TREVIGLIO Corso di Informatica - Centro Salesiano don Bosco

CENTRO SALESIANO DON BOSCO – TREVIGLIO
Corso di Informatica
1) Un’urna contiene 4 palline bianche e 6 nere e 5 rosse tutte uguali e non distinguibili
che per il colore. Calcolare la probabilità che, estraendo a caso una pallina dall’urna, si
verifichino i seguenti eventi:
a) A=”la pallina è bianca”
b) B=”la pallina è nera”
c) C=”la pallina è bianca o nera”
d) D=”la pallina non è bianca”
R:
Applichiamo la definizione classica della Probabilità.
I casi possibili sono 15, il numero totale delle palline nell’urna.
a) i casi favorevoli per l’evento A sono 4, il numero delle palline bianche nell’urna,
pertanto
4
p( A) =
15
b) analogamente al caso a) si ha, poiché le palline nere nell’urna sono 6,
6
p(B ) =
15
c) l’evento C è l’unione dei due eventi incompatibili A e B, C = A ∪ B ; pertanto per la
proprietà additiva della Probabilità, si ha
4 6 10
p(C ) = p ( A ∪ B ) = p( A) + p (B ) =
+
=
.
15 15 15
Si poteva giungere allo stesso risultato calcolando direttamente i 10 casi favorevoli (la
somma delle palline bianche e delle palline nere); pertanto
10
p (C ) =
15
d) l’evento D è l’evento opposto dell’evento A, A ; pertanto per la proprietà dell’evento
complementare, si ha
4 11
p (D ) = p A = 1 − p ( A ) = 1 −
=
15 15
Anche in questo caso si poteva giungere al risultato calcolando direttamente i casi
favorevoli che sono le 11 palline non bianche, somma delle 6 nere e 5 rosse, quindi
ottenere
11
p (D ) =
15
()
Statistica_Probabilità
Probabilità - Verifica – 0
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2) Si consideri il lancio un dado avente le sei facce numerate da 1 a 6. Calcolare la
probabilità dei seguenti eventi:
a) A=”esce il numero 6”
b) B=”esce un numero dispari”
c) C=”esce un numero maggiore di 3”
d) D=”esce un numero dispari maggiore di 3
e) E=”esce un numero divisibile per 3
f) F=”esce il numero dispari o divisibile per 3”
g) G=”esce il numero 7”
R:
Considerato che tutti i casi ugualmente possibili sono 6, applichiamo la definizione
classica della Probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili.
a) per tale evento si ha, essendo l’uscita dell’1 uno dei 6 casi possibili,
1
p ( A) =
6
b) i casi favorevoli per tale evento sono 3, i numeri dispari {1,3,5}, pertanto
3 1
p(B ) = =
6 2
c) i casi favorevoli sono 3, i numeri dell’insieme {4,5,6}; quindi
3 1
p(C ) = =
6 2
d) l’evento in questione è il verificarsi di entrambi gli eventi (evento prodotto) B e C, e
pertanto si ha un solo caso favorevole D = B ∩ C = {1,3,5}∩{4,5,6}={5} e quindi
1
p(D ) =
6
e) i casi favorevoli sono 2, i numeri 3 e 6; pertanto
2 1
p(E ) = =
6 3
f) l’evento che si deve considerare è l’unione dei due eventi non incompatibili B ed E, in
quanto il verificarsi di un numero dispari può verificarsi contemporaneamente al
verificarsi di un numero divisibile per 3, ovvero il prodotto (intersezione) B∩E non è
vuoto; pertanto per la proprietà additiva della Probabilità si ha
p (F ) = p (B ) + p ( E ) − p ( B ∩ E )
1
Poiché inoltre l’evento B∩E contiene il numero{3}si ha che p(B I E ) = e quindi alla
6
fine otteniamo
1 1 1 4 2
p (F ) = + − = =
2 3 6 6 3
Si poteva giungere allo stesso risultato considerando che l’insieme B ∪ E contiene 4
elementi (il 3 è contato una sola volta); quindi essendo i casi favorevoli 4
4 2
p(F ) = =
6 3
g) poiché l’evento è impossibile, sarà, ricordando la Probabilità dell’insieme vuoto,
p(G ) = p(Φ ) = 0
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Probabilità - Verifica – 0
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3) Da un mazzo di 52 carte composto13 carte (di cui 3 figure) per ognuno dei 4 semi 2
rossi (cuori e quadri) e 2 neri (picche, fiori), si estragga a caso una carta.
Calcolare la probabilità:
a) la carta è nera
b) la carta è di picche
c) la carta è una figura
d) la carta non è una figura nera
e) la carta è rossa o di picche
f) la carta è una figura o rossa
R:
Tutti i casi ugualmente possibili sono 52 (le 52 carte); applichiamo la definizione
classica della Probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili.
a) i casi favorevoli sono le 26, 13 carte per ognuno dei due semi neri; pertanto
26 1
p=
=
52 2
b) i casi favorevoli sono le 13 carte del seme di picche, perciò
13 1
p=
=
52 4
c) i casi favorevoli sono le 12 figure, 3 per ogni seme, pertanto
12 3
p=
=
52 13
d) la probabilità dell’evento “non è una figura nera” è l’opposto dell’evento N=“è una
figura nera” che ha probabilità, essendo le figure nere 6 (3 di picche e 3 di fiori)
6
3
p( N ) =
=
. Per la Probabilità dell’evento opposto p N = 1 − p ( N ) si ha
52 26
3 23
p N = 1−
=
26 26
e) la probabilità che dell’evento R=”la carta è rossa”, essendo i casi favorevoli 26 (13
26 1
carte per ognuno dei 2 semi rossi), p (R ) =
= ; la probabilità dell’evento P=“la
52 2
13 1
carta di picche”, poiché i casi favorevoli sono 13, è
= .
52 4
L’evento considerato è l’unione dei due eventi R e P e quindi per la proprietà additiva
della Probabilità si ha, essendo i due eventi incompatibili ( R ∩ P = Φ ),
1 1 3
p = p ( R ) + p (P ) = + =
2 4 4
f) analogamente al caso e) consideriamo l’evento unione dei due eventi F=”la carta è
12 3
una figura”, con probabilità p(F ) =
=
(caso c) e R=”la carta è rossa” che ha
52 13
26 1
probabilità p (R ) =
= .
52 2
Allora si ha per la proprietà additiva, potendosi i due eventi verificarsi
6
3
contemporaneamente, ( F ∩ R ≠ Φ ), poiché p(F ∩ R ) =
=
, (i casi favorevoli
52 26
sono le 6 figure rosse),
3 1 3 12 6
p (F ∪ R ) = p ( F ) + p ( R ) − p ( F ∩ R ) = + −
=
=
13 2 26 26 13
( )
( )
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