Matematica - Programma - Universita` degli Studi di Messina

UNIVERSITA’ degli STUDI di MESSINA
FACOLTA’ di SCIENZE MM.FF.NN.
Corso di Laurea in Chimica Industriale – Curriculum C
Programma di massima del corso di MATEMATICA
A.A. 2006/07
Docente: F. Conforto
8 CFU = 72 ore
1. INSIEMI NUMERICI E ALGEBRA LINEARE - 2 CFU = 18 ore
I NUMERI. Insiemi e loro operazioni. Numeri naturali. Fattoriale di un numero naturale.
Numeri interi. Numeri razionali. Numeri reali. Sottoinsiemi di numeri reali. Insiemi limitati ed
illimitati. Massimo e minimo di un insieme. Estremo superiore e inferiore di un insieme.
Intervalli. Intorni. Retta reale estesa. Numeri complessi: somma, differenza, prodotto, rapporto;
coniugato; modulo; piano di Gauss; forma trigonometrica e esponenziale; potenze e radici.
MATRICI, SISTEMI LINEARI E VETTORI. Matrici. Operazioni con le matrici: somma e
prodotto righe per colonne. Matrice nulla. Matrice identica. Matrice trasposta. Determinanti.
Proprietà dei determinanti. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi lineari. Teorema di
Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei. Vettori nel piano e nello spazio:
componenti e modulo. Versori. Operazioni sui vettori: somma e differenza di due vettori,
prodotto di un vettore per uno scalare, prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Autovalori e
autovettori di una matrice.
2. CALCOLO DIFFERENZIALE - 3 CFU = 27 ore
FUNZIONI DI UNA VARIABILE. Dominio, immagine e grafico di una funzione reale di
una variabile. Operazioni tra funzioni. Funzioni biunivoche. Funzioni periodiche. Funzioni
monotone. Restrizione di una funzione. Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni
elementari: funzione costante, funzione identica, funzione valore assoluto, funzione potenza,
funzione esponenziale, funzione logaritmo, funzioni trigonometriche e loro inverse. Limiti di
funzioni. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Infinitesimi e infiniti. Funzioni continue.
Punti di discontinuità. Asintoti.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI UNA VARIABILE. Derivata e suo
significato geometrico. Punti a tangente verticale. Regole del calcolo differenziale. Derivate di
ordine superiore. Punti stazionari, massimi e minimi locali. Differenziale ed approssimazione
lineare. Formula di Taylor e stima del resto.
GEOMETRIA ANALITICA NEL PIANO. Retta, circonferenza, parabola, ellisse, iperbole,
iperbole equilatera.
FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Dominio, immagine e grafico di una funzione reale di n
variabili. Derivate parziali. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice
hessiana. Differenziale. Campi scalari e vettoriali. Campi vettoriali di una o più variabili.
Funzioni composte. Derivate di funzioni composte. Operatori differenziali: gradiente,
divergenza, rotore, laplaciano.
3. CALCOLO INTEGRALE - 3 CFU = 27 ore
INTEGRAZIONE INDEFINITA. Integrale indefinito. Primitiva di una funzione. Integrali
immediati o riconducibili ad integrali immediati. Integrazione per decomposizione in somma,
per sostituzione, per parti. Integrali di alcune funzioni razionali ed irrazionali.
UNIVERSITA’ degli STUDI di MESSINA
FACOLTA’ di SCIENZE MM.FF.NN.
Corso di Laurea in Chimica Industriale – Curriculum C
INTEGRALE SECONDO RIEMANN DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE. Integrale
definito e suo significato geometrico. Proprietà dell'integrale definito. Teorema fondamentale
del calcolo integrale. Calcolo dell'area di figure piane.
INTEGRALI CURVILINEI. Curve nel piano e nello spazio. Curve regolari. Lunghezza di un
arco di curva. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di funzioni di due variabili. Baricentri.
Integrali curvilinei di forme differenziali. Lavoro di una forza. Forme differenziali esatte e
chiuse. Funzione potenziale. Forze conservative e forze irrotazionali. Potenziale di una forza
conservativa.
INTEGRALI DOPPI. Integrale secondo Riemann di funzioni di due variabili e significato
geometrico. Domini normali. Formule di riduzione. Cambiamento di variabili. Coordinate
polari. Calcolo di aree e di volumi.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. Equazioni differenziali ordinarie di ordine
n. Soluzione generale e soluzioni particolari. Forma normale. Problema di Cauchy. Equazioni
del primo ordine: equazioni a variabili separabili, equazioni differenziali esatte, equazioni
lineari, equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee e
non omogenee a coefficienti costanti. Termini noti di tipo particolare.
Testi consigliati:
Teoria:
1) M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica – calcolo infinitesimale e algebra lineare,
Zanichelli, 2000.
2) P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori, 2002.
3) P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di calcolo, Liguori, 2004.
Esercizi:
4) G. Malafarina, Matematica per i precorsi, McGraw-Hill, 2003.1
5) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, 1° volume, parti prime e seconda,
Liguori, 1995.
6) P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, 2° volume, parti prime e seconda,
Liguori, 1995.
Modalità d’esame:
I CFU vengono acquisiti dallo studente con il superamento di una prova scritta. Lo studente ha
comunque il diritto di sostenere un colloquio orale per migliorare le votazione riportata nella prova
scritta. La verifica dell’apprendimento prevede tre prove scritte in itinere (sugli argomenti relativi
alle tre parti in cui è suddiviso il programma) che saranno considerate ai fini della valutazione
conclusiva. Infatti, tali prove saranno valutate in trentesimi e, se superate (cioè le votazioni riportate
nelle singole prove sono tutte non inferiori a 18/30), lo studente sarà esonerato dal sostenere la
prova scritta dell’esame finale.
Orario di ricevimento
Presso la sede del CUMI: durante il corso (9 ottobre 2006 – 2 febbraio 2007), giovedì dalle 17:00
alle 19:00 e venerdì dalle 12:00 alle 14:00. Presso la sede di Messina (Dipartimento di Matematica):
durante il corso, lunedì dalle 15:00 alle 17:00 e martedì dalle 16:00 alle 18:00. Altrimenti, si prega
di contattare il docente.
Recapiti: studio 090 676 5063; e-mail [email protected]
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Questo testo è di supporto per i prerequisiti del corso: equazioni e disequazioni razionali, irrazionali, con valori
assoluti, esponenziali, logaritmiche e trigonometriche.