1 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria - 12.12.03 cognome nome corso di laurea matricola Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare è compatibile: kx − 2ky + 2z = 0 (k + 1)x − (k + 3)y + (k + 1)z = 0 x − 2y + z = k − 1 risposta (punti 5) k 6= 2 Interpretando x,y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione dei tre piani rappresentati dalle equazioni del sistema, al variare del parametro reale k. risposta (punti 5) per k 6= 1, 2 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi una stella propria; per k = 2 non esistono punti comuni ai tre piani: il primo ed il terzo piano sono paralleli e disgiunti ed il secondo li incide secondo rette parallele, essi individuano quindi una stella impropria; per k = 1 i tre piani hanno in comune una retta: il secondo ed il terzo piano coincidono ed il primo è incidente, resta quindi individuato un fascio proprio. Esercizio 2. (consegnare lo svolgimento) In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della superficie generata dalla rotazione della retta r : x−2y = x+z = 0 attorno alla retta a : x+z = x+y −z = 0. risposta (punti 8) 5x2 + 32y 2 + 5z 2 − 36xy − 18xz + 36yz = 0 Esercizio 3. In E3 (R) si considerino le rette r : x + y = z = 0 ed s : x − y − h = x + 2z − 2 = 0. Si determinino i valori del parametro reale h per i quali le rette sono sghembe. risposta (punti 2) h 6= 4 Posto h = 0, i determini una rappresentazione cartesiana della retta incidente r ed s ed ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza). risposta (punti 4) x = y = z/4 Esercizio 4. In R4 (R) con il prodotto scalare definito termine a termine, si determinino il sottospazio S µ ¶ 1 1 0 1 delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = 2 1 0 3 risposta (punti 3) S = {(−2a, a, b, a) ∈ R4 , a, b ∈ R} ed il complemento ortogonale di S. risposta (punti 3) H = {(c, 2c − d, 0, d) ∈ R4 , c, d ∈ R} 2 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria - 12.12.03 cognome nome corso di laurea matricola Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare è compatibile: kx − 2ky + 3z = 0 (k + 1)x − (k + 3)y + (k + 1)z = 0 x − 2y + z = k − 1 risposta (punti 5) k 6= 3 Interpretando x,y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione dei tre piani rappresentati dalle equazioni del sistema, al variare del parametro reale k. risposta (punti 5) per k 6= 1, 3 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi una stella propria; per k = 3 non esistono punti comuni ai tre piani: il primo ed il terzo piano sono paralleli e disgiunti ed il secondo li incide secondo rette parallele, essi individuano quindi una stella impropria; per k = 1 i tre piani hanno in comune una retta: il secondo ed il terzo piano coincidono ed il primo è incidente, resta quindi individuato un fascio proprio. Esercizio 2. (consegnare lo svolgimento) In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della superficie generata dalla rotazione della retta r : x−2z = x+y = 0 attorno alla retta a : x+y = x−y +z = 0. risposta (punti 8) 5x2 + 5y 2 + 32z 2 − 18xy − 36xz + 36yz = 0 Esercizio 3. In E3 (R) si considerino le rette r : x + y = z = 0 ed s : x − y − h = x + z − 1 = 0. Si determinino i valori del parametro reale h per i quali le rette sono sghembe. risposta (punti 2) h 6= 2 Posto h = 0, i determini una rappresentazione cartesiana della retta incidente r ed s ed ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza). risposta (punti 4) x = y = z/2 Esercizio 4. In R4 (R) con il prodotto scalare definito termine a termine, si determinino il sottospazio S µ ¶ 1 1 1 0 delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = 2 1 3 0 risposta (punti 3) S = {(−2a, a, a, b) ∈ R4 , a, b ∈ R} ed il complemento ortogonale di S. risposta (punti 3) H = {(c, 2c − d, d, 0) ∈ R4 , c, d ∈ R} 3 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria - 12.12.03 cognome nome corso di laurea matricola Esercizio 1. Si dica per quali valori reali di k il seguente sistema lineare è compatibile: kx − 2ky + 4z = 0 (k + 1)x − (k + 3)y + (k + 1)z = 0 x − 2y + z = k − 1 risposta (punti 5) k 6= 4 Interpretando x,y e z come coordinate in E3 (R), si dica quale è la mutua posizione dei tre piani rappresentati dalle equazioni del sistema, al variare del parametro reale k. risposta (punti 5) per k 6= 1, 4 i tre piani hanno in comune esattamente un punto e individuano quindi una stella propria; per k = 4 non esistono punti comuni ai tre piani: il primo ed il terzo piano sono paralleli e disgiunti ed il secondo li incide secondo rette parallele, essi individuano quindi una stella impropria; per k = 1 i tre piani hanno in comune una retta: il secondo ed il terzo piano coincidono ed il primo è incidente, resta quindi individuato un fascio proprio. Esercizio 2. (consegnare lo svolgimento) In E3 (R) si determini una rappresentazione cartesiana della superficie generata dalla rotazione della retta r : 2x − y = y + z = 0 attorno alla retta a : y + z = x + y − z = 0. risposta (punti 8) 32x2 + 5y 2 + 5z 2 − 36xy + 36xz − 18yz = 0 Esercizio 3. In E3 (R) si considerino le rette r : x + y = z = 0 ed s : x − y − h = x + 3z − 3 = 0. Si determinino i valori del parametro reale h per i quali le rette sono sghembe. risposta (punti 2) h 6= 6 Posto h = 0, i determini una rappresentazione cartesiana della retta incidente r ed s ed ortogonale ad entrambe (retta di minima distanza). risposta (punti 4) x = y = z/6 Esercizio 4. In R4 (R) con il prodotto scalare definito termine a termine, si determinino il sottospazio S µ ¶ 1 0 1 1 delle soluzioni del sistema AX = 0 con A = 2 0 1 3 risposta (punti 3) S = {(−2a, b, a, a) ∈ R4 , a, b ∈ R} ed il complemento ortogonale di S. risposta (punti 3) H = {(c, 0, 2c − d, d) ∈ R4 , c, d ∈ R}