ESERCIZI 3 (1) Indicare l`argomento del numero complesso z = 1 1

ESERCIZI 3
(1) Indicare l’argomento del numero complesso z =
1
.
1−i
(2) Assegnato il numero complesso z = 1 + i, calcolare z 3 .
(3) Verificare che (1 − i)7 = 8(1 + i).
(4) Calcolare
3i − 2
i−3
(1 − i)(i − 2)
.
+
+
i−2
1 − 2i
(2i + 1)2
(1 + i)4
(5) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso z = √
.
( 3 − i)5
(6) Calcolare le radici quarte del numero complesso z = i(i −
√
3).
(7) Risolvere in campo complesso le seguenti equazioni
√
z−1 3
5
(z − 2) = 1 − i 3,
=i−1
z+1
i
z5 =
,
z 2 + 2z = i
i−1
z 6 − iz 3 − 1 = 0,
z 2 + 2z = 1.
(8) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso
√
i
3
z= −
.
2
2
Indicare il più piccolo intero positivo n tale che z n = 1.
(9) Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso z = 1 − i. Indicare il più piccolo
intero positivo n ed il numero reale positivo C tali che z n = C i.
(10) Determinare il più piccolo intero positivo n tale che (i−1)n sia un numero reale negativo.
(11) Descrivere l’insieme dei numeri complessi z per cui
• |z − (1 − i)| = 2;
• z + z = zz;
• (1 − i)z − (1 + i)z = i;
• |z| ≤ |z + i|.
2
(12) Quattro numeri complessi stanno sui vertici di un quadrato nel piano complesso. Tre di
questi sono 1 + i, −1 + i, −1 − i. Qual è il quarto?
(13) Scrivere l’equazione di grado minimo a coefficienti reali avente tra le sue radici complesse
i numeri 2 − i e 1 + 2i.