuare il paniere preferito tra quelli disponibili?
• Il problema è visualizzabile in modo molto semplice.
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Facoltà di Ingegneria
x2
La scelta ottima non può
stare nemmeno su questa
curva: non è raggiungibile!
La scelta ottima non può
stare su questa curva:
possiamo fare meglio!
Panieri
acquistabili
x1
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Il punto ottimale deve stare
sulla curva di indifferenza
tangente al vincolo di bilancio
(punto A).
x2
A
Panieri
acquistabili
x1
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2
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x2
A(x1*,x2*) è il paniere
preferito tra quelli
acquistabili.
A
x2*
x1*
x1
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Interpretazione economica
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x2
Supponiamo che il rapporto tra i prezzi
sia unitario.
B
x2*
Nel passaggio da B ad A il consumatore è disposto a cedere un numero di
A unità di x2 superiore ad 1 per ottenere
una unità di x1
Il SMS del consumatore è
superiore (in valore assoluto) ad 1: il passaggio da
B ad A è vantaggioso!
x1*
x1
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x2
Nel passaggio da A a C il consumatore
è disposto a cedere un numero di unità
di x2 inferiore ad 1 per ottenere una
unità di x1
A
x2*
C
x1*
x1
Il SMS del consumatore è
inferiore (in valore assoluto) ad 1: il passaggio da
A a C non è vantaggioso!
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Domanda ordinaria
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• Il paniere preferito si definisce “domanda ordinaria” del
consumatore dati i prezzi ed il reddito.
• Le curve di domanda ordinaria si denotano con
x1*(p1,p2,m) e x2*(p1,p2,m).
• Notate che…..
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x2
(x1*,x2*) è un paniere
acquistabile quindi:
(x1*,x2*) esaurisce il reddito: p1x1* + p2x2* = m
x2*
x1*
x1
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x2
Naturalmente, la pendenza
della curva di indifferenza
in (x1*,x2*) è uguale alla
pendenza del vincolo di
bilancio.
x2*
x1*
x1
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• Quindi il paniere A(x1*,x2*) soddisfa due condizioni:
(a) il reddito monetario è “esaurito”;
p1x1* + p2x2* = m
(b) la pendenza del vincolo di bilancio, -p1/p2, e la pendenza della
curva di indifferenza cui appartiene A sono uguali in
A(x1*,x2*).
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Calcolo del paniere ottimale (domanda ordinaria)
• Queste informazioni devono essere sfruttate per calcolare il
paniere ottimale A(x1*,x2*) dati p1, p2 ed m.
• Procederemo ora al calcolo basato su una funzione di utilità
Cobb-Douglas
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• Supponiamo che un consumatore abbia preferenze CobbDouglas.
U ( x1, x2 ) = x1a x2b
• Quindi le utilità marginali sono:
UMg1 =
∂U
= ax1a −1x2b
∂ x1
UMg 2 =
∂U
= bx1a x2b −1
∂ x2
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Per cui, il SMS è:
dx2
ax1a −1 x2b
ax
∂ U /∂ x1
=−
= − a b −1 = − 2 .
SMS =
dx1
∂ U /∂ x2
bx1
bx1 x2
Ad A(x1*,x2*), SMS = -p1/p2, quindi:
ax2*
p
bp
− * = − 1 ⇒ x2* = 1 x1* .
p2
ap 2
bx1
(1)
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• Il paniere A(x1*,x2*) deve anche “esaurire” le risorse disponibili,
per cui:
p1 x1* + p2 x2* = m.
(2)
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• Formiamo quindi un sistema con due equazioni e due
incognite:
x2* =
bp1 *
x1
ap2
p1x1* + p2 x2* = m.
(1)
(2)
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Dalla (1) sappiamo che
x2* =
bp1 *
x1
ap2
(1)
Sostituendo nella (2)
p1x1* + p2 x2* = m.
(2)
si ottiene
p1x1* + p2
bp1 *
x1 = m.
ap2
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Semplificando, si ottiene la domanda per x1
x1* =
am
.
( a + b) p1
Sostituendo x1* nel vincolo di bilancio:
p1x1* + p2 x2* = m
si ottiene:
x 2* =
bm
.
(a + b) p2
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Abbiamo verificato che il paniere preferito tra
quelli acquistabili per un consumatore con
preferenze Cobb-Douglas
U ( x1 , x2 ) = x1a x2b
è dato da:
 am
bm 
( x1* , x2* ) = 
,
.
(a + b) p1 (a + b) p2 
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x2
Graficamente:
U ( x1 , x 2 ) = x1a x 2b
x2* =
=
bm
(a + b) p2
x1* =
am
( a + b ) p1
x1
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Funzioni di domanda
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• Cambiando i prezzi p1, p2 (od il reddito m) si ottiene la
quantità domandata a quei prezzi (a quel reddito)
• Gli argomenti della funzione di domanda ordinaria
(marshalliana) sono i prezzi ed il reddito
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Scelta razionale vincolata
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• Quando x1* > 0, x2* > 0 e (x1*,x2*) esaurisce le risorse,
le curve di domanda ordinarie si ottengono risolvendo:
• (1)
p1x1* + p2x2* = m
• (2) la pendenza del vincolo di bilancio, (p1/p2), e della curva di
indifferenza che contiene (x1*,x2*) sono uguali per il paniere
(x1*,x2*).
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• Chiediamoci ora cosa accade se x1* = 0 o se x2* = 0 ?
• Se x1* = 0 o se x2* = 0, allora la domanda ordinaria (x1*,x2*) è ad
una soluzione d’angolo per il problema della massimizzazione
dell’utilità sotto vincolo di bilancio.
• Visualizziamo un esempio
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Soluzioni d’angolo – il caso dei sostituti perfetti
x2
SMS = -1
x1
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Paniere preferito
x2
x2* =
m
p2
A
SMS = -1
Insieme di bilancio
pendenza = -p1/p2 con p1 > p2.
x1
x1* = 0
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• Il paniere A è quello che garantisce utilità maggiore (tra i panieri
acquistabili)
• Tutto il reddito viene speso per l’acquisto del bene x2.
• Pertanto p2x2=m, da cui si ottengono le coordinate di A
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x2
SMS = -1
Insieme di bilancio
pendenza = -p1/p2 con p1 < p2.
x2*
B
Paniere preferito
m
=
p1
x1
=0
x1*
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Quando U(x1,x2) = x1 + x2, il paniere
acquistabile preferito è (x1*,x2*), dove:
m 
( x1* , x2* ) =  ,0 
 p1 
se p1 < p2
 m
( x1*, x2* ) =  0, 
 p2 
se p1 > p2.
e
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x2
m
p2
SMS = -1
Insieme di bilancio
pendenza = -p1/p2 con p1 = p2.
m
p1
x1
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x2
m
p2
Tutti i panieri posti sul vincolo sono indifferenti quando
p1 = p2.
m
p1
x1
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Soluzioni d’angolo: preferenze non-convesse
• Esaminiamo una situazione diversa.
• Le preferenze sono continue e monotone
• Tuttavia non sono convesse
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Quale paniere scegliere?
x2
Ecco alcune alternative possibili
x1
Insieme di bilancio
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x2
La “soluzione di tangenza” non
individua il paniere acquistabile
preferito.
Paniere preferito tra quelli
acquistabili: sta sulla curva
di indifferenza più elevata
x1
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Soluzioni d’angolo: il caso di perfetti complementi
• Esaminiamo un caso diverso: x1* ed x2* sono positivi ma la
soluzione è “d’angolo”.
• Ciò può accadere se le preferenze sono espresse da curve di
indifferenza che presentano angoli.
• L’esempio più ovvio è costituito dal caso di “perfetta
complementarietà”.
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Università degli Studi di Bergamo
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U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2
SMS = -
∞
Il SMS non è definito
x2 = ax1
SMS = 0
x1
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Facoltà di Ingegneria
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
x2
Chiediamoci quale sia il preferito tra i panieri acquistabili.
x2 = ax1
x1
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Facoltà di Ingegneria
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
Il paniere preferito è posto
sulla curva di indifferenza
più elevata.
x2
x2 = ax1
x1
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Facoltà di Ingegneria
U(x1,x2) = min{ax1,x2}
Il paniere ottimale deve
rispettare le condizioni:
x2
(1) p1 x1* + p2 x2* = m
(2) x2* = ax1*
x2 = ax1
x2*
x1*
x1
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Università degli Studi di Bergamo
Facoltà di Ingegneria
Partendo da:
(a) p1x1* + p2 x2* = m; (b) x2* = ax1*.
Sostituendo x2* da (b) in (a) si ottiene
p1x1* + p2ax1* = m
e quindi:
x1* =
m
p1 + ap2
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Facoltà di Ingegneria
Sostituendo nuovamente x1* nella (b)
otteniamo la curva di domanda per il secondo
bene:
x2* =
am
.
p1 + ap2
Sostituendo x1* e x2* nel vincolo di bilancio,
si verifica che tale paniere è acquistabile.
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Facoltà di Ingegneria
Utilità
Approfondimento: scelta vincolata in 3D
x2
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x1
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Utilità
x2
x1
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Facoltà di Ingegneria
Utilità
x2
x1
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Facoltà di Ingegneria
Utilità
Paniere acquistabile ma non preferito.
x2
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x1
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Facoltà di Ingegneria
Paniere preferito
.tra quelli acquistabili
Utilità
Paniere acquistabile ma non preferito.
x2
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x1
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Proiezione 2D del grafico 3D
x2
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x1
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