100 1 % = % 100 1 100 1 * 100 1 %*% = = 1 100 100 %100

INFORMATICA settembre- 2014 Docente Salvatore Mosaico
Algoritmo:Determinare quale percentuale rimane di una certa quantità se nel tempo subisce
aumenti/decrementi percentuali.
Partiamo da un semplice problema
Un negozio aumenta il prezzo di di un cappotto del 10%
L’anno successivo aumenta ancora il prezzo dello stesso cappotto del 5%
Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio?
Soluzione :
spesso a questi tipi di problema ci si chiede “ma quanto costava il cappotto?” ossia non capiamo
come mai si parla di percentuale senza specificare di che cosa.
Come sempre ricordiamo che
% =
1
100
ossia e’ un semplice operatore matematico
% *% =
1
1
1
*
=
%
100 100
100
100 % =
100
=1
100
Tante persone rispondono 10%+5% = 15% ma naturalmente non e’ così
Vediamo come si può procedere:
inizialmente il cappotto costa 100% (valore iniziale)
l’aumento del 10% è sul valore iniziale :10% di 100% ossia 10%*100% = 10/100*100% = 10%
dunque se aumenta del 10% costa 100%+10% *100%= 110%
l’aumento successivo del 5% è sul nuovo valore: 5% di 110% ossia 5%*110% = 5/100*110% =
5,5%
dunque se aumenta del 5% costa 110%+5,5%= 115,5%
costava 100% adesso costa 115% 115,5%-100% = +15,5%
dunque togliendo 100% faccio il confronto col valore iniziale se il nuovo valore è < 100% verrà
negativo.
1
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Quello che abbiamo fatto si può riassumere così:
ad ogni aumento/sconto mi domando : cosa diventa in percentuale il nuovo prezzo
valore iniziale: 100%
se aumenta del 10% ho 110% (100+10)% del valore precedente 100% = 110%*100%
se aumenta del 5 % ho 105% (100+5)% del valore ottenuto 105%*110% = 105/100*110%=115,5%
a questo punto tolgo 100%
115,5%-100% = +15,5%
Nulla cambia se invece di un aumento ho una diminuzione o due aumenti o due diminuzioni
Un negozio aumenta il prezzo di un cappotto del 10%
L’anno successivo diminuisce
il prezzo d un cappotto del 5%
Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio?
Valore iniziale: 100%
se aumenta del 10% ho 110% (100+10)% del valore precedente 100% = 110%*100%
se diminuisce
del 5 % ho 95% (100-5)% del valore ottenuto 95%*110% = 95/100*110%=104,5%
a questo punto tolgo 100%
104,5%-100% = +4,5%
Nulla cambio se inverto le operazioni
Un negozio aumenta il prezzo di un cappotto diminuisce
del 5%
L’anno successivo il prezzo d un cappotto aumenta del 10%
Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio?
valore iniziale: 100%
se diminuisce
del 5 % ho 95% (100-5)% del valore iniziale 95%*100% = 95/100*100%=95%
se aumenta del 10% ho 110% (100+10)% del valore precedente 90% = 110%*95% = 104,5%
a questo punto tolgo 100%
104,5%-100% = +4,5%
2
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Il procedimento non cambia se il prezzo diminuisce 2 volte
Un negozio aumenta il prezzo di un cappotto
diminuisce
del 5%
L’anno successivo il prezzo dello stesso cappotto
diminuisce del 10%
Quando e’ variato il cappotto in percentuale rispetto al valore che aveva all’inizio?
se diminuisce
del 5 % ho 95% (100-5)% del valore iniziale 95%*100% = 95/100*100%=95%
se diminuisce del 10% ho 90% (100-10)% del valore precedente 95% = 90%*95% = 85,5%
a questo punto tolgo 100%
85,5%-100% = -14,5%
in generale la variazione finale dopo aumento a (a > 0 ) o diminuzione b (b < 0) è data dalla
formula
100 + a 100 + b
*
* .... − 1
100
100
In informatica occorre , quando si può , si deve dare una soluzione adatta per il computer
Nel caso di una doppia variazione l’algoritmo risolutivo è
f ( a, b ) =
100 + a 100 + b
*
−1
100
100
In questo caso abbiamo definito una funzione matematica .
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formalizziamo il caso di 2 aumenti/decrementi percentuali a e b
100 + a 100 + b
(100 + a )( 100 + b ) − 10000
*
−1 =
100
100
10000
=
=
10000
100
+ 100 b + 100 a + ab − 10000
10000
b + 100
10000
a + ab
=
=
(moltiplico per 100 per trasformare in percentuale)
=
100
b + 100
100
a + ab
%
Possiamo anche scriverla
= ( a + b )%
+
ab
100
%
dove si vede più chiaramente che oltre a sommare algebricamente i 2 valori c’e il contributo
positivo (se anno lo stesso segno) o negativo (se hanno segno diverso)
abbiamo cosi formalizzato il problema ossia abbiamo la formula risolutiva per la
doppia variazione percentuale
esempio un se un prezzo aumenta del 10% e successivamente del 4%
la variazione finale si ottiene sostituendo nella formula a=10 e b = 4
=
100 * 10 + 100 * 4 + 10 * 4
% = 14 , 4 %
100
4
=
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Vediamo in Excel dando al risultato il valore percentuale (moltiplica per 100 e mette il simbolo %)
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Esplorando questa espressione sono giunto ad una scoperta molto carina (almeno non l’ho mai
letta da nessuna parte)
N.B Un interessante caso particolare si ha quando le 2 variazioni sono una opposta all’altra
ossia b = -a esempio un prezzo sale del 10% e poi scende del 10%
Sostituiamo nella formula b=-a otteniamo
2
=
100(−a) + 100a + a(−a)
−a
%=
%
100
100
se ad una variazione a segue un’altra uguale e contraria la variazione finale sempre negativa
e vale
− a2
%
100
esempio un prezzo sale del 30% e poi diminuisce del 30% la variazione finale è
− a2
30 2
900
=
%=−
%=−
% = −9 %
100
100
100
Secondo INVALSI questo e’ il problema più ostico per gli studenti
Invece possiamo risolvere addirittura col calcolo mentale veloce
+7 % seguito da -7% da una variazione totale di -49/100%= -0,49%
Mi piacerebbe che un giorno a questa domanda che sembra così difficile si rispondesse
“applico la formula di Mosaico”…..
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Vediamo in Excel dando al risultato il valore percentuale (moltiplica per 100 e mette il simbolo %)
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