8^ Esercitazione

8a Esercitazione: soluzioni
Monica Bonacina ([email protected]) Responsabile
Esercitazioni del corso di Microeconomia A-K, a.a. 2009-2010
Stefania Migliavacca
([email protected]) Responsabile
Esercitazioni del corso di Microeconomia L-Z, a.a. 2009-2010
Questa esercitazione è suddivisa in 2 parti: esercizi da svolgere ad esercitazione ed
esercizi consigliati dal vostro libro di testo.
Part I
Esercizi da svolgere ad esercitazione
Esercizio 1. Il responsabile del corso di Microeconomia è un fanatico di teoria dei
giochi e deve decidere se introdurre tale teoria nel programma del corso (G) oppure no
(NG). Il corso però è diventato opzionale, e lo studente Tipo deve decidere se inserire
(I) il corso nel proprio piano di studi oppure no (NI). Supponete che studente Tipo
e professore prendano le rispettive decisioni simultaneamente e che le utilità dei due
siano le seguenti:
1. Se lo studente sceglie di iscriversi al corso di microeconomia e la teoria dei giochi
è in programma, l’utilità del professore è pari a 10 e quella dello studente Tipo
è pari a 5;
2. Se lo studente sceglie di iscriversi al corso di Microeconomia ed il professore
decide di escludere la teoria dei giochi dal programma, l’utilità del professore è
pari a 7 mentre quella dello studente Tipo è pari a 10.
3. Se lo studente Tipo decide di non iscriversi al corso di Microeconomia la sua
utilità è pari ad ’x’; in questo caso, l’utilità del professore è pari a 1, se la teoria
dei giochi è comunque inserita nel programma, e pari a 0 se non lo è.
(1) Rappresentate il gioco attraverso una matrice mettendo in alto lo studente
Tipo. (2) Individuate il valore del parametro ’x’ in corrispondenza del quale la
strategia I (inserire il corso di Microeconomia) è dominante per lo studente Tipo.
(3) Supponete ora che x sia pari a 7 ed individuate l’equilibrio o gli equilibri di
Nash del gioco. (4) L’equilibrio individuato al punto precedente è Pareto-e¢ ciente?
Motivate la vostra risposta.
1
Esercizio 1. Soluzione. (1) Il professore ha a disposizione due strategie: G
(inserisco teoria dei giochi nel programma) ed NG (non inserisco teoria dei giochi nel
programma). Analogamente lo studente Tipo ha a disposizione le strategie: I (mi
iscrivo al corso di microeconomia) e NI (non mi iscrivo al corso di microeconomia).
La rappresentazione del gioco è
Prof.
Studente
I
5
G
10
10
NG
7
Tipo
NI
x
1
x
0
(2) Il professore gode di una strategia dominante, G, in quanto questa gli assicura
un payo¤ superiore al payo¤ ottenuto scegliendo la strategia NG indipendentemente
dalla scelta dello studente Tipo. Scegliendo la strategia G il professore infatti ottiene
un’utilità pari a 10 se lo studente Tipo sceglie I (se avesse scelto la strategia NG
avrebbe ottenuto solo 7), e pari ad 1 se lo studente Tipo sceglie NI (se avesse scelto
la strategia NG avrebbe ottenuto 0).
La strategia I è dominante per lo studente Tipo se gli assicura un’utilità almeno
pari a quella che egli otterrebbe scegliendo la strategia NI, qualunque sia la scelta
del professore. Quindi è necessario che: (A) se il professore sceglie G, l’utilità che lo
studente ottiene scegliendo I supera quella che lo studente otterrebbe scegliendo NI;
(B) se il professore sceglie NG, l’utilità che lo studente ottiene scegliendo I supera
quella che lo studente otterrebbe scegliendo NI;
5 x e 10 x da cui x
| {z }
| {z }
(A)
5
(B)
da cui si evince che la strategia I è dominante per lo studente Tipo solo se l’utilità
nel caso in cui non si iscrivesse al corso di Microeconomia fosse al massimo pari a 5
(x 5).
(3) Se x=7 allora la rappresentazione del gioco in forma di matrice diventa
Prof.
Studente
I
5
G
10
10
NG
7
Tipo
NI
7
1
7
0
e l’equilibrio di Nash è rappresentato dalla coppia di strategie fG; N Ig: il professore
decide di inserire teoria dei giochi nel programma di Microeconomia e lo studente
Tipo decide di non inserire Microeconomia nel suo programma di studi. I payo¤s
(livelli di utilità) associati alle suddette strategie sono 1 e 7.
Prof.
Studente
I
5
G
10
10
NG
7
2
Tipo
NI
7
1
7
0
(4) L’equilibrio di Nash fG; N Ig non è Pareto-e¢ ciente in quanto se i giocatori si
accordassero e scegliessero fN G; Ig, otterrebbero entrambi un’utilità maggiore (7>1
e 10>7).
Esercizio 2. I ciclisti rivali Astrix e Obix, in preparazione della gara che li vede
grandi favoriti, devono decidere se assumere EPO (AE) o no (NE). I controlli antidoping sono pochi e poco e¢ caci e la probabilità di essere colti in fallo è nulla. Le
utilità dei ciclisti sono le seguenti.
1. Nel caso in cui entrambi decidano di assumere EPO, l’utilità attesa di ciascuno
è di 50.
2. Se uno solo dei due ciclisti assume EPO, egli otterrà un’utilità di 100 (l’utilità
dell’avversario che non assume EPO sarà 0).
3. In…ne se nessuno dei due fa uso del farmaco, ciascuno otterrà un’utilità di 10.
(a) Utilizzate un gioco in forma di matrice (mettendo OBIX in alto) per rappresentare la situazione in cui i due ciclisti decidono simultaneamente se assumere
EPO (AE) o no (NE). (b) Individuate e caratterizzate la soluzione del gioco. (c)
Se alla gara successiva i controlli antidoping fossero più stringenti e se Astrix e Obix
tenessero conto dei danni dell’EPO alla loro salute, il gioco simultaneo (rappresentato
in forma di matrie) diventerebbe:
Obix
Astrix
ae
ne
ae
10
10
20
5
ne
5
20
30
30
Individuate l’equilibrio o gli equilibri di Nash e commentate il risultato ottenuto.
(d) Le autorità preposte al controllo delle attività sportive decidono di imporre una
penale su tutti gli utilizzatori di EPO. Calcolate di quanto si dovrebbe contrarre
l’utilità dei fruitori di EPO per e¤etto della penale al …ne di disincentivare l’uso del
farmaco (fate riferimento al gioco indicato al punto c).
Esercizio 2. Soluzione. (a) Entrambi i ciclisti hanno a disposizione due strategie:
AE (assumo EPO) e NE (non assumo EPO). La rappresentazione del gioco in forma
di matrice è
Obix
ae
ne
50
0
Astrix ae
50
100
100 10
ne
0
10
(b) Esiste un unico equilibrio di Nash che è anche equilibrio in strategie dominanti, fAE; AEg. In corrispondenza del suddetto equilibrio ambedue i giocatori
3
ottengono un’utilità pari a 50.
Obix
Astrix
ae
50
50
100
0
ae
ne
ne
0
100
10
10
Si noti che l’equilibrio di Nash qui individuato è e¢ ciente nel senso di Pareto (non
sarebbe possibile migliorare la condizione di uno dei due ciclisti senza peggiorare la
situazione del rivale).
(c) Questo gioco si caratterizza per due equilibri di Nash, fAE; AEg ed fN E; N Eg.
Si noti che, anche se il secondo esito (ossia fN E; N Eg) rappresenta un miglioramento
paretiano per entrambi i giocatori (30 > 10), non è possibile escludere l’uso di EPO
da parte di entrambi i ciclisti.
Obix
Astrix
ae
10
10
20
5
ae
ne
ne
5
20
30
30
(d) Indichiamo con T la contrazione di utilità derivante dall’implementazione
della penale. Il gioco in forma di matrice diventa
Obix
Astrix
ae
ne
ae
10
10
20
ne
T
T
T
5
5
20
30
30
T
ed NE è una strategia dominante per entrambi i corridori se
5
10
T e 30
20
T
da cui una contrazione minima dell’utilità dei ciclisti per e¤etto della penale sull’uso
di EPO pari a 5 (T 5).
Esercizio 3. Nel comune di Paderno Dugnano ci sono due sole pizzerie, la pizzeria da Salvatore e la pizzeria da Matteo. Per fronteggiare la crisi di vendite i due
proprietari stanno pensando di introdurre un servizio di consegna a domicilio.
1. Se una sola delle due pizzerie introduce il servizio, la pizzeria che lo introduce
ottiene un pro…tto pari a 10, mentre l’altra pizzeria subisce una perdita pari a
-1.
2. Se entrambe introducono il servizio, la perdita per entrambe è pari a -5.
3. Se nessuna delle due pizzerie introduce il servizio, entrambe ottengono pro…tti
nulli.
4
Supponete che la pizzeria da Matteo e la pizzeria da Salvatore debbano decidere se
introdurre il servizio simultaneamente. (a) Quali sono le strategie a disposizione delle
due pizzerie? (b) Rappresentate il gioco in forma di matrice indicando la pizzeria da
Matteo in alto. (c) Determinate gli equilibri di Nash di questo gioco. Discutete il
risultato ottenuto. (d) Supponete che lo Stato introduca un sussidio in somma …ssa
di 5 per incentivare l’introduzione di un servizio di consegna a domicilio. Discutete
dell’e¢ cacia della manovra.
Esercizio 3. Soluzioni. (a) Ciascuna pizzeria ha a disposizione due strategie:
introdurre il servizio a domicilio (I) o non introdurre il servizio di consegna a domicilio
(NI).
(b) La matrice dei payo¤ in questo caso è
Salvatore
Matteo
i
ni
5
1
i
5
10
10
0
ni
1 0
(c) Nessun giocatore dispone di una strategia dominante e gli equilibri di Nash del
gioco sono fI; N Ig e fN I; Ig. Dunque una sola delle pizzerie introdurrà un servizio
di consegna a domicilio
Salvatore
Matteo
i
ni
5
1
i
10
5
10
0
ni
1 0
(d) A seguito della politica Statale, la matrice dei payo¤ diventa
Salvatore
Matteo
i
5+5
i
5+5
10 + 5
ni
1
ni
1
10 + 5
0
0
ovvero
Salvatore
Matteo
i
ni
1
0
i
0
15
15
0
ni
1 0
Dunque la strategia I diventa per entrambi i giocatori una strategia dominante (qualsiasi sia la scelta del rivale, I assicura al giocatore il massimo pro…tto) ed il solo
equilibrio di Nash del gioco è ora fI; Ig. Il sussidio in somma …ssa è e¢ cace per
incentivare un servizio di consegna a domicilio.
5
Esercizio 4. Si consideri il seguente gioco simultaneo rappresentato in forma di
matrice.
Franco
S
C
D
15
13 Y
Pippo A
8
9
13
7
8
11
B
12
2
14
(a) Per quali valori di Y Franco dispone di una strategia dominante? (b) Supponete che Y=5 ed individuate gli equilibri di Nash (o l’equilibrio di Nash, nel caso
fosse unico).
Esercizio 4. Soluzione. (a) Franco dispone di tre strategie: S, C e D. Una
strategia è dominante se assicura al giocatore un payo¤ maggiore di quello di qualsiasi
altra strategia indipendentemente dalla scelta del rivale. Stanti i payo¤ delle strategie
S e C, queste non potranno mai essere strategie dominanti per Franco. Ma la strategia
D è una strategia dominante per Franco se
Y
15
(b) Se Y=5 il gioco in forma di matrice diventa
Pippo
A
B
Franco
S
15
8
7
12
C
13
9
8
2
D
5
13
11
14
Franco
S
15
8
7
12
C
13
9
8
2
D
5
13
11
14
e l’equilibrio di Nash è fB; Dg
Pippo
A
B
Esercizio 5. Nel paese di Isolandia sono presenti due unici produttori (A e B).
Le imprese possono decidere di cooperare (C) o non cooperare (NC). Tale scelta è
e¤ettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti.
1. Se le due imprese cooperano, ciascuna ottiene un pro…tto pari a 2k.
2. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene un pro…tto pari ad 1/2.
3. Se, in…ne, una sola coopera essa otterrà un pro…tto pari a k (mentre l’impresa
rivale che non coopera otterrà 1 + k).
6
(a) Si rappresenti il gioco in forma di matrice indicando in alto l’impresa B. (b)
Per quali valori di k la coppia di strategie fC; Cg rappresenta un equilibrio di Nash?
(c) Per quali valori di k la coppia di strategie fN C; N Cg rappresenta un equilibrio
di Nash? (d) Per quali valori di k fC; N Cg e fN C; Cg sono equilibri di Nash del
gioco?
Esercizio 5. Soluzione. (a) Le due imprese hanno a disposizione le medesime
strategia: C (cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in
forma di matrice è
Impresa a
C
NC
Impresa b
C
2K
2K
K
1+K
NC
1+K
K
1/2
1=2
(b) Cooperare è una strategia dominante per l’impresa A se il pro…tto che la stessa
ottiene scegliendo C è superiore a quello che otterrebbe scegliendo NC, qualsiasi sia
la scelta della rivale. Analiticamente è necessario che
2k > 1 + k e k > 1=2 ovvero se k > 1 :
Vista la simmetria tra le imprese (stessi payo¤ e stesse strategie), la medesima condizione deve valere per l’impresa B. Veri…chiamo che C è una strategia dominante se
k > 1. Imponiamo k=2 e sostituiamo nella matrice dei payo¤. Otteniamo
Impresa a
Impresa b
C
4
4
2
3
C
NC
NC
3
2
1/2
1=2
da cui il seguente equilibrio di Nash in strategie dominanti: fC; Cg
Impresa a
Impresa b
C
4
4
2
3
C
NC
NC
3
2
1/2
1=2
(c) Non cooperare è una strategia dominante per l’impresa A (e stante la simmetria anche per l’impresa B) se il pro…tto che la stessa ottiene scegliendo NC è
superiore a quello che otterrebbe scegliendo C, qualsiasi sia la scelta della rivale.
Analiticamente è necessario che
1 + k > 2k e 1=2 > k ovvero se k < 1=2 :
Veri…chiamo che C è una strategia dominante se k < 1=2. Imponiamo k=1/4 e
7
sostituiamo nella matrice dei payo¤. Otteniamo
Impresa a
Impresa b
C
1=2
1=2
1=4
5=4
C
NC
NC
5=4
1=4
1/2
1=2
da cui il seguente equilibrio di Nash in strategie dominanti: fN C; N Cg
Impresa a
Impresa b
C
1=2
1=2
1=4
5=4
C
NC
che
NC
5=4
1=4
1=2
1=2
(d) A¢ nchè fC; N Cg e fN C; Cg siano equilibri di Nash del gioco è necessario
1. il pro…tto che l’impresa A ottiene scegliendo C quando B sceglie NC sia maggiore di quello che A otterrebbe scegliendo NC, e che
2. il pro…tto che l’impresa B ottiene scegliendo C quando A sceglie NC sia maggiore di quello che B otterrebbe scegliendo C.
Analiticamente quanto sopra si traduce nelle seguenti disuguaglianze
k > 1=2 e 1 + k > 2k ovvero se 1 > k > 1=2:
Veri…chiamo che fC; N Cg e fN C; Cg sono equilibri di Nash se 1 > k > 1=2. Imponiamo k=3/4 e sostituiamo nella matrice dei payo¤. Otteniamo
Impresa a
C
NC
Impresa b
C
3=2
3=2
3=4
7=4
NC
7=4
3=4
1/2
1=2
Impresa b
C
3=2
3=2
3=4
7=4
NC
7=4
3=4
1/2
1=2
da cui i suddetti equilibri di Nash
Impresa a
C
NC
Si noti che in questo caso nessun giocatore dispone di una strategia dominante.
8
Esercizio 6. Due imprese, A e B, devono decidere il prezzo di vendita del proprio
prodotto. I prezzi praticabili sono solo tre: p1 = 4, p2 = 3 e p3 = 2. I costi totali di
produzione nel breve periodo delle imprese sono
T CBP (qA ) = 2qA e T CBP (qB ) = 2qB :
La domanda di mercato è QD = 10 p. L’impresa che …ssa il prezzo più basso
si appropria dell’intera domanda di mercato. Se i prezzi scelti sono uguali, la domanda è divisa in parti uguali. (a) Costruire la matrice dei payo¤ supponendo che
la scelta del prezzo venga e¤ettuata simultaneamente. (b) Determinare l’equilibrio
(o gli equilibri) di Nash del gioco.
Esercizio 6. Soluzione. (a) I costi marginali (e medi variabili) delle due imprese
sono
M CA = AV CA = M CB = AV CB = 2
Se entrambe le imprese scelgono p1 = 4, la quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta è
Q1 = 10 4 = 6 e q1 = Q21 = 3
ed i pro…tti di ciascuna impresa sono
1
= p1 q 1
2q1 = (4
2)
3=6
Se entrambe le imprese scelgono p2 = 3, la quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta è
Q2 = 10 3 = 7 e q2 = Q22 = 72
ed i pro…tti di ciascuna impresa sono
2
= p2 q 2
2q2 = (3
2)
7
2
=
7
2
Se entrambe le imprese scelgono p3 = 2, la quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta è
Q3 = 10 2 = 8 e q3 = Q23 = 4
ed i pro…tti di ciascuna impresa sono
3
= p3 q 3
2q3 = (2
2)
4=0
Se una delle due imprese sceglie p3 = 2 e l0 altra sceglie un prezzo maggiore, entrambe
ottengono un pro…tto nullo (anche se la prima serve l’intero mercato producendo
Q3 = 8 unità di output). Se una delle imprese sceglie p2 = 3 e l’altra sceglie un
prezzo maggiore, la seconda ottiene un pro…tto nullo (in quanto non produce) mentre
la prima serve l’intero mercato (Q2 = 7) ed ottiene
= p2 Q2
2Q2 = 7
La matrice dei payo¤ è quindi
p1
impresa b
p2
p3
impresa a
p1
6
6
0
7
0
0
9
p2
7
0
7/2
7=2
0
0
p3
0
0
0
0
0
0
(b) Gli equilibri di Nash sono fp2 ; p2 g e fp3 ; p3 g
p1
impresa b
p2
p3
impresa a
p1
6
6
0
7
0
0
p2
7
0
7=2
7=2
0
0
p3
0
0
0
0
0
0
Si noti che le imprese se potessero accordarsi sceglierebbero la coppia di startegie
fp1 ; p1 g che massimizza i loro pro…tti ma non costituisce un equilibrio di Nash del
gioco.
Esercizio 7. L’impresa Hein&Ken (H) e l’impresa Biperoni (B) sono oligopolisti
nel mercato della birra. Le loro funzioni di costo totale sono:
T CH (qH ) = 40qH e T CB (qB ) = 40qB
La domanda di mercato è QD = 50 p=2, e le due imprese competono scegliendo
la quantità da produrre. (a) Trovate le funzioni di risposta ottima delle due imprese
e disegnatele avendo cura di speci…care le intercette e le pendenze. (b) Calcolate
l’equilibrio sul mercato della birra (prezzi, quantità e pro…tti di entrambe le imprese).
Supponete che venga brevettato un nuovo processo produttivo che consente di
ridurre i costi di produzione. Ciascuna impresa può decidere di acquistare o non
acquistare il brevetto.
(c) Calcolate il pro…tto delle due imprese nel caso in cui solo una impresa decida
di acquistare il brevetto (in questo caso i costi dell’impresa che acquista il brevetto
diventano T C(q) = 10q mentre quelli della rivale rimangono invariati). (d) Calcolate il pro…tto delle due imprese nel caso in cui entrambe decidano di acquistare il
brevetto. (e) Supponete che la decisione di acquistare (A) o non acquistare (NA)
il brevetto sia simultanea e che il brevetto costi 300. Fornite una rappresentazione
del gioco in forma di matrice. (f ) Vi aspettate che entrambe le imprese acquistino il
brevetto? Perchè? Discutete il risultato ottenuto.
Esercizio 7. Soluzioni.
(a) La funzione di domanda inversa è
p = 100
2Q
(1)
dove Q = qH + qB . I pro…tti ( ) delle due imprese sono rispettivamente
H
= (100
2qH
2qB )qH
T CH (qH ) e
B
= (100
2qH
2qB )qB
T CB (qB )
(2)
da cui le seguenti funzioni di risposta ottima per l’impresa H
@ H
@qH
= 0 ! 100
4qH
2qB
40 = 0 ! qH = 15
1
2 qB
(3)
4qB
40 = 0 ! qB = 15
1
2 qH
(4)
e, simmetricamente, per l’impresa B
@ B
@qB
= 0 ! 100
2qH
Gra…camente
10
qB
30
Funzione di risposta ottima di H
Bisettrice
15
Funzione di risposta ottima di B
2
1/2
15
30
qH
(b) L’equilibrio sul mercato della birra è ottenuto risolvendo il sistema
1
2 qH
1
2 qB
(5)
15 = 10
;
15 = 10
(6)
qB = 15
qH = 15
da cui
qB =
qH =
2
3
2
3
quindi la quantità di birra complessivamente venduta è
Q = qB + qH = 20;
(7)
p = 100
(8)
il prezzo è
2Q = 60
e ciascuna impresa (le due imprese sono simmetriche, producono la stessa quantità
ed ottengono pro…tti analoghi) ottiene pro…tti pari a
=p q
T C(q ) = (60
40)
10 = 200
(9)
dove l’apice ’ 0 è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. Gra…camente l’equilibrio di Cournot è
qB
30
Funzione di risposta ottima di H
Bisettrice
Equilibrio
15
10
Funzione di risposta ottima di B
10
15
30
11
qH
(c) Se l’impresa H decide di acquistare il brevetto, i suoi pro…tti diventano
0
H
= (100
2qH
2qB )qH
10qH
per e¤etto della contrazione nei costi totali di produzione; quindi la sua funzione di
risposta ottima diventa
@ 0H
@qH
= 0 ! 100
4qH
2qB
10 = 0 ! qH =
45
2
1
2 qB
mentre resta invariata la funzione della rivale che non acquista il brevetto; dunque
l’equilibrio sul mercato della birra diventa
qH = 45
2
qB = 15
1
2 qB
1
2 qH
!
qH = 20
qB = 5
da cui
Q
dove l’apice ’
camente
0
= 25; p
= 50;
H
= 800;
B
= 50
è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. Gra…-
45
qB
30
Nuova funzione di risposta ottima di H
Bisettrice
Nuovo equilibrio
15
Funzione di risposta ottima di B
2
1/2
15
45/2
30
qH
Essendo divenuta più e¢ ciente della rivale, l’impresa H produce di più ed ottiene
maggiori pro…tti. Il caso in cui è l’impresa B ad acquistare il brevetto è ottenuto in
maniera simmetrica.
(d) Se entrambe le imprese acquistano il brevetto, le funzioni di risposta ottima
sono
1
45
1
qH = 45
2
2 qB e qB = 2
2 qH
da cui
q
= 15; Q
= 30; p
= 40;
= 450
dove l’apice ’ 0 è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili.
(e) La matrice dei payo¤, stanti le strategie a disposizione ed i pro…tti ai punti
12
b), c) e d)1 ed il costo del brevetto, è
impresa H
impresa B
a
450-300
a
450-300
800-300
na
50
na
50
800-300
200
200
ovvero
impresa H
impresa B
a
150
a
150
500
na
50
na
50
500
200
200
(f) Acquistare il brevetto è una strategia dominante per le due imprese. L’equilibrio
di Nash del gioco al punto e) è fA; Ag. Si noti che l’acquisto comporta una contrazione dei pro…tti delle due imprese.
impresa H
impresa B
a
150
a
150
500
na
50
na
50
500
200
200
P.S. Ragazzi, questo esercizio è particolarmente lungo, non spaventatevi, gli esercizi dell’esame conterrano al più 4 sottopunti (e non sei come in questo caso).
Esercizio 8. Il mercato dell’elettricità di New Light City è dominato da due sole
imprese, l’impresa ElettriSpa (E) e l’impresa LuceSpa (L). Le loro funzioni di costo
totale di breve periodo sono rispettivamente
T CE (qE ) = 2qE e T CL (qL ) = 3qL
Le due imprese competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre.
La domanda inversa di mercato è p = 10 Q, dove Q = qE + qL . (a) Siete in
grado di stabilire se le due imprese in equilibrio produrranno la stessa quantità o
meno, SENZA fare calcoli? (b) Trovate le funzioni di reazione delle due imprese e
disegnatele, indicando pendenze e intercette. (c) Calcolate la quantità prodotta da
ciascuna impresa, la quantità totale e il prezzo di equilibrio di mercato. (d) Se le
due imprese concorressero sul prezzo (alla Bertrand), quale sarebbe l’equilibrio di
mercato in termini di quantità, prezzo e pro…tti delle due imprese?
1 Se
nessuna delle due imprese decide di acquistare il brevetto entrambe otterranno pro…tti pari a
= 200 (vedi punto b). Se solo una delle due imprese decide di acquistare il brevetto essa otterrà
pro…tti pari a 800, mentre la rivale otterrà pro…tti pari a 50 (punto c). Se entrambe acquisteranno
il brevetto, ciascuna otterrà 450.
13
Esercizio 8. Soluzione.
della rivale,
(a) Dal momento che l’impresa ElettriSpa è più e¢ ciente
M CE = 2 < M CL = 3
possiamo dire con certezza che qE > qL .
(b) I pro…tti ( ) delle due imprese sono rispettivamente
E
= (10
qE
qL )qE
2qE e
= (10
L
qE
qL )qL
3qL
da cui le seguenti funzioni di risposta ottima per l’impresa E
@ E
@qE
= 0 ! 10
2qE
qL
2 = 0 ! qE = 4
1
2 qL
@ L
@qL
= 0 ! 10
2qL
qE
3 = 0 ! qL =
7
2
1
2 qE
e per l’impresa L
Gra…camente
qL
8
Funzione di risposta ottima di E
Bisettrice
7/2
Funzione di risposta ottima di L
2
1/2
4
7
qE
(c) La quantità prodotta da ciascuna impresa è ottenuta risolvendo il sistema
qE = 4
qL = 72
1
2 qL
1
2 qE
da cui
qE = 3
qL = 2
quindi la quantità complessivamente venduta è
Q = qE + qL = 5;
(10)
p = 10
Q =5
(11)
=4
(12)
il prezzo è
e le due imprese ottengono pro…tti pari a
E
=9 e
14
L
dove l’apice ’ 0 è impiegato per indicare i valori di equilibrio delle variabili. Si noti che
malgrado la minore e¢ cienza, anche l’impresa LuceSpa produce ed ottiene pro…tti
positivi.
(d) In caso di concorrenza à la Bertrand, l’impresa più e¢ ciente (ElettricSpa) può
escludere la rivale dal mercato scegliendo un prezzo al di sotto del costo marginale
della rivale. In particolare, l’impresa LuceSpa sceglierebbe un prezzo
pL = M CL = 3
mentre ElettricSpa dichiarerebbe
pE = M CL
"=3
" > M CE
dove " è un numero positivo e molto piccolo. Dal momento che il prezzo praticato
da ElettricSpa è inferiore a quello di LuceSpa, tutti i consumatori si acquisteranno
da ElettricSpa che produrrà
Q
= 10
pE = 10
3+"=7+"
ed otterrà pro…tti
E
= (pE
2)Q
mentre la rivale non produrrà e non otterrà pro…tti.
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7
7
Part II
Esercizi consigliati dal libro di testo
Frank, R.H. (2010) Microeconomia, McGraw-Hill, Milano, 2010 - Capitolo
13, pp. 480, 481, 482.
1. Domande di ripasso: Tutte esclusa domanda 7.
2. Problemi: Tutti esclusi 10 e 17.
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