M. T. Mazzucato, Schede di Trigonometria

SCHEDA SULLA TRIGONOMETRIA
INDICE
Circonferenza trigonometrica
Relazioni fondamentali che legano tra loro le funzioni trigonometriche
Riduzione al primo quadrante
Segni algebrici delle funzioni trigonometriche
Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali e alcuni notevoli
Grafici delle funzioni trigonometriche
Tavola dei valori naturali delle funzioni trigonometriche nel primo quadrante (con sei decimali)
Formulario trigonometrico (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione, parametriche, prostaferesi e di Werner)
Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli qualsiasi
Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli rettangoli
Spunti e approfondimenti
(tratta da wikipedia.it)
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Circonferenza trigonometrica
Ha per centro l'origine di un sistema di assi cartesiani ortogonali e per raggio l'unità OA=OC=OD=1. Ad essa vengono riferite tutte le funzioni
trigonometriche dirette sin (seno BC), cos (coseno OB), tan (tangente AG) e indirette csc (cosecante OD), sec (secante OG), cot (cotangente DF) nonché del
versin (senoverso BA) = complemento a 1 del coseno, vercos (cosenoverso C’’D’’) = complemento a 1 del seno, excsc (cosecante esterna DE) ed exsec
(secante esterna CG). L’angolo al centro cresce in senso antiorario.
(tratta da wikipedia.it)
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Relazioni fondamentali che legano tra loro le funzioni trigonometriche
1) sin2α + cos2α = 1
da cui
sinα = ± (1-cos2α)0.5 e cosα = ± (1-sin2α)0.5
2) tanα = sinα/cosα ; tanα = 1/cotα
3) cotα = cosα/sinα ; cotα = 1/tanα
4) cscα = 1/sinα ; csc2α – cot2α = 1
5) secα = 1/cosα ; sec2α – tan2α = 1
6) versinα = 1-cosα
7) vercosα = 1-sinα
8) excscα = cscα –1
9) exsecα = secα –1
10) senα = 1/cscα
11) cosα = 1/secα
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Riduzione al primo quadrante
sinα
cosα
tanα
cscα
secα
cotα
metodo degli angoli
II
III
90°-180°
180°-270°
+ sin(180°–α) – sin(α–180°)
– cos(180°–α) – cos(α–180°)
– tan(180°–α) + tan(α–180°)
+ csc(180°–α) – csc(α–180°)
– sec(180°–α) – sec(α–180°)
– cot(180°–α) + cot(α–180°)
IV
270°-360°
– sin(360°–α)
+ cos(360°–α)
– tan(360°–α)
– csc(360°–α)
+ sec(360°–α)
– cot(360°–α)
sinα
cosα
tanα
cscα
secα
cotα
metodo delle funzioni
II
III
90°-180°
180°-270°
+ cos(α –90°) – cos(270°–α)
– sin(α –90°) – sin(270°–α)
– cot(α –90°) + cot(270°–α)
+ sec(α –90°) – sec(270°–α)
– csc(α –90°) – csc(270°–α)
– tan(α –90°) + tan(270°–α)
IV
270°-360°
– cos(α–270°)
+ sin(α–270°)
– cot(α–270°)
– sec(α–270°)
+ csc(α–270°)
– tan(α–270°)
Nota: se l’angolo in esame è maggiore dell’angolo giro (360°=2π), si tolgono tanti angoli giri quanti se ne possono estrarre dall’angolo in esame e sul resto
si applica uno dei metodi di riduzione di cui alle precedenti tabelle.
Segni algebrici delle funzioni trigonometriche
sinα
cosα
tanα
cscα
secα
cotα
I
0°-90°
+
II
90°-180°
+
III
180°-270°
–
IV
270°-360°
–
0→1
1→0
0 → -1
-1 → 0
+
–
–
+
1→0
0 → -1
-1 → 0
0→1
+
–
+
–
0→∞
-∞ → 0
∞→0
-∞ → 0
+
+
–
–
∞→1
1→∞
-∞ → -1
-1 → -∞
+
–
–
+
1→∞
-∞ → -1
-1 → -∞
∞→1
+
–
+
–
∞→0
0 → -∞
∞→0
0 → -∞
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Valori delle funzioni trigonometriche degli angoli fondamentali e alcuni notevoli
0°
0
30°
π/6
45°
π/4
60°
π/3
90°
π/2
120°
2π/3
135°
3π/4
150°
5π/6
180°
π
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
-
2
2
-
3
2
-1
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
- 12
-
2
2
- 12
0
1
2
tanα
0
3
3
1
±∞
- 3
±∞
- 3
cscα
±∞
2
2
2 3
3
1
2 3
3
secα
1
2 3
3
2
2
±∞
-2
cotα
±∞
3
3
0
3
1
3
-
3
3
225°
5π/4
240°
4π/3
270°
3/2π
300°
5π/3
-
3
2
330°
11π/6
360°
2π
- 12
0
3
2
1
3
3
0
2
2
-
3
2
-1
-1
-
3
3
0
1
2
±∞
- 2
- 2 33
-1
- 2 33
-2
±∞
- 2
- 2 33
-1
- 2
-2
±∞
2
2 3
3
1
-1
- 3
±∞
1
3
3
0
- 3
±∞
-
2
3
-
3
3
-
Nota: un radiante RAD è quell’angolo al centro della circonferenza trigonometrica che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio della medesima
circonferenza. Un RAD = 180°/π = 57.295 779… DEG
proporzione per ricavare angoli radianti RAD conoscendo quelli sessagesimali DEG αr = 2π/360°α° = π/180°α°
proporzione per ricavare angoli sessagesimali DEG conoscendo quelli radianti RAD α° = 360°/2παr = 180°/παr
con π = 3.141 592...
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Grafici delle funzioni trigonometriche
(tratti da www.matematicamente.it e realizzati da Gianni Sammito)
sin
cos
tan
csc
sec
cot
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Tavola dei valori naturali delle funzioni trigonometriche nel primo quadrante (con sei decimali)
RAD
0.000
0.017
0.034
0.052
0.069
0.087
0.104
0.122
0.139
0.157
0.174
0.191
0.209
0.226
0.244
0.261
0.279
0.296
0.314
0.331
0.349
0.366
0.383
0.401
0.418
0.436
0.453
0.471
0.488
0.506
0.523
0.541
0.558
0.575
0.593
0.610
0.628
0.645
0.663
0.680
0.698
0.715
0.733
0.750
0.767
0.785
000
453
906
359
813
266
719
173
626
079
532
986
439
892
346
799
252
705
159
612
065
519
972
425
879
332
785
238
692
145
598
052
505
958
411
865
318
771
225
678
131
584
038
491
944
398
DEG
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
SIN
0.000
0.017
0.034
0.052
0.069
0.087
0.104
0.121
0.139
0.156
0.173
0.190
0.207
0.224
0.241
0.258
0.275
0.292
0.309
0.325
0.342
0.358
0.374
0.390
0.406
0.422
0.438
0.453
0.469
0.484
0.500
0.515
0.529
0.544
0.559
0.573
0.587
0.601
0.615
0.629
0.642
0.656
0.669
0.681
0.694
0.707
000
452
899
335
756
155
528
869
173
434
648
808
911
951
921
819
637
371
016
568
020
367
606
731
736
618
371
990
471
809
000
038
919
639
192
576
785
815
661
320
787
059
130
998
658
106
COS
COS
1.000
0.999
0.999
0.998
0.997
0.996
0.994
0.992
0.990
0.987
0.984
0.981
0.978
0.974
0.970
0.965
0.961
0.956
0.951
0.945
0.939
0.933
0.927
0.920
0.913
0.906
0.898
0.891
0.882
0.874
0.866
0.857
0.848
0.838
0.829
0.819
0.809
0.798
0.788
0.777
0.766
0.754
0.743
0.731
0.719
0.707
000
847
390
629
564
194
521
546
268
688
807
627
147
370
295
925
261
304
056
518
692
580
183
504
545
307
794
006
947
619
025
167
048
670
037
152
016
635
010
145
044
709
144
353
339
106
SIN
TAN
0.000
0.017
0.034
0.052
0.069
0.087
0.105
0.122
0.140
0.158
0.176
0.194
0.212
0.230
0.249
0.267
0.286
0.305
0.324
0.344
0.363
0.383
0.404
0.424
0.445
0.466
0.487
0.509
0.531
0.554
0.577
0.600
0.624
0.649
0.674
0.700
0.726
0.753
0.781
0.809
0.839
0.869
0.900
0.932
0.965
1.000
000
455
920
407
926
488
104
784
540
384
326
380
556
868
328
949
745
730
919
327
970
864
026
474
228
307
732
525
709
309
350
860
869
407
508
207
542
554
285
784
099
286
404
515
688
000
COT
CSC
SEC
COT
----57.298 688
28.653 708
19.107 322
14.335 587
11.473 713
9.566 772
8.205 509
7.185 296
6.392 453
5.758 770
5.240 843
4.809 734
4.445 411
4.133 565
3.863 703
3.627 955
3.420 303
3.236 067
3.071 553
2.923 804
2.790 428
2.669 467
2.559 304
2.458 593
2.366 201
2.281 172
2.202 689
2.130 054
2.062 665
2.000 000
1.941 604
1.887 079
1.836 078
1.788 291
1.743 446
1.701 301
1.661 640
1.624 269
1.589 015
1.555 723
1.524 253
1.494 476
1.466 279
1.439 556
1.414 2
1.000 000
1.000 152
1.000 609
1.001 372
1.002 441
1.003 819
1.005 508
1.007 509
1.009 827
1.012 465
1.015 426
1.018 716
1.022 340
1.026 304
1.030 613
1.035 276
1.040 299
1.045 691
1.051 462
1.057 620
1.064 177
1.071 144
1.078 534
1.086 360
1.094 636
1.103 377
1.112 601
1.122 326
1.132 570
1.143 354
1.154 700
1.166 633
1.179 178
1.192 363
1.206 217
1.220 774
1.236 1
1.252 135
1.269 018
1.286 759
1.305 407
1.325 012
1.345 632
1.367 327
1.390 163
1.414 213
----57.289 961
28.636 253
19.081 136
14.300 666
11.430 052
9.514 364
8.144 346
7.115 369
6.313 751
5.671 281
5.144 554
4.704 630
4.331 475
4.010 780
3.732 050
3.487 414
3.270 852
3.077 683
2.904 210
2.747 477
2.605 089
2.475 086
2.355 852
2.246 036
2.144 506
2.050 303
1.962 610
1.880 726
1.804 047
1.732 050
1.664 279
1.600 334
1.539 864
1.482 560
1.428 148
1.376 381
1.327 044
1.279 941
1.234 897
1.191 753
1.150 368
1.110 612
1.072 368
1.035 530
1.000 000
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
SEC
CSC
TAN
DEG
1.570
1.553
1.535
1.518
1.500
1.483
1.466
1.448
1.431
1.413
1.396
1.378
1.361
1.343
1.326
1.308
1.291
1.274
1.256
1.239
1.221
1.204
1.186
1.169
1.151
1.134
1.117
1.099
1.082
1.064
1.047
1.029
1.012
0.994
0.977
0.959
0.942
0.925
0.907
0.890
0.872
0.855
0.837
0.820
0.802
0.785
796
343
889
436
983
529
076
623
169
716
263
810
356
903
450
996
543
090
637
183
730
277
823
370
917
464
010
557
104
650
197
744
290
837
384
931
477
024
571
117
664
211
758
304
851
398
RAD
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli qualsiasi
Per risolvere un triangolo qualsiasi occorrono tre elementi (due per un triangolo rettangolo) di cui almeno un lato
caso 1
noti: 1 lato e 2 angoli
esempio: a α β
una sola soluzione
caso 2
noti: 2 lati e l’angolo compreso
esempio: a b γ
una sola soluzione
Caso 3
noti: 2 lati e 1 angolo adiacente
al lato incognito
γ= 360°-(α+β)
b= asinβ/sinα
A= (c2/2)[(sinβsinα)/sin(β+α)]
c= asinγ/sinα
c2= a2+b2-abcosγ
cosα= (b2+c2-a2)/2bc
A= (absinγ)/2
β= 360°-(α+γ)
sinβ= (bsinα)/a
γ= 360°-(α+β)
c= asinγ/sinα
A2= p(p-a)(p-b)(p-c)
con p= (a+b+c)/2
esempio: a b α
nessuna, una o due soluzioni
verificare le soluzioni ambigue per β
caso 4
noti: 3 lati
cosα= (b2+c2-a2)/2bc
A2= p(p-a)(p-b)(p-c)
cosβ= (a2+c2-b2)/2ac
con p= (a+b+c)/2
γ= 360°-(α+β)
Formula di Erone
esempio: a b c
una sola soluzione
Formula di Erone
A B C vertici e a b c lati del triangolo α β γ angoli interni del triangolo corrispondenti ai rispettivi vertici e opposti ai rispettivi lati
In ogni triangolo: α + β + γ = π = 180°
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Schema riassuntivo per la risoluzione dei triangoli rettangoli
Per risolvere un triangolo qualsiasi occorrono tre elementi (due per un triangolo rettangolo) di cui almeno un lato
caso 1
noti: ipotenusa c e angolo α
caso 2
noti: cateto a e angolo α
caso 3
noti: ipotenusa c e cateto a
caso 4
noti: cateto a e cateto b
β= 90°-α
A2= p(p-a)(p-b)(p-c)
a= csinα = ccosβ
con p= (a+b+c)/2
b= ccosα = csinβ
Formula di Erone
β= 90°-α
A2= p(p-a)(p-b)(p-c)
b= acotα = atanβ
con p= (a+b+c)/2
c= a/sinα = a/cosβ
Formula di Erone
sinα= a/c oppure cosβ= a/c
A2= p(p-a)(p-b)(p-c)
β= 90°-α oppure α= 90°-β
con p= (a+b+c)/2
b= ccosα = csinβ
Formula di Erone
tanα= a/b oppure tanβ= b/a
A2= p(p-a)(p-b)(p-c)
β= 90°-α oppure α= 90°-β
con p= (a+b+c)/2
c= a/sinα = a/cosβ
Formula di Erone
A B C vertici, a b cateti e c ipotenusa del triangolo α β γ angoli interni del triangolo corrispondenti ai rispettivi vertici e opposti ai rispettivi lati
con γ=90° angolo retto e A area del triangolo
In ogni triangolo: α + β + γ = π = 180°
Michele T. Mazzucato - settembre 2015
Spunti e approfondimenti
Breve storia della trigonometria (di Enrico Giusti)
Appunti di trigonometria PDF (di Paolo Ciampanelli)
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Manuale di goniometria e trigonometria PDF (di Simone Camosso)
Goniometria (a cura di Sabrina Rossi)
Trigonometria (a cura di Sabrina Rossi)
Trigonometria e PDF (di Dino Betti)
volumi in PDF
Saggio d’un trattato generale di trigonometria (1834) di Filippo Corridi (1806-1877)
Serie trigonometriche (1928) di Leonida Tonelli (1885-1946)
Tavole trigonometriche. Edizione accuratissima, con una introduzione che contiene un compendio
di trigonometria piana e sferica applicata alla pratica, con molte altre tavole e rischiaramenti utili
in queste materie (1769) di Giuseppe Toaldo (1719-1797)
Trattato elementare di trigonometria piana e sue applicazioni (1866) di Ermenegildo Francolini
Michele T. Mazzucato - settembre 2015