Poligoni sferici Un viaggio virtuale sulla superficie sferica
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Una nuova geometria: Un viaggio virtuale sulla superficie sferica Poligoni sferici Poligoni sferici Un poligono sferico Pn di n lati è una figura geometrica sulla sfera delimitata da n archi consecutivi di cerchio massimo, gli estremi dei quali sono gli n vertici del poligono. 1 Poligoni sferici Consideriamo solo poligoni i cui lati non superino metà circonferenza massima ed i cui angoli non misurino più di 180°: Pn è contenuto così in una semisfera. Il poligono è regolare quando tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli sono uguali. Poligoni sferici È possibile creare un poligono sferico con soli due lati? Il poligono sferico più semplice sulla sfera è il biangolo (chiamato anche luna o spicchio sferico). I suoi vertici sono due punti antipodali, i suoi lati sono due mezze circonferenze massime. 2 Poligoni sferici L’area di un “biangolo unitario”, il cui angolo al vertice misura 1°, è data dalla frazione 1/360 dell’area della sfera S (servono 360 di queste figure per ricoprire esattamente S). L’area di una luna L di angolo (misurato in gradi) sarà dunque: Area( L ) ( / 360) Area( S ) Poligoni sferici Se l’angolo misura 60°, l’area della luna è 1/6 dell’area della sfera (area della sfera di raggio R è 4 R2). Infatti, con sei di tali figure si ricopre S! L’area di questa particolare luna sarà: Area( L60 ) Area( S ) 6 4 R2 6 2 2 R 3 3 Poligoni sferici Ogni poligono sferico Pn è l’intersezione di n lune, una per ogni vertice del poligono. In realtà ne possono bastare anche meno! Intersecando due lune aventi bisettrici perpendicolari che si tagliano a metà, si ottiene un quadrilatero equiangolo con lati opposti uguali: una sorta di “rettangolo sferico”, ma con angoli maggiori di 90°! Poligoni sferici In particolare, si possono ottenere in tal modo i “quadrati sferici” (quadrilateri equilateri ed equiangoli, con misura degli angoli compresa fra 90°e 180°). 4 Poligoni sferici L’area di un triangolo sferico si calcola suddividendo la sfera in biangoli e contando le sovrapposizioni. Per trovare l’area di un poligono sferico Pn basta allora suddividerlo in triangoli; si arriva così alla seguente formula: Area( Pn ) ( ... (n 2) 180) Area( S ) 720 dove , , eccetera sono le misure in gradi degli angoli del poligono. 5
