Questionario - Sito Personale di Ettore Limoli

Sessione straordinaria 2007
Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE
PIANO NAZIONALE INFORMATICA
Tema di: MATEMATICA
Questionario
1. Si calcoli il limite della funzione
log 𝑥+3 −log (2𝑥+1)
, quando x tende a 2.
𝑥 2 +𝑥−6
2
2. Si calcoli il valore medio della funzione y = 1 - x nell’intervallo -2  x  3.
3. Data la funzione 𝑦 = 1 − 𝑥 2 , si stabilisca se sono verificate le condizioni di validità del
teorema di Rolle nell’intervallo -1  x  1 e, in caso affermativo, si trovi il punto in cui si
verifica la tesi del teorema.
4. Si consideri la seguente preposizione: “Una piramide è retta se la verticale calata dal vertice
cade entro il poligono di base”. Si dica se è vera o falsa e si motivi esaurientemente la
risposta.
5. La regione finita di piano delimitata dalla curva di equazione 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e dall’asse x
nell’intervallo 0  x   è la base di un solido S le cui sezioni ottenute con piani
perpendicolari all’asse x sono tutte quadrati. Si calcoli il volume di S.
6. Si verifichi che la curva di equazione 𝑦 =
𝑥−1
𝑥−2
è simmetrica rispetto all’intersezione dei suoi
asintoti.
7. Si inscriva in una sfera di raggio r il cilindro di volume massimo.
8. È più probabile ottenere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado o ottenere almeno un
12 lanciando ventiquattro volte due dadi?
9. Si enunci il quinto postulato di Euclide e si descriva qualche modello di planimetria non
euclidea.
10. Si trovi per quali valori di k ammetta soluzione l’equazione trigonometrica: senx + cosx = k.
 Il limite si presenta nella forma indeterminata [0/0], pertanto è possibile applicare la regola di De
L'Hôpital. Pertanto, essendo il rapporto tra la derivata del numeratore e la derivata del denominatore
dato da:
1
2
−
5
𝑥+3
2𝑥 + 1 = −
2𝑥 + 1
(𝑥 + 3)(2𝑥 + 1)2
è immediato verificare che il limite cercato vale – 1/25.
 Il valore medio di una funzione y = f(x) relativamente ad un intervallo [a, b] è dato da:
𝜇=
1
𝑏−𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
.
1
Nel nostro caso, considerando gli intervalli in cui l’argomento del valore assoluto è positivo o
negativo, si ha:
𝜇=
1
5
3
1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 =
−2
−1
1
5
𝑥 2 − 1 𝑑𝑥 +
−2
1
3
1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 +
−1
(𝑥 2 − 1)𝑑𝑥
1
e quindi:
1
𝜇=
5
1
𝑥3
−𝑥
3
𝑥3
+ 𝑥−
3
−2
1
𝑥3
+
−𝑥
3
−1
3
=
1
28
15
 Si osservi che la funzione data rappresenta una semicirconferenza di centro l’origine e raggio 1,
pertanto essa e continua e derivabile internamente all’intervallo [-1; 1], ossia in ]-1; 1[.
In effetti solo nei punti x = -1 e x =1 le tangenti sono parallele all’asse y e quindi la funzione non è
derivabile. Il punto cercato è pertanto l’origine dove la tangente è parallela all’asse x e quindi la
derivata è nulla.
 Una piramide è retta se il poligono di base è inscrittibile in una circonferenza il cui centro è piede
della perpendicolare condotta dal vertice della piramide al piano di base.
 L’area della sezione è quindi un quadrato di area sen x, per cui il volume è dato da:
𝜋
𝑉=
𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥
0
𝜋
0
=2
 La funzione data è un’iperbole omografica, ossia un’iperbole equilatera di asintoti: x = -2 e y = 1;
pertanto il punto d’intersezione degli asintoti (2; 1) è centro di simmetria della curva.
Volendo procedere ad una verifica diretta è semplice applicare all’equazione della funzione le
equazioni della simmetria centrale sostituendo a [x  4 – x]; e a [y  2 – y] e verificare così
l’asserto.
 Posta l’altezza del cilindro uguale a 2x, il raggio della circonferenza di base si ottiene applicando
il teorema di Pitagora al triangolo colorato in figura.
Pertanto il volume del cilindro è dato da: V =  (r 2 – x 2)  2 x = 2  (r 2 x – x 3); dove 0  x  r.
Per massimizzare il volume basterà massimizzare la funzione y = r 2 x – x 3.
Essendo y ' = r 2 – 3 x 2 il massimo si ha per x = r / 3.
2
 Per calcolare la probabilità di avere almeno un 6 lanciando quattro volte un dado calcoliamo
quella dell’evento contrario ossia che il 6 non esca neppure una volta nei quattro lanci. Detta
probabilità è data da: 𝑞 =
4
0
1
5 4
60
6
= 0,482 ; dove 1/6 è la probabilità che esca il 6 e 5/6 quella
dell’evento contrario. Pertanto la probabilità cercata è p = 1 – q = 0,518.
Analogamente calcoliamo la probabilità di avere almeno un 12 lanciando ventiquattro volte due
dadi. Ricordando che la probabilità che esca 12 lanciando due dadi è 1/36 e quella dell’evento
contrario è 35/36, si ha: 𝑞 =
24
0
1
36 0
35 24
36
= 0,509 ; quindi p = 1 – q = 0,491 che è quindi la
probabilità più piccola.
 Il quinto postulato di Euclide afferma l’esistenza e l’unicità della retta parallela ad una retta data
passante per un punto P non appartenente ad essa.
Un modello di geometria non euclidea è quello ottenuto sulla superficie di una sfera (ad esempio la
Terra) dove consideriamo i meridiani come rette parallele.
Per ulteriori approfondimenti si consulti un qualsiasi testo scolastico.
 Ponendo Y = sen x; X = cos x; e notando che la relazione fondamentale della goniometria diventa
X 2 + Y 2 = 1; si ha che risolvere l’equazione data equivale a risolvere il sistema parametrico:
𝑋+𝑌 = 𝑘
𝑋2 + 𝑌2 = 1
Graficamente cerchiamo le intersezioni tra le rette del fascio improprio e la
circonferenza.
È facile notare che si hanno sempre due intersezioni, ossia due soluzioni reali,
distinte o coincidenti (le tangenti), per rette comprese fra le posizioni delle due
rette tangenti, ossia per - 2  k  2.

Prof. Ettore Limoli
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