a.a. 2008/2009

ANALISI MATEMATICA II (CFU 9) [EL]
DOCENTE:: Rubbioni Paola
OBIETTIVI:
Fornire strumenti di calcolo; fornire criteri metodologici che consentano allo studente di acquisire autonomamente strumenti di calcolo non trattati nei corsi di base.
CONTENUTI:
Unità didattica: Successioni e Serie di Funzioni (28 ore)
Serie numeriche: serie notevoli, classificazione per segno e criteri di convergenza relativi.
Integrali in senso generalizzato: casi notevoli; condizioni sufficienti per l’integrabilità in
senso generalizzato.
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme; continuità del limite; teoremi di
passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata.
Serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale; teoremi di continuità
della somma, di integrazione e di derivazione per serie. Serie di potenze: raggio di
convergenza e teorema di D'Alembert, teoremi di convergenza totale e di integrazione e
derivazione per serie di potenze. Serie di Taylor, sviluppabilità in serie di Taylor e sviluppi
notevoli. Serie trigonometriche e cenni alle serie di Fourier.
Numeri complessi: il piano di Gauss, varie rappresentazioni dei numeri complessi; coniugato
e modulo di un numero complesso; operazioni elementari tra numeri complessi; formule di
Eulero.
Unità didattica: Funzioni di più Variabili ed Equazioni Differenziali Ordinarie (22 ore)
Funzioni in due variabili: grafici di funzioni elementari. Topologia di R2. Limiti e continuità.
Derivate parziali e derivate successive; gradiente; differenziabilità; derivate direzionali.
Formule di Taylor. Massimi e minimi relativi, punti stazionari e matrice hessiana; massimi e
minimi vincolati. Cenni alle funzioni in tre variabili.
Equazioni differenziali ordinarie: definizione di equazione differenziale e problema di
Cauchy; teoremi di esistenza locale ed unicità delle soluzioni per il problema di Cauchy.
Risoluzione di equazioni differenziali di notevole interesse. Equazioni differenziali lineari del
primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.
Unità didattica: Integrazione di Funzioni Vettoriali ed in più Variabili (31 ore)
Integrali curvilinei di funzioni vettoriali: funzioni vettoriali in R2 ed R3; curve regolari.
Lunghezza di una curva ed ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione in due o tre
variabili. Integrali curvilinei di forme differenziali; forme esatte e chiuse; campi conservativi
e campi irrotazionali.
Integrali doppi: domini normali e loro misura; definizione di integrale doppio; formule di
riduzione; formule di Gauss-Green; cambiamento di variabili negli integrali doppi; calcolo di
volumi.
Integrali tripli: formule di riduzione e cambiamenti di variabili negli integrali tripli.
Integrali di superficie: superfici regolari, piano tangente, versore normale. Area di una
superficie. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie.
Superfici orientabili e superfici con bordo. Teorema della divergenza e formula di Stokes.
PREREQUISITI:
Analisi Matematica I
TESTI CONSIGLIATI:
N.Fusco-P.Marcellini-C.Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore,
2001.
P.Marcellini-C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica – secondo volume parte prima,
Liguori Editore.
P.Marcellini-C.Sbordone, Esercitazioni di Matematica – secondo volume parte seconda,
Liguori Editore.
TESTI INTEGRATIVI:
M.Bramanti-C.D.Pagani-S.Salsa, Matematica – calcolo infinitesimale e algebra lineare,
Zanichelli.
MODALITÀ DI VERIFICA DEL PROFITTO:
La verifica consiste in due prove scritte. La prima prevede lo svolgimento di tre esercizi in
due ore e mezza, mentre la seconda prevede le risposte a tre quesiti teorici in un’ora.