Calcolo della rotazione degli assi principali dello stress in

Calcolo della rotazione degli assi principali dello stress
in base ad un polo di rotazione
Mauro Alberti, www.malg.eu
La rotazione degli assi principali viene effettuata con la formula da Kuipers, 2002, p. 113 e Cox e Hart, 1990,
pp. 226-7, riq. 7.3:
v' = R v
in cui un vettore v viene ruotato alla nuova orientazione v' utilizzando la moltiplicazione tra v e la matrice di
rotazione R, ricavata dal polo di rotazione e dall'angolo associato, con verso definito secondo la regola della
mano destra.
Derivazione della matrice di rotazione dal polo di rotazione
Disponendo di un polo di rotazione espresso come trend (t, 0-360°) e plunge (p, 0-90°), e di un associato
angolo di rotazione (α, -360-360°, segno determinato secondo la regola del pollice destro), possiamo
determinare le coordinate cartesiane del polo come:
px = cos(t) cos(p)
py = sin(t) cos(p)
pz = sin(p)
e la matrice di rotazione R come:
R11 = px2 (1- cos(p)) + cos(p)
R12 = px py (1- cos(p)) - pz sin(p)
R13 = px pz (1- cos(p)) + py sin(p)
R21 = pxpy (1- cos(p)) + pz sin(p)
R22 = py2 (1- cos(p)) + cos(p)
R23 = py pz (1- cos(p)) - px sin(p)
R31 = px pz (1- cos(p)) - py sin(p)
R32 = py pz (1- cos(p)) + px sin(p)
R33 = pz2 (1- cos(p)) + cos(p)
Moltiplicazione tra vettore e matrice di rotazione
Le componenti cartesiane del vettore ruotato, ootenibili con la classica moltiplicazione tra matrice 3x3 e
vettore 3x1, ha componenti (Cox e Hart, 1990, pp. 227, riq. 7.3):
v'x = R11 vx + R12 vy+ R13 vz
v'y = R21 vx + R22 vy+ R23 vz
v'x = R31 vx + R32 vy+ R33 vz
Bibliografia
Cox, A., Hart R.B., 1990. La tettonica delle placche. Meccanismi e modalità. Zanichelli, 383 pp.
Kuipers, J. B., 2002. Quaternions and Rotation Sequences: A Primer with Applications to Orbits, Aerospace and Virtual
Reality. Princeton University Press, 400 pp.