I numeri perfetti - seminari di analisi matematica

Laboratorio di Matematica Discreta
prof. Daniela Romagnoli
I numeri perfetti
Cristina Baudino
a.a 2004/2005
Definizione di numeri perfetti
Un numero n si dice perfetto se la somma dei suoi divisori (compreso se stesso)
è uguale a 2n.
Per esempio:
12 = 1 + 2 + 3 + 6;
56 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28;
992 = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 496;
dunque 6, 28, e 496 sono numeri perfetti.
I numeri perfetti possono anche essere definiti tramite una funzione aritmetica
moltiplicativa.
Definizione 1 Si dice funzione aritmetica una funzione f : N − {0} → Z.
Definizione 2 Si dice che una funzione aritmetica f è moltiplicativa se:
M.C.D.(n, m) = 1 ⇒ f (nm) = f (n)f (m)
Introduciamo quindi la funzione σ(n), con n ∈ N − {0}, tale che:
σ(n) =
X
d
d/n
ad esempio: σ(1) = 1, σ(2) = 3, σ(3) = 4, ... , σ(6) = 12.
σ è una funzione aritmetica, passiamo ora a dimostrare che è anche moltiplicativa. Per far questo, introduciamo la trasformata di Moebius.
Definizione 3 Data una funzione aritmetica f , si definisce trasformata di Moebius di f la funzione F , tale che
F (n) =
X
f (d)
d/n
Per la trasformata di Moebius vale poi la seguente:
Proposizione 1 Se una funzione aritmetica f è moltiplicativa, allora anche la sua
trasformata di Moebius F è una funzione moltiplicativa.
1
Dimostrazione. Innanzitutto, proviamo che, poiché M.C.D.(n, m) = 1, ogni
divisore d di nm si fattorizza in modo unico nel prodotto ab, con a divosore di n
e b divisore di m e con a e b coprimi.
Se, infatti n = pe11 pe22 ...pehh e m = q1l1 q2l2 ...qklk e d = pa11 pa22 ...pahh q1b1 q2b2 ...qkbk , con
0 < ai ≤ ei e 0 < bi ≤ li . Ponendo a = pa11 pa22 ...pahh e b = q1b1 q2b2 ...qkbk , si ha
d = ab, con a e b unici.
Si ha allora:
X
X
X
F (nm) =
f (d) =
f (ab) =
f (a)f (b) =
d/nm
=
X
a/n
f (a)
X
a/n,b/m
a/n,b/m
f (b) = F (a)F (b)
(1)
b/m
La proposizione precedente permette di provare che la funzione σ è moltiplicativa, in quanto trasformata di Moebius della funzione identità.
I numeri perfetti nella storia
Non si sa con precisione quando è iniziato lo studio dei numeri perfetti, probabilmente già gli Egizi erano incuriositi da questi numeri, anche se non ci sono prove
al riguardo.
Le prime testimonianze sono legate al nome di Pitagora. Secondo la scuola
pitagorica, la perfezione numerica dipendeva dai divisori di un numero. Quando
la somma dei divisori di un numero è maggiore del numero stesso, quel numero
era definito eccedente, mentre quando la somma dei divisori è inferiore al numero stesso, il numero era chiamato difettivo. I numeri più rari ed importanti
erano quelli i cui divisori, addizionati, danno esattamente come somma il numero
in questione. Pitagora si compiaceva dei numeri perfetti, ma non era appagato
semplicemente dal loro ritrovamento; desiderava piuttosto scoprirne il significato
profondo.
Una delle sue intuizioni fu che la perfezione era strettamente legata al numero
2. I numeri 4 (2 ∗ 2), 8 (2 ∗ 2 ∗ 2), 16 (2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2), etc, sono noti come potenze
di 2 e vengono più comodamente scritti 2n . Tutte queste potenze di 2 non sono
numeri perfetti per uno scarto minimo, poiché la somma dei loro divisori ammonta sempre a una cifra inferiore di un’unità al numero stesso. Questo li rende solo
lievemente difettivi:
22
23
24
25
=2∗2
=2∗2∗2
=2∗2∗2∗2
=2∗2∗2∗2∗2
=4
=8
= 16
= 32
Divisori 1, 2
Somma = 3,
Divisori 1, 2, 4
Somma = 7,
Divisori 1, 2, 4, 8
Somma = 15,
Divisori 1, 2, 4, 8, 16 Somma = 31.
2
La correlazione tra i numeri perfetti e il numero 2 e le sue potenze fu poi
ripreso dopo circa due secoli da Euclide. Nella sua opera Elementi, scritta intorno
al 300 a.C., si possono infatti trovare interessanti risultati legati alla teoria dei
numeri. In particolare la proposizione 36 del libro IX degli Elementi dice:
Se, a partire dall’unità, si prende un numero a piacere di numeri
successivamente proporzionali in ragione doppia, fino a che la loro
somma sia un numero primo, il prodotto di tale somma per l’ultimo
numero sarà un numero perfetto.
Spieghiamo la proposizione con un esempio. Consideriamo 1 + 2 + 4 = 7,
che è un numero primo. Allora se moltiplichiamo tra loro la somma e l’ultimo
numero:
(somma) ∗ (ultimo) = 7 ∗ 4 = 28
otteniamo in effetti un numero perfetto.
Notiamo che la somma dei primi n numeri, ciscuno doppio del precedente,
equivale alla somma di potenze progressive di 2: 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , ... la cui
somma è 2n − 1. In notazione moderna la formula di Euclide è:
N = 2n−1 (2n − 1)
Negli Elementi Euclide dà una dimostrazione rigorosa di tale proposizione,
possiamo quindi considerarla come il primo risultato significativo sui numeri perfetti.
Un ulteriore passo in avanti nello studio dei numeri perfetti fu compiuto da
Nicomaco di Gerasa, filosofo neopitagorico vissuto verso la fine del I secolo d.C.
in Palestina. Nei due libri pervenutici della sua Introductio arithmeticae, compie
un notevole lavoro di raccolta e sistemazione dei risultati della riflessione matematica dei pitagorici, riprendendo i concetti di numeri eccedenti, numeri difettivi,
che paragona ad animali spaventosi e fornendo l’elenco dei primi quattro numeri
perfetti: 6, 28, 496, 8128.
Il punto di maggior interesse è però un elenco di proprietà relative ai numeri
perfetti, che Nicomaco fornisce senza però le relative dimostrazioni:
1. L’n-esimo numero perfetto ha n cifre
2. Tutti i numeri perfetti sono pari
3. Tutti i numeri perfetti terminano con 6 e con 8 in modo alternato
4. Il cosiddetto algoritmo di Euclide genera tutti i numeri perfetti, ovvero tutti
i numeri perfetti sono della forma 2k−1 (2k − 1), per qualche k > 1, dove
2k − 1 è primo.
3
5. Esistono infiniti numeri perfetti.
Queste proposizioni sono state prese in esame più volte nel corso del tempo e
ancora lo sono. Al momento attuale ciò che possiamo dire con sicurezza è che le
proprietà (1) e (3) sono false, mentre le altre non sono ancora state né provate né
confutate.
Nonostante Nicomaco non avesse dimostrato alcuna delle proprità da lui enunciate, per molto tempo furono prese come verità inconfutabili, anche grazie all’apporto che la religione forniva in questo senso. In effetti 6 è il numero di giorni in
cui Dio creò il mondo, e 28 è il numero scelto da Dio come numero di giorni che
occorrono alla luna per girare intorno alla terra. Riportiamo a questo proposito un
passo dal De civitate Dei di Sant’Agostino (354-430):
Sei è un numero perfetto per se stesso, e non perché Dio creò tutte
le cose in sei giorni; è vero piuttosto l’inverso: Dio creò tutte le cose
in sei giorni perché sei è un numero perfetto. E rimarrebbe perfetto
anche se l’opera dei sei giorni non esistesse.
Anche i matematici arabi erano affascinati dai numeri perfetti, così come
mostrano alcuni trattati. Thabit ibn Qurra nel suo Trattato sui numeri amicabili
esaminò quando i numeri nella forma 2n p con p numero primo, possono essere
numeri perfetti; Ibn al-Haytham nel suo Trattato sull’analisi e sulla sintesi arrivò a conclusioni simili a quelle di Euclide, mostrando che i numeri perfetti che
soddisfano certe condizioni devono essere nella forma 2k−1 (2k − 1) con 2k − 1
primo.
Tra i matematici arabi che entrarono in contatto con gli studi greci sui numeri
perfetti e li accettarono con entusiasmo ci fu Ibrahim ibn Fallus (1194-1239)
che scrisse un trattato partendo dalla Introductio Arithmeticae di Nicomaco. Egli
accettò la classificazione dei numeri fatta da Nicomaco, ma da un punto di vista
puramente matematico (privo quindi di ogni interpretazione morale o religiosa).
Inoltre nel suo trattato elencò quelli che secondo lui erano i primi dieci numeri
perfetti. I primi sette sono in effetti corretti (e sono i primi sette numeri perfetti),
mentre gli altri sono inesatti.
Tale scoperta restò però sconosciuta ai matematici occidentali, che riuscirono
a trovare i successivi numeri perfetti soltanto a partire dal XV secolo d.C.
Il quinto numero perfetto fu scoperto e riportato in alcuni manoscritti, datati intorno al 1460, in uno di essi compare addirittura anche il sesto, probabilmente
opera di uno studente di Domenico d’Agostino Vaiaio.
All’inizio della rinascita del pensiero matematico in Europa, all’inizio del XVI
secolo, la conoscenza relativa ai numeri perfetti era praticamente ferma alle proposizioni di Nicomaco, credute vere. Alcuni matematici credettero addirittura che la
formula per ottenere numeri perfetti dall’espressione 2k−1 (2k − 1) fosse valida per
4
ogni k dispari, come riportato, ad esempio, da Charles de Bovelles nel suo trattato
sui numeri perfetti del 1509.
Nel 1536 Hudalrichus Regius fece un’importante scoperta, che pubblicò nella sua opera Utriusque Arithmetices, ovvero la fattorizzazione
211 − 1 = 2047 = 23 ∗ 89
In questo modo riuscì a trovare il primo numero primo p tale che 2p−1 (2p − 1) non
è un numero perfetto.
Mostrò anche che 213 − 1 = 8191 è primo, scoprendo e rendendo pubblico il
quinto numero perfetto 212 (213 − 1) = 33550336.
Questa scoperta portò alla dimostrazione che la prima proposizione di Nicomaco
è falsa, poiché il quinto numero perfetto ha 8 cifre e non 5.
Un ulteriore passo in avanti fu compiuto da Cataldi, che nel 1603 trovò i
fattori di tutti i numeri fino a 800 ed elencò tutti i numeri primi fino a 750 (esistono
132 numeri primi minori di 750). In questo modo riuscì a dimostrare che 217 −
1 = 131071 è un numero primo (poiché 7502 = 562500 > 131071 riuscì a
calcolare che 131071 non ha divisori primi). Da ciò Cataldi riuscì a scoprire il
sesto numero perfetto, ovvero 216 (217 − 1) = 8589869056. Questa scoperta portò
alla dimostrazione che la terza proposizione di Nicomaco è falsa, poiché il quinto
e il sesto numero perfetto terminano entrambi con 6. Utilizzando la sua lista di
numeri primi Cataldi riuscì anche a dimostrare che 219 − 1 = 524287 era un
numero primo (di nuovo 7502 = 562500 > 524287i) e da qui a trovare il settimo
numero perfetto, ovvero 218 (219 − 1) = 137438691328.
La storia dei numeri perfetti, però, è costellata di grandi scoperte così come
di passi falsi, ne è un esempio lo stesso Cataldi che nella sua opera Utriusque
Arithmetices scrive che gli esponenti p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 danno
origine ai numeri perfetti 2p−1 (2p − 1). Mentre questa affermazione è vera per i
numeri p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, di cui aveva la prova, grazie alle sue tavole dei
numeri primi, soltanto uno dei successivi quattro numeri è corretto (il 31).
Un notevole contributo allo studio dei numeri perfetti fu successivamente dato
da Pierre de Fermat. Nel 1636 disse a Robertval che stava lavorando su questo
argomento e, nonostante i problemi incontrati fossero di una certa rilevanza, intendeva pubblicare un trattato sull’argomento. Questo trattato non fu mai scritto,
però, in parte perché Fermat non riordinò mai i propri risultati, ma anche perché
non ottenne i risultati che sperava di raggiungere. Nel giugno del 1640 Fermat
scrisse a Mersenne condividendo con lui alcune sue scoperte sui numeri perfetti:
Ecco tre proposizioni che ho scoperto, sulle quali spero di erigere una
grande struttura. I numeri più piccoli di un’unità nella progressione
di passo 2, come:
5
1 2
1 3
3
7
4 5 6
7
15 31 63 127
8
255
9
10
11
12
511 1023 2047 4095
13
8191
possono essere chiamati radicali dei numeri perfetti, poiché ogni volta che sono numeri primi, danno origine a numeri perfetti.
Ho posto sopra questi numeri la progressione naturale 1, 2, 3, 4, ...,
etc, che sono i loro esponenti. Fatto ciò, posso dire:
1. Quando l’esponente di un numero radicale è composto, allora
anche il suo radicale è composto. Come ad esempio 6, l’esponente di 63, è composto, e anche 63 è composto.
2. Quando l’esponente è un numero primo, allora il suo radicale
meno un’unità è divisibile per il doppio dell’esponente. Come
ad esempio 7, l’esponente di 127 è primo, e 126 è multiplo di
14.
3. Quando l’esponente è un numero primo, allora il suo radicale
non può essere divisibile per nessun numero primo, ad eccezione
di quelli maggiori di un’unità dei multipli del doppio dell’esponente...
Ecco tre belle proposizioni che ho trovato e provato senza difficoltà,
le chiamerei i fondamenti dell’invenzione dei numeri perfetti. Non
dubito che Frenicle de Bessy ci sia arrivato prima, ma ho appena
cominciato e senza dubbio queste proposizioni passeranno piacevolmente nelle menti di coloro che non sono diventati ipercritici su questi
argomenti, e sarei molto felice di avere l’opinione di M Robertval.
Poco dopo aver scritto questa lettera a Mersenne, Fermat scrisse a Frenicle de
Bessy il 18 ottobre 1640. In quella lettera diede una generalizzazione dei risultati
riportati in questa lettera e introducendo quello che ora è conosciuto come Piccolo
Teorema di Fermat, che mostra che per ogni numero primo p e per ogni intero a
non divisibile per p, ap−1 è divisibile per p. Certamente Fermat scoprì il suo
Piccolo Teorema come conseguanza della sue investigazioni sui numeri perfetti.
Utilizzando speciali casi del suo Piccolo Teorema, Fermat fu in grado di provare
la falsità di due degli esponenti proposti da Cataldi (che riportò in una lettera a
Mersenne, nel giugno 1640). Dimostrò che 223 − 1 è composto (infatti 223 − 1 =
47 ∗ 178481) e che 237 − 1 è composto (infatti 237 = 223 ∗ 616318177).
La lettera conteneva anche il procedimento seguito da Fermat per la fattorizzazione di 237 − 1.
Fermat usò tre teoremi:
1. Se n è composto, allora 2n − 1 è anche composto;
6
2. Se n è primo, allora 2n − 2 è multiplo di 2n;
3. Se n è primo e p è un divisore primo di 2n − 1, allora p − 1 è un multiplo di
n.
Notiamo che il (2) e il (3) sono casi particolari del Piccolo Teorema di Fermat.
Fermat procedette poi nel modo seguente: Se p è un divisore primo di 237 − 1,
allora 37 divide p − 1. Poiché p è dispari, è un primo nella forma 2 + 37m + 1, per
qualche m. Il primo caso da provare è p = 149, e non funziona, il caso successivo
è 223 (il caso in cui m = 3), e funziona: 237 − 1 = 223 ∗ 616318177.
Mersenne era molto interessato ai risultati che Fermat gli inviò sui numeri
perfetti, e presto cominciò anch’egli a produrre degli studi suoi sull’argomento,
che hanno affascinato i matematici per lungo tempo. Nel 1644 egli pubblicò Cogitata physica mathematica, in cui sostenva che 2p − 1 è primo (e di conseguenza
2p−1 (2p − 1) è un numero prefetto), per p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
e per nessun altro valore di p minore di 257, anche se non riuscì a provare tali
risultati, come ammise egli stesso:
... per dire se un dato numero di 15 o 20 cifre è primo oppure no, tutto
il tempo non basterebbe per la prova.
Se quelle di Mersenne erano solo supposizioni, in effetti fece molto bene. Ci
sono 47 primi p maggiori di 19 e minori di 258 per cui 2p − 1 poteva essere o
primo o composto. Mersenne ne indovinò 42 e ne sbagliò soltanto 5.
Proprio per le sue scoperte e per il suo grande interesse per i numeri perfetti, i
numeri primi nella forma:
2p − 1
sono chiamati primi di Mersenne.
In seguito, la persona che piu’ contribuì allo studio dei numeri perfetti fu
Eulero. Nel 1732 riuscì a calcolare l’ottavo numero perfetto, il primo nuovo
numero perfetto negli ultimi 125 anni: 230 (231 − 1) = 2305843008139952128.
Nel 1738, poi, Eulero smentì l’ultima delle proposizioni di Cataldi, provando che
229 − 1 non era primo (anche Mersenne in effetti non aveva inserito il 29 nel suo
elenco di esponenti).
Ma l’apporto maggiore che Eulero diede, fu quello riguardante la formula di
Euclide. In due manoscritti non pubblicati durante la sua vita, egli provò infatti
che ogni numero perfetto pari deve essere nella forma 2p−1 (2p −1). Questo verifica
la quarta asserzione di Nicomaco, almeno nel caso di numeri pari. Porta anche a
una facile dimostrazione che i numeri perfetti pari terminano in 6 oppure in 8
(anche se non alternativamente). Eulero cercò anche di portare avanti il problema
7
circa l’esistenza di numeri perfetti dispari, arrivando ad asserire che ogni numero
perfetto dispari debba essere nella forma:
(4n + 1)4k+1 b2
con 4n + 1 primo. Comunque, come molti altri matematici precedenti, Eulero
fece delle asserzioni sui numeri perfetti che si rivelarono poi false. Per esempio,
scrisse che 2p−1 (2p − 1) era perfetto per p = 41 e p = 47, ma a differenza di
alcuni suoi predecessori, Eulero si accorse dell’errore fatto e lo corresse nel 1753.
Il numero perfetto scoperto da Eulero 230 (231 −1) rimase il più grande numero
perfetto conosciuto per altri 150 anni e ormai anche i matematici più autorevoli
erano rassegnati, come bene esprime ciò che Peter Barlow scrisse nel suo Theory
of Numbers pubblicato nel 1811 a proposito del numero perfetto 230 (231 − 1):
... è il più grande che verrà mai scoperto; anche perché essi stimolano
soltanto la curiosità, senza essere utili, ed è improbabile che qualcuno
cercherà mai di trovarne uno oltre questo.
Ecco un’altra affermazione falsa sui numeri perfetti!
Il primo errore nella lista di Mersenne fu scoperto nel 1876 da Lucas. Egli
riuscì a dimostrare che 267 − 1 non è un numero primo anche se il suo metodo non
gli rese possibile trovare uno dei suoi fattori. Lucas riuscì anche a verificare che un
altro dei numeri nella lista di Mersenne era giusto, quando riuscì a dimostrare che
2127 −1 è un primo di Mersenne, e quindi 2126 (2127 −1) è effettivamente un numero
perfetto. Lucas è tuttora molto importante per la ricerca dei numeri perfetti, perché
una delle sue scoperte, modificata in seguito nel 1930 da Lehmer, è alla base del
software usato per trovare i numeri primi di Mersenne e di conseguenza i numeri
perfetti.
Seguendo la proposizione di Lucas che p = 127 dà origine al primo di Mersenne
2p − 1, Catalan asserì che, se m = 2p − 1 è un numero primo, allora anche 2m − 1
è primo. Questa successione di Catalan è data da 2p − 1 dove
p = 3, 7, 127, 170141183460469231731687303715884105727, ...
Naturalmente se questa congettura fosse dimostrabile, risolverebbe la questione
ancora aperta sul numero (finito o infinito) dei primi di Mersenne, e di conseguenza sul numero (finito o infinito) dei numeri perfetti.
Nel 1883 Pervusin dimostrò che 260 (261 − 1) è un numero perfetto. A tale
risultato arrivò anche Seelhoff tre anni dopo, in modo completamente indipendente. Molti matematici difesero allora Mersenne, dicendo che il numero 67 che
compariva nella sua lista era in realtà un 61 scritto male.
Nel 1903 Cole riuscì a fattorizzare 267 − 1, il numero che Lucas aveva già
definito come composto senza però trovarne i fattori e presentò questa sua scoperta
8
in un articolo dal titolo On the factorisation of large numbers presentato ad un
incontro della American Mathematical Society nell’Ottobre del 1903.
In seguito si riuscirono a trovare altri errori nella lista di Mersenne. Nel 1911
Powers dimostrò che 288 (289 − 1) era un numero perfetto e qualche anno più tardi
dimostrò che anche 2100 (2101 − 1) è un numero perfetto, in quanto 2101 − 1 è
primo. Nel 1922 Kraitchik dimostrò che Mersenne si era sbagliato circa il 257
dimostrando che in effetti 2257 − 1 non è primo.
Questi sono stati i tentativi, più o meno riusciti, di trovare nuovi numeri perfetti
pari, ma molto si è anche studiato per i numeri perfetti dispari, sia per trovarli
sia per dimostrare la loro non esistenza.
Il punto di partenza è stato quello di trovare il minimo numero di fattori primi
distinti che un numero perfetto dispari deve avere. Nel 1888 Sylvester provò che
ogni numero perfetto dispari deve avere almeno 4 fattori primi distinti. In seguito,
sempre nello stesso anno, migliorò i suoi risultati arrivando a 5 fattori primi e, nel
corso degli anni, questo numero è diventato sempre più grande fino ai giorni nostri. Gli ultimi studi dimostrano infatti che un numero perfetto dispari deve avere
almeno 8 fattori primi distinti e almeno 29 fattori primi non necessariamente distinti. Tale numero deve inoltre avere più di 300 cifre e un divisore primo maggiore
di 106 . La questione se un tale numero esista oppure no, è ancora irrisolta.
Al giorno d’oggi si conoscono solo 42 numeri perfetti. 288 (289 − 1) è stato
l’ultimo ad essere trovato con calcolo manuale nel 1911 (anche se non è il più
grande ad essere stato trovato con calcolo manuale), i successivi sono stati trovati
utilizzando un computer. In effetti con lo sviluppo dei computers c’è stato un
rinnovato interesse nello scoprire i numeri primi di Mersenne e di conseguenza i
numeri perfetti e le scoperte si sono succedute sempre più frequentemente.
Proprietà dei numeri perfetti
Nonostante alcuni matematici abbiano nel corso dei secoli denigrato l’importanza dei numeri perfetti (forse più per giustificarsi per non essere stati in grado di
scoprirne loro stessi), questi numeri hanno interessanti proprietà.
Seguendo la scoperta di Nicomaco di Gerasa,
Proprietà 1 Si può precisare che ogni numero perfetto pari termina con 28 o con
6, preceduto da un numero dispari.
Proprietà 2 Ogni numero perfetto è triangolare.
Definizione 4 Un numero si dice triangolare se è dato dalla somma dei numeri
consecutivi a partire dall’unità.
9
Sono esempi di numeri triangolari:
3 = 1 + 2,
6 = 1 + 2 + 3,
10 = 1 + 2 + 3 + 4,
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5.
e così via.
Proprietà 3 Ogni numero perfetto è esagonale.
Definizione 5 Un numero si dice esagonale se si ottiene dalla formula n (2n − 1).
I primi numeri esagonali sono: 1, 6, 15, 28, 45,... I numeri esagonali sono
uguali ai numeri triangolare alternati (quelli formati da un numero dispari di
addendi).
Proprietà 4 (Teorema di Filippo Giordano)Ogni numero perfetto, ad eccezione
del 6, ha radice numerica sempre pari a 1.
Definizione 6 Si definisce radice numerica di un numero la somma delle singole
cifre di cui è composto il numero perpetuata fino al raggiungimento di una sola
cifra.
Man mano che la ricerca sui numeri perfetti è andata avanti è stata notata
questa curiosità: la radice numerica di ogni nuovo numero perfetto era sempre
uguale a 1. Tale caratteristica ha indotto i ricercatori ad avanzare l’ipotesi che
tutti i numeri perfetti, compresi quelli ancora ignoti, conservino tale proprietà.
Tuttavia, fin quando tale congettura è rimasta non dimostrata, ogni dubbio sulla
sua veridicità era legittimo nonché avvalorato dalla diversità del primo numero
perfetto (il perfetto 6 che ha radice numerica pari a 6). Dubbi e perplessità che
coincidevano con i seguenti interrogativi:
Per quale motivo il primo perfetto non ha radice numerica 1?
Esso costituisce l’unica eccezione oppure, in seguito, se ne scopriranno altre?
Questa congettura fu poi spiegata grazie alle dimensioni cicliche dei sistemi
numerici.
Dimostrazione del Teorema di Filippo Giordano. Euclide, nel 300 avanti
Cristo, osservò che con n = numero primo, ogni qualvolta 2n − 1 corrisponde a
sua volta ad un ulteriore numero primo, allora 2n−1 (2n − 1) è un numero perfetto.
Aumentando gradualmente il valore di n della formula euclidea, da 1 all’infinito, si ottengono infiniti cicli esa-numerici, ciascuno dei quali contiene al suo
interno numeri con radice numerica rispettivamente: 1, 6, 1, 3, 1, 9.
10
2n−1 (2n − 1)
prodotto Radice numerica
1−1 1
2 (2 − 1)
1
1
2−1 2
2 (2 − 1)
6
6
23−1 (23 − 1)
28
1
4−1 4
2 (2 − 1)
120
3
25−1 (25 − 1)
496
1
6−1 6
2 (2 − 1)
2016
9
7−1 7
2 (2 − 1)
8128
1
28−1 (28 − 1)
32640
6
9−1 9
2 (2 − 1)
130816
1
10−1 10
2
(2 − 1) 523776
3
211−1 (211 − 1) 2096128
1
12−1 12
2
(2 − 1) 8386560
9
...
...
...
E così via, all’infinito.
Nell’ambito dei primi due cicli esa-numerici della formula euclidea sopra riportati si incontrano i primi 4 numeri perfetti, determinati da n avente valore
uguale ai numeri primi 2, 3, 5 e 7.
Si può notare che tutti i numeri corrispondenti a valore di n dispari hanno radice
numerica 1, mentre tutti quelli corrispondenti a valore di n pari hanno, alternativamente, radice numerica del 3 e dei suoi multipli (6-3-9).
Il 6 (unico fra i numeri perfetti ad avere radice numerica diversa da 1) infatti, è il prodotto dei due fattori aventi l’unico esponente n primo pari, cioè il 2:
22−1 (22 − 1) = 2 ∗ 3 = 6.
Poiché condizione necessaria e indispensabile affinché 2n − 1 sia un numero primo è quella, preliminare, che n corrisponda ad un numero primo e poiché tutti i
numeri primi, ad eccezione del 2, sono dispari, allora tutti i numeri perfetti, poiché
determinati dalla formula euclidea avente n= numero dispari conservano sempre
(ad eccezione di n = 2) la radice numerica 1.
Proprietà 5 Dalla definizione di perfezione, si deduce che la somma dei reciproci
dei divisori di un numero perfetto (incluso il numero stesso) è uguale a 2.
Per esempio, poiché 6 + 6 = 1 + 2 + 3 + 6, dividendo il tutto per 6 si ha:
2=
1 1 1 1
+ + +
1 2 3 6
Mentre per 28 si ha:
2=
1 1 1 1
1
1
+ + + +
+
1 2 4 7 14 28
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Proprietà 6 Con l’eccezione del primo numero perfetto 6, ogni successivo è pari
alla somma parziale della serie 13 + 33 + 53 + 73 +...
Per esempio, 28 = 13 + 33 , mentre 496 = 13 + 33 + 53 .
Numeri Perfetti e Primi di Mersenne
Come visto in precedenza, la storia dei numeri perfetti è stata finora legata strettamente a quella dei numeri primi di Mersenne e ancora lo sarà finché non si riuscirà
a dimostrare l’esistenza di numeri perfetti dispari (se mai ci si riuscirà). Ma chi
era costui?
Padre Marin Mersenne (1588-1648) era un frate dell’ordine dei Minimi, studioso di filosofia della natura, teologia, matematica, musica, ... il cui grande merito fu quello di aver fatto da corrispondente di noti filosofi e scienziati, in un’epoca
in cui la divulgazione delle scoperte scientifiche era tutt’altro che semplice, sia per
la mancanza di organi di comunicazione adeguati, sia per la naturale diffidenza e
rivalità che caratterizzava gli scienziati. Nel Seicento le lettere erano lo strumento
principale dell’attività scientifica, erano ben scritte e venivano spesso mostrate,
copiate, trasmesse ad altre persone, il loro compito si può paragonare a quello
rivestito oggi dalle riviste specializzate.
Ma Padre Mersenne non si limitò ad essere fruitore delle conoscenze altrui,
anzi nella sua opera Cogitata physico-mathematica, pubblicata nel 1644 diede la
prima definizione dei numeri primi che portano il suo nome, che sono nella forma:
2n − 1 e assumono la notazione Mn .
Nella sua opera Padre Mersenne fornì anche un elenco dei numeri minori di 258
per cui valeva questa proprietà, anche se, come già visto in precedenza, nella sua
lista c’erano degli errori. Ciò toglie poco al suo merito, che fu, soprattutto grazie
alla sua lista, quello di stimolare gli studiosi a cercare di confermarla o confutarla
e in seguito di proseguirla.
Questa passione non si è spenta con gli anni, anzi in seguito alla diffusione
dei computers è aumentata sempre più. Padre Mersenne mantiene il primato di
aver trovato il più grande numero primo senza l’ausilio di strumenti per il calcolo,
M127 = 2127 − 1, un numero di 39 cifre che ha permesso a Mersenne di
conservare il suo primato fino al 1951. Nel 1961 fu scoperto M19 = 24253 − 1,
un numero di 1281 cifre; nel 1963 fu scoperto M23 = 2211213 − 1, composto
da 3376 cifre, e così via in modo frenetico fino agli ultimi anni: M35 composto da
420921 cifre, scoperto nel 1996, M39 di 4053946 cifre nel 2001, M41 di 7235733
cifre nel 2004.
Al momento, il più grande numero primo di Mersenne conosciuto è
M42 = 225964951 − 1
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che è un numero di 7816230 cifre. E’ stato scoperto nell’aprile del 2005 da
un matematico dilettante tedesco, Martin Nowak, che ha fatto questa importante
scoperta partecipando al progetto GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search,
un progetto aperto a tutti, che fornisce la tecnologia necessaria per il calcolo distribuito, che si basa su una rete di circa 210.000 computers (normali PC) utilizzati
da 130.000 volontari sparsi in tutto il mondo. Si tratta in pratica di un programma
che gira sui personal computers dei volntari a priorità minima quando il computer
è acceso e quando (o meglio se) si riesce a trovare un nuovo numero primo di
Mersenne, il programma ne dà notizia all’utente tramite una finestra.
Questo tipo di tecnologia aiuterà ad allungare la lista dei numeri primi di
Mersenne e a mantenere vivi il suo ricordo e la sua importante figura matematica.
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Bibliografia e Sitografia
D.Romagnoli Elementi di Matematica Discreta - Quaderno didattico del Dipartimento di Matematica Università di Torino, gennaio 2004, pp.39-40
L.Cresci I numeri celebri - ed. Bollati Boringhieri 2000, pp.95-98, 110-113
S.Singh L’ultimo teorema di Fermat - ed. BUR 1997, pp.32-35, 60-62
Federico Peiretti Numeri primi, è record - articolo pubblicato su ”Tuttoscienze”,
allegato a ”La Stampa” del 20 aprile 2005
J.J. O’Connor, E.F. Robertson Perfect Numbers
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/∼history/HistTopics/Perfect_numbers.html
Umberto Cerruti Numeri Perfetti
http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/cerruti/primi/primigrandi/perfetti.html
Giampietro Allasia, Umberto Cerruti Alla ricerca...dei numeri primi di Mersenne!
http://alpha01.dm.unito.it/personalpages/cerruti/doc-html/mersenne/mersenne.html
Eric W. Weisstein Perfect Number - From MathWorld A Wolfram Web Resource
http://mathworld.wolfram.com/PerfectNumber.html
http://www.matematicamente.it/giordano/teorema_numeri_perfetti.htm
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