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Università della Calabria
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
CORSO DI IDROLOGIA N.O.
Prof. Pasquale Versace
SCHEDA DIDATTICA N°24
MODELLAZIONE MATEMATICA DEL MOTO
DELLE ACQUE SOTTERRANEE
A.A. 2011-12
Introduzione
Analogamente a quanto fatto nella meccanica dei fluidi con l’introduzione della particella fluida,
anche nel caso dei mezzi porosi è stato introdotto il concetto di Volume Rappresentativo
Elementare (REV, Representative Elementary Volume) per mediare le proprietà fisiche e idrauliche
del mezzo poroso, passando da proprietà microscopiche a proprietà macroscopiche ed assumere tali
proprietà come proprietà “puntuali”. L’introduzione del concetto di “particella fluida”, infatti,
consentiva di vedere un fluido come un sistema continuo, le cui proprietà erano funzioni che
assumevano valori con continuità in ogni punto del sistema. Allo stesso modo, il concetto di REV
ha consentito di trattare il mezzo poroso come un sistema continuo, le cui proprietà fisiche e
idrauliche sono funzioni continue.
In altri termini, la reale geometria del mezzo poroso, impossibile da descrivere su scala
microscopica, viene sostituita da un continuo concettuale in cui le proprietà fisiche sono proprietà
macroscopiche, cioè mediate sul REV e, quindi funzioni continue dei punti (x, y, z) del mezzo
poroso.
L’approccio continuo allo studio della meccanica dei fluidi nei mezzi porosi, se, da una parte, lascia
inalterato il significato fisico di grandezze come la pressione o la densità di un fluido, dall’altra
parte, muta il significato fisico della grandezza velocità, la quale non sarà più la rapidità con cui una
particella fluida cambia posizione in un sistema di riferimento.
In idrologia sotterranea quando si parla di velocità, si intende parlare della velocità di Darcy, data
dal volume di acqua che nell’unità di tempo attraversa la sezione di un REV, intesa come insieme di
spazi vuoti e spazi occupati dai grani solidi.
La legge di Darcy è una legge empirica che fornisce un valore di portata specifica nel mezzo
poroso. In particolare:
q = −K ⋅∇h
(1)
La portata specifica nel mezzo poroso risulta essere proporzionale alla perdita si carico idraulico
attraverso la conducibilità idraulica K.
La legge di Darcy è alla base delle equazioni che regolano il movimento idrico nel sottosuolo, sia
per i terreni saturi che per quelli non saturi per i quali si parla propriamente di legge di Darcy
generalizzata.
Il flusso idrico in un mezzo poroso saturo
In un mezzo poroso saturo,dove il movimento dell’acqua è governato essenzialmente dalla forza
gravitazionale,la legge generale del moto è espressa nel seguente modo:
∇ ⋅ [K ∇h] = S s
∂h
∂t
(2)
in cui h è noto essere il carico piezometrico, h = z + p / γ , K è il tensore di secondo ordine della
conducibilità idraulica ed Ss è l’immagazzinamento specifico, funzione della compressibilità del
mezzo solido, della porosità e della comprimibilità del fluido.
Assumendo che x, y, e z siano le direzioni principali della conducibilità idraulica, invarianti nello
spazio, rispetto alle quali il tensore si riduce ad una forma matriciale diagonale, l’equazione diventa:
∂ ⎛
∂h ⎞ ∂ ⎛
∂h ⎞ ∂ ⎛
∂h ⎞
∂h
⎟⎟ + ⎜ K z
⎜Kx
⎟ + ⎜⎜ K y
⎟ = Ss
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
∂t
(3)
Da questa equazione di base scaturiscono altre di forme più o meno semplificate, a seconda delle
ipotesi assunte, quali quelle che considerano il mezzo omogeneo ed isotropo e/o condizioni
stazionarie, che conducono alla ben nota equazione di Laplace:
∂2h ∂2h ∂2h
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(4)
Il flusso idrico in un mezzo poroso non saturo: l’equazione di Richards
Nel mezzo parzialmente saturo le equazioni teoriche che ne descrivono il moto appaiono più
complesse, poiché il movimento avviene sia nella fase liquida che nella fase di vapore. Il flusso non
dipende soltanto dai carichi gravitazionali e capillari, ma anche dalla concentrazione di vapore e dal
gradiente di temperatura presenti nel suolo. La principale difficoltà nello studio dei fenomeni di
flusso nel non saturo è l’individuazione delle variabili indipendenti e della “scala” con descrivere i
fenomeni stessi.
Tra i diversi approcci adoperabili per tale problematica, quello affrontato in questa sede considera
l’ipotesi di isotermia, tale che il gradiente della concentrazione di vapore sia nullo e, quindi, il
flusso di umidità sia presente solo nella fase liquida e considera il sistema monofasico, assumendo
vuoti i volumi che effettivamente sono occupati dall’aria.
In questo caso le sole forze agenti sono quelle di massa e quelle capillari1, pertanto il movimento
della fase fluida avviene per effetto dei gradienti idraulici, in maniera analoga a quanto avviene nei
mezzi saturi ma con una permeabilità variabile con il grado di saturazione.
Le ipotesi di partenza che consento di pervenire all’equazione sono:
• isotermia, tale che il gradiente della concentrazione di vapore sia nullo e, quiindi, il flusso di
umidità è presente solo nella fase liquida;
• le sole forze agenti sono quelle di massa e quelle capillare;
• il mezzo è inerte ed indeformabile;
• inoltre, gli effetti dovuti all’isteresi2 sono trascurabili.
La trattazione rigorosa del moto dell’acqua in un mezzo non saturo è rappresentata dall’equazione
di Richards, ottenuta dalla combinazione dell’equazione di continuità e della legge del moto,
scritte per un mezzo non saturo.
Tale equazione descrive il flusso idrico nel mezzo poroso, governato dalle sole azioni di forze
gravitative e capillari, consentendo di determinare in ogni istante il profilo del contenuto d’acqua
nel terreno ed il suo stato tensionale.
Per un volume elementare di suolo omogeneo (figura 1) si scrive:
∇ ⋅q = −
∂θ
⇒ ovvero
∂t
∂q
⎛ ∂q
∂q ⎞ ∂θ
− ∇ ⋅ q = −⎜⎜ x + y + z ⎟⎟ =
∂y
∂z ⎠ ∂t
⎝ ∂x
(5)
dove qx, qy, qz, sono le componenti del vettore portata specifica (velocità di filtrazione), q , nelle
direzioni x, y, z del riferimento cartesiano, θ il contenuto d’acqua.
Figura 1 Flusso all’interno di un REV di un mezzo poroso
non saturo.
1
2
Capillarità:per dettagli vedi nota 1
Isteresi:per il significato vedi nota 2.
La legge di Darcy estesa alla trattazione dei mezzi non saturi (Buckingham, 1907) vale:
q = −K (θ )∇h(θ )
(6)
in cui h è il carico piezometrico e K (θ ) è il tensore della permeabilità (o più propriamente della
conducibilità idraulica) per il quale è stata evidenziata la dipendenza dal contenuto d’acqua
caratteristico delle condizioni insature3.
Pur in assenza di una chiara evidenza sperimentale, si assume che le direzioni principali di
permeabilità del tensore K (θ ) , siano indipendenti dai valori assunti da θ e coincidenti con quelle
del tensore di permeabilità in condizioni sature.
Combinando le equazioni (5) e (6) si giunge alla seguente equazione differenziale alle derivate
parziali di tipo parabolico:
[
]
∇ ⋅ K (θ ) ∇h =
∂θ
∂t
(7)
Laddove le direzioni principali di permeabilità siano invarianti sull’intero campo di moto
analizzato, si potrà riscrivere l’equazione utilizzandole quali sistema di riferimento 0xyz, cosicché il
tensore K (θ ) assumerà la forma diagonale:
0
0 ⎤
⎡ K x (θ )
⎢
K (θ ) = ⎢ 0
K y (θ )
0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0
K z (θ )⎥⎦
(8)
L’equazione (7) potrà così essere esplicitata e posta nella forma:
∂h ⎞ ∂θ
∂⎛
∂h ⎞ ∂ ⎛
∂h ⎞ ∂ ⎛
⎜ K x (θ ) ⎟ + ⎜⎜ K y (θ ) ⎟⎟ + ⎜ K z (θ ) ⎟ =
∂z ⎠ ∂t
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
(9)
che, esprimendo il carico piezometrico come:
h = z +ψ
(10)
con ψ carico di suzione, assumente valori negativi in condizioni non sature, porge:
∂ ⎛
∂ψ ⎞ ∂ ⎛
∂ψ
⎜ K x (θ )
⎟ + ⎜⎜ K y (θ )
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y
⎞ ∂⎛
∂ψ ⎞ ∂K z (θ ) ∂θ
⎟⎟ + ⎜ K z (θ )
=
⎟+
∂z ⎠
∂z
∂t
⎠ ∂z ⎝
nota come equazione di Richards (1931).
3
Curve Ritenzione (o curve caratteristiche), per dettagli vedi nota 3
(11)
L’equazione 11 può essere riscritta utilizzando come termine comune la variazione della ψ (θ )
rispetto a θ , ovvero:
∂ ⎛
∂ψ ∂θ ⎞ ∂ ⎛
∂ψ ∂θ ⎞ ∂ ⎛
∂ψ ∂θ ⎞ ∂K z (θ ) ∂θ
⎟⎟ + ⎜ K z (θ )
=
⎜ K x (θ )
⎟ + ⎜⎜ K y (θ )
⎟+
∂x ⎝
∂θ ∂x ⎠ ∂y ⎝
∂θ ∂y ⎠ ∂z ⎝
∂θ ∂z ⎠
∂z
∂t
(12)
Da cui, ponendo:
Dx (θ ) = K x (θ )∂ψ ∂θ , D y (θ ) = K y (θ )∂ψ ∂θ e Dz (θ ) = K z (θ ) ∂ψ ∂θ
[L2 T -1 ]
dette diffusività capillari, si giunge alla forma:
∂θ ⎞ ∂ ⎛
∂ ⎛
∂θ ⎞ ∂ ⎛
∂θ ⎞ ∂K z (θ ) ∂θ
=
⎜ Dx (θ ) ⎟ + ⎜⎜ D y (θ ) ⎟⎟ + ⎜ Dz (θ ) ⎟ +
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y ⎠ ∂z ⎝
∂z ⎠
∂z
∂t
(13)
In forma compatta:
∇[D(θ )* ∇(θ )] +
∂
∂θ
K z (θ ) =
∂z
∂t
(13.1)
In alternativa, assumendo quale funzione incognita il carico di suzione ψ = ψ (x, y, z , t ) ed
esprimendo le permeabilità in funzione di esso tramite il legame θ = θ (ψ ) , si giunge alla forma:
∂ ⎛
∂ψ ⎞ ∂ ⎛
∂ψ
⎜ K x (ψ )
⎟ + ⎜⎜ K y (ψ )
∂x ⎝
∂x ⎠ ∂y ⎝
∂y
⎞ ∂⎛
∂ψ ⎞ ∂K z (ψ )
∂ψ
⎟⎟ + ⎜ K z (ψ )
= C (ψ )
⎟+
∂z ⎠
∂z
∂t
⎠ ∂z ⎝
(14)
considerando:
∂θ ∂θ (ψ ) ∂ψ
∂ψ
=
= C (ψ )
∂t
∂ψ ∂t
∂t
dove C (ψ ) = dθ dψ è nota come capacità capillare specifica.
In forma compatta:
∇[K (ψ ) * ∇(ψ )] +
∂
∂ψ
K z (ψ ) = C (ψ )
∂z
∂t
(14.1)
In presenza di isotropia le equazioni (13) e (14) potranno essere riscritte ponendo, rispettivamente,
Dx (θ ) = Dy (θ ) = Dz (θ ) = D(θ ) , e K x (ψ ) = K y (ψ ) = K z (ψ ) = K (ψ ) .
Qualunque sia l’espressione adoperata per la descrizione del fenomeno,l’equazione di Richards può
essere risolta numericamente, mediante appropriate condizioni iniziali ed al contorno e non senza
un notevole sforzo a causa della forte non linearità introdotta dalla curva caratteristica e dalla
funzione di permeabilità. La soluzione analitica è invece ottenibile soltanto in presenza di
particolari assunzioni e semplificazioni. In conseguenza di ciò, la trattazione del fenomeno si
traduce spesso in un’analisi di moto monodimensionale e gli esempi di integrazione numerica
dell’equazione in forma tridimensionale si limitano a pochi casi di studio.
La scelta dell’espressione da utilizzare tra la (13) e la (14), è funzione degli obiettivi da raggiungere
e della realtà fisica da analizzare. Essa comporta, ai fini dell’integrazione numerica, sia vantaggi
che svantaggi.
Infatti, ai fini delle soluzioni numeriche sarebbe da preferirsi l’equazione differenziale (13) a causa
dell’ordine di grandezza assunto dalle variazioni del contenuto d’acqua nel suolo θ e della
diffusività corrispondente D(θ). Tali variazioni, infatti, risultano circa due volte inferiori rispetto
alle corrispondenti variazioni del carico di suzione e della capacità specifica di immagazzinamento,
con la conseguenza che gli errori numerici risultano essere sensibilmente maggiori rispetto a quelli
derivanti dal primo approccio. Si osserva, però, come la stessa equazione risulti inadatta per
l’analisi di casi in cui coesistano condizioni di parziale saturazione con condizioni di totale
saturazione. Con l’aumento del contento d’acqua, infatti, per valori di
prossimi alla saturazione il
carico capillare diventa indipendente dal contenuto d’acqua presente nel suolo e, pertanto, il termine
dψ/dθ (da cui dipende la diffusività) tende ad infinito, condizione, questa, che comporterebbe
divergenze numeriche nei calcoli. Laddove, dunque, il campo di moto sia costituito sia da zone
insature, sia da zone sature l’equazione da utilizzare è, necessariamente, la (14).
La riproduzione di un campo di moto relativo ad un dominio Ω delimitato dalla frontiera Γ ,
tramite l’impiego dell’equazione di Richards richiede la determinazione di un suo integrale
particolare soddisfacente opportune condizioni iniziali ed al contorno.
Trattandosi di un’equazione differenziale alle derivate parziali di tipo parabolico, devono essere
assegnate:
•
una condizione iniziale, costituita dai valori assunti dalla funzione incognita su tutto il dominio
Ω e relativa all’istante t = 0 ;
•
una condizione al contorno, per qualunque valore di t > 0 , costituita:
9 dai valori assunti dalla funzione incognita su una porzione Γ1 ⊆ Γ della frontiera
(condizione di Dirichlet) e
9 dai valori assunti dalle derivate della funzione incognita in direzione normale alla frontiera
stessa, sulla restante porzione Γ2 = Γ − Γ1 di frontiera (condizione di Neumann).
Nota1 Appunti sul potenziale capillare
In un terreno parzialmente saturo, tra l’acqua e lo scheletro solido si instaura un’interazione
riconducibile ai fenomeni di capillarità.
La capillarità è un meccanismo di interazione attribuibile alla tensione superficiale σ, che si
minifesta sulla superficie di separazione (interfaccia) tra un liquido ed un fluido gassoso. Si
manifesta come una forza di attrazione tra le molecole liquide, maggiore verso l’interno della massa
liquida rispetto a quanto avviene verso l’esterno (fluido gassoso), dove le molecole liquide sotto
forma di vapore sono presenti, per unità di volume, in quantità minori. Quantificare il fenomeno è
un’operazione molto difficile, e ciò giustifica, in parte, l’impegno profuso dagli studiosi per
introdurre una grandezza fisica coerente e misurabile, che desse conto delle azioni che mutuamente
si scambiano la fase solida e la fase liquida. Tra gli approcci proposti in letteratura, che mettono in
gioco contenuto energetico del liquido, potenziale chimico, si adotta quello più attinente ed utile
agli scopi ed alle argomentazioni trattate nel corso, ovvero quello che considera la sola energia
idraulica posseduta dall’acqua del terreno, definita propriamente con il temine “suzione”.
Figura 1 Risalita capillare
Il concetto di potenziale capillare, o suzione, fu introdotto per la prima volta da Buckingham
(1907), che estese gli studi di Darcy sul movimento dell’acqua nei mezzi filtranti, al caso dei flussi
di umidità nei mezzi parzialmente saturi. Il potenziale si riferisce al lavoro necessario per trasferire
per capillarità una massa unitaria di acqua dagli strati inferiori umidi a quelli superiori asciutti. Per
esprimere tale potenziale si ricorre all’altezza di colonna d’acqua equivalente ψ, intesa come il
carico di acqua necessario per produrre una forza aspirante corrispondente a quella del potenziale
capillare. L’espressione analitica che ne traduce il significato fisico è rappresentata dalla differenza
tra la pressione dell’aria e la pressione dell’acqua di porosità secondo la seguente formula:
u c = ρ w ghc = u a − u w
[KPa]
(15)
dove uc rappresenta la suzione di matrice, hc rappresenta l’altezza di risalita capillare
rappresentativa del terreno in esame, tra le infinite altezze che si possono registrare per un dato
terreno.
Sebbene in generale sia verificato u a ≠ 0 , assumendo che l’aria negli spazi vuoti sia alla
pressione atmosferica, l’acqua negli spazi vuoti si troverà ad una pressione uw inferiore a quella
atmosferica. Con riferimento alla figura 2, dove è disegnato un tubo capillare che simula gli stretti
meati del mezzo poroso, ponendo u a = 0 si ha: u w = −u c , che indica come l’acqua di ritenuta per
capillarità, sia a pressione relativa negativa.
Figura 2 Tubo capillare, distribuzione della pressione dell’acqua e dell’umidità nel suolo.
Anche nel caso dei terreni non saturi è possibile definire il carico piezometrico φ [L], in cui
comparirà il carico di suzione. Nell’ipotesi che l’acqua nei pori sia pura o comunque che siano
assenti gradienti nelle concentrazioni dei sali disciolti il potenziale totale diviene:
φ = z +ψ
(16)
ottenuto dalla somma della quota geometrica z, rispetto ad un opportuno asse di riferimento e
dell’altezza piezometrica ψ che indicherà il valore negativo del rapporto p/γ ,tale che risulti:
hc = ψ ≅ −
uw
γw
[L]
(17)
Nota2: il fenomeno dell’Isteresi
L’altezza di risalita capillare è inversamente proporzionale al diametro degli interstizi esistenti nel
terreno in corrispondenza dell’interfaccia aria-acqua. Questa proprietà è rappresentativa di una
importante caratteristica dei terreni non saturi.
Nei terreni non saturi il carico di suzione ψ è legato al il contenuto d’acqua θ .
Infatti, vista la stretta connessione tra il contenuto d’acqua di un terreno ed il diametro e numero
degli interstizi in esso presenti, accade che nei terreni parzialmente saturi i valori del carico di
suzione ψ, sono dipendenti dal grado di umidità θ del terreno, proprio secondo un legame inverso di
proporzionalità.
Invero, per uno stesso contenuto d’acqua, la suzione può assumere valori differenti a seconda che il
terreno si trovi in una fase di incremento della suzione (essiccamento o drying) o di riduzione della
stessa (umidificazione o wetting).
Il fenomeno secondo il quale il valore di ψ(θ), per uno stesso contenuto d’acqua θ, risulta maggiore
nella fase di essiccamento rispetto a quello di umidificazione, prende il nome di isteresi.
1 wetting
2 drying
Figura 3 andamento contenuto d’acqua e potenziale idrico – dominio di isteresi .
Le modalità con cui un menisco capillare raggiunge una condizione di equilibrio influenzano
l’angolo di contatto in particolare esso è più grande quando il liquido avanza di quando invece
recede; ciò comporta che a parità di contenuto d’acqua durante un processo di saturazione, essendo
maggiore il raggio di curvatura, la suzione è minore rispetto a quella che si registra in uno di
desaturazione:
R≅
1
cos Θ
u≅
1
R
u = tensione − di − capillarità
(18)
Tutte le curve θ − ψ , relative ai processi di essiccamento o di umidificazione, ricadono all’interno
di una regione, detta dominio di isteresi, delimitato superiormente dalla curve relativa
all’essiccamento del materiale saturo ed inferiormente dalla curva relativa all’umidificazione del
materiale essiccato in stufa.
Anche se la letteratura scientifica riferisce esempi di trattazioni teoriche che permettono di
modellare l’isteresi la loro complessità e le difficoltà delle necessarie determinazioni sperimentali
fanno sì che nelle applicazioni il legame suzione-contenuto d’acqua venga considerato biunivoco.
Nota3 Curve Ritenzione
Per poter descrivere il comportamento idraulico e la circolazione idrica nei suoli non saturi non si
può prescindere dalla conoscenza della relazione di ritenzione ψ(θ) che lega il carico di suzione ψ
della fase liquida al contenuto d’acqua in volume θ.
La forma tipica è rappresentata in figura 4.
Figura 4 Curva di ritenzione e differenti fasi di desaturazione
Si può osservare, in sintesi, come, al crescere del contenuto argilloso ci sia un incremento
quantitativo d’acqua immagazzinato in corrispondenza di un generico valore della suzione ed una
generale riduzione della pendenza della curva caratteristica (figura 5). In un terreno sabbioso invece
la maggior parte dei pori è relativamente grande e pertanto solo una piccola porzione di essi resta
satura per valori di suzione elevati.
terreno argilloso
terreno
limoso
terreno
sabbioso
Figura 5 Andamenti qualitativi delle curve caratteristiche per diversi tipi di terreno.
Quanto descritto facilita la messa in evidenza di un altro aspetto particolarmente importante, che di
certo contribuisce ad articolare ulteriormente la descrizione del comportamento idraulico dei terreni
non saturi. Infatti, se da un lato la diminuzione di umidità nel suolo comporta l’aumento di
resistenze al moto dell’acqua attraverso i pori , dall’altro, è sinonimo di una riduzione del volume
disponibile al trasporto di umidità, a causa della presenza di aria nei meati che si traduce,
fisicamente, in una variazione del coefficiente del permeabilità K in funzione del contenuto d’acqua
nel suolo θ.
Le proprietà idrauliche ψ(θ) e Κ(θ) sono funzioni fortemente non lineari di θ e per la loro
determinazione sono richiesti metodi di misura laboriosi e spesso di durata notevole. Inoltre, mentre
le misure effettuate in laboratorio o in campo offrono un insieme discreto di coppie θ−ψ e Κ−ψ ,
nel campo della modellistica dei flussi in zona insatura è richiesta spesso la conoscenza di funzioni
continue tra tali grandezze; da ciò emerge la necessità di definire le forme funzionali dei legami
ψ−θ, K-θ, nonché K-ψ.
Alcune delle espressioni analitiche più significative sono:
⎧⎪
⎛ψ
Brooks & Corey (1964) ⎨θ = θ r + (θ s − θ r )⎜⎜ ψ
⎪⎩
⎝ b
⎞
⎟⎟
⎠
−λ
⎧θ (ψ ) = θ r + (θ s − θ r )[1 + β ]−m
⎨
⎩
Van Genuchten (1980)
⎛ψ
β = ⎜⎜
⎝ψ b
⎞
⎟⎟
⎠
n = λ +1
n
m=
λ
λ +1
[
]
K = K sat * Θ a 1 − (1 − Θ1 / m )
Van Genuchten (1980)
Mualem
Burdine
m b
m = 1 − 1/ n
a = 1/ 2
m = 1− 2/ n
a=2
b=2
b =1
K = K sat * Θ a
Brooks & Corey (1964)
Brooks & Corey
(1964)
Mualem
a = 5/ 2 + 2/ λ
Burdine
a = 3+ 2/λ
⎛ψ
K = K sat ⎜⎜
⎝ψ b
Van Genuchten (1980) K = K sat
⎞
⎟⎟
⎠
−n
→
⎧
⎪ ⎛ψ
⎨1 − ⎜⎜
⎪⎩ ⎝ ψ b
*
n = −2 − 5λ / 2
Mualem
n = −2 − 3λ
Burdine
⎞
⎟⎟
⎠
a
⎡ ⎛ψ
⎢1 + ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ ψ b
⎡ ⎛ψ
⎢1 + ⎜⎜
⎢⎣ ⎝ ψ b
⎞
⎟⎟
⎠
n
⎤
⎥
⎥⎦
⎞
⎟⎟
⎠
c
n
⎤
⎥
⎥⎦
−m
⎫
⎪
⎬
⎪⎭
b
La resistenza al taglio nei terreni saturi e non saturi
Per i terreni saturi, l’esperienza ha dimostrato che la curva intrinseca dei terreni può essere
assimilata ad una retta, almeno entro il campo di sollecitazioni che riverificano usualmente nei
problemi tecnici.
La resistenza è, quindi, espressa dalla legge di rottura di Mohr-Coulomb:
τ ff = c ' + (σ − u w ) tan φ '
(19)
essendo c’ la coesione efficace e φ’ l’angolo di attrito interno efficace.
Se un elemento di volume è non saturo, la suzione agisce su di esso in modo diverso da quanto
accade nel caso di totale saturazione.
In quest’ultimo caso l’elemento di volume è sottoposto ad uno sforzo di compressione prodotto dai
menischi d’acqua presenti sul suo contorno, come se vi fossero applicati dei carichi esterni. In
corrispondenza dei contatti tra le particelle si esercitano sforzi normali e tangenziali se il terreno è
saturo; se il terreno è non saturo, è stato osservato come in corrispondenza dei contatti tra le
particelle si esercitano esclusivamente sforzi normali.
Un metodo per stimare la resistenza a taglio dei terreni non saturi è quello proposto da Fredlund e
Rahardjo (1983), che introduce una modifica al criterio di resistenza di Coulomb, mediante
l’introduzione di un ulteriore termine funzione della suzione, detto coesione apparente.
L’analisi è effettuata non più in termini di tensioni effettive, ma in termini di tensioni nette e
suzione.
L’espressione fornita è la seguente:
τ f = c ' + (σ f − u a ) f tan φ ' + (u a − u w ) f tan φ b
(20)
in cui:
(σ
f
− ua ) f rappresenta la tensione netta sul piano di rottura;
c ' e φ ' rappresentano i parametri di resistenza del terreno saturo;
(ua − uw ) f è la suzione di matrice sul piano di rottura;
φb rappresenta l’incremento di resistenza prodotto da un incremento di suzione;
ed il termine (ua − uw ) tan φb è propriamente detto coesione apparente.
Questo approccio consiste nell’assumere un inviluppo di rottura piano nella spazio [(σ − ua ) : s : τ ]
con pendenze pari a φ ' e φb rispettivamente nei piani [(σ − ua ) : τ ] e [s :τ ] (figura 6).
Estensione
dell’inviluppo di
Mohr-Coulomb
Suzione, (ua-uw)
Tensione
Figura 3.12 – Schematizzazione dell’effetto meccanico della suzione.
Tensione netta, (σ-ua)
Figura 6 – Estensione dell’inviluppo di Mohr-Coulomb per i terreni non saturi.