Istituzione di matematica e fondamenti di Biostatistica

Insiemi numerici
Giulia Simi (Università di Siena)
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Siena 2015-2016
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Insiemi numerici
rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata;
costituiscono le tappe di uno dei più importanti cammini della
conoscenza.
Lo sviluppo storico dei numeri è diverso dalla sistemazione effettuata a
posteriori che parte da numeri naturali, N, passa attraverso i numeri
interi relativi, Z, i numeri razionali, Q, ed arriva ai numeri reali, R.
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Insiemi numerici
rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata;
costituiscono le tappe di uno dei più importanti cammini della
conoscenza.
Lo sviluppo storico dei numeri è diverso dalla sistemazione effettuata a
posteriori che parte da numeri naturali, N, passa attraverso i numeri
interi relativi, Z, i numeri razionali, Q, ed arriva ai numeri reali, R.
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Insiemi numerici
rappresentano la base su cui la matematica si è sviluppata;
costituiscono le tappe di uno dei più importanti cammini della
conoscenza.
Lo sviluppo storico dei numeri è diverso dalla sistemazione effettuata a
posteriori che parte da numeri naturali, N, passa attraverso i numeri
interi relativi, Z, i numeri razionali, Q, ed arriva ai numeri reali, R.
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Numeri Naturali: N
N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Servono per contare;
Struttura algebrica:
In N si può sempre eseguire le operazioni di addizione e di
moltiplicazione, mentre questo non accade per la sottrazione e
per la divisione.
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Numeri Naturali: N
N = {0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Servono per contare;
Struttura algebrica:
In N si può sempre eseguire le operazioni di addizione e di
moltiplicazione, mentre questo non accade per la sottrazione e
per la divisione.
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Struttura di ordine
La relazione ≤ ordina in modo lineare l’insieme N: ogni numero
naturale corrisponde ad un punto su una retta orientata.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
Figure: Ogni numero naturale corrisponde a un punto su una retta orientata.
In N esiste il minimo elemento, 0; ma non il massimo
il successivo di ogni numero naturale;
il precedente di ogni numero naturlale > 0.
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Struttura di ordine
La relazione ≤ ordina in modo lineare l’insieme N: ogni numero
naturale corrisponde ad un punto su una retta orientata.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
Figure: Ogni numero naturale corrisponde a un punto su una retta orientata.
In N esiste il minimo elemento, 0; ma non il massimo
il successivo di ogni numero naturale;
il precedente di ogni numero naturlale > 0.
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Struttura di ordine
La relazione ≤ ordina in modo lineare l’insieme N: ogni numero
naturale corrisponde ad un punto su una retta orientata.
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
...
Figure: Ogni numero naturale corrisponde a un punto su una retta orientata.
In N esiste il minimo elemento, 0; ma non il massimo
il successivo di ogni numero naturale;
il precedente di ogni numero naturlale > 0.
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Numeri Interi relativi: Z
Z = {. . . , −(n + 1), −n, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Sono stati introdotti per
poter sempre eseguire la sottrazione, motivazione matematica
disporre di una scala numerica illimitata in entrambi i sensi,
esigenza applicativa.
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Numeri Interi relativi: Z
Z = {. . . , −(n + 1), −n, . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , n, n + 1, . . .}
Sono stati introdotti per
poter sempre eseguire la sottrazione, motivazione matematica
disporre di una scala numerica illimitata in entrambi i sensi,
esigenza applicativa.
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Numeri Interi relativi: Z
Come si costruisce l’insieme Z?
Si raddoppia N \ {0} e si introducono nuovi simboli per indicare gli
elementi nuovi:
Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ e N ⊂ Z.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su
una retta orientata gli elementi di Z
Z
−6 −5
−4 −3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
...
Figure: Ad ogni intero relativo corrisponde un punto sulla retta orientata.
Non esiste né massimo e né minimo;
esistono il successivo e il precedente di ogni numero intero
relativo.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su
una retta orientata gli elementi di Z
Z
−6 −5
−4 −3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
...
Figure: Ad ogni intero relativo corrisponde un punto sulla retta orientata.
Non esiste né massimo e né minimo;
esistono il successivo e il precedente di ogni numero intero
relativo.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su
una retta orientata gli elementi di Z
Z
−6 −5
−4 −3
−2 −1
0
1
2
3
4
5
6
...
Figure: Ad ogni intero relativo corrisponde un punto sulla retta orientata.
Non esiste né massimo e né minimo;
esistono il successivo e il precedente di ogni numero intero
relativo.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Struttura algebrica
In Z si può sempre eseguire l’operazione di addizione e
l’operazione di moltiplicazione;
ogni numero intero relativo b ∈ Z ha l’opposto che si indica con
−b ∈ Z.
Segue che in Z si può sempre esguire operazione di sottrazione:
∀a, b ∈ Z a − b = a + (−b) ∈ Z.
Nota
Operazione di sottrazione è l’operazione inversa dell’operazione di
addizione:
a − b = c ⇔ a = b + c.
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Numeri Razionali: Q
Sono stati introdotti per
eseguire l’operazione di divisione a : b con a, b ∈ Z e b 6= 0,
anche quando a non è multiplo di b. Questa è una motivazione
matematica.
esprimere le misure di grandezze qualsiasi che non sono multipli
dell’unità di misura. Questa è una esigenza applicativa
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Numeri Razionali: Q
Sono stati introdotti per
eseguire l’operazione di divisione a : b con a, b ∈ Z e b 6= 0,
anche quando a non è multiplo di b. Questa è una motivazione
matematica.
esprimere le misure di grandezze qualsiasi che non sono multipli
dell’unità di misura. Questa è una esigenza applicativa
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Numeri razionali: rappresentazione
Q=
na
b
o
: a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}
Forma frazionaria: I numeri razionali sono quei numeri che si
ottengono dal quoziente tra due interi, ed è quindi si esprimano
come ba , dove a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero
razionale
c
a
=
b
d
⇔
ad = cb;
In genere si rappresenta un numero razionale con la frazione
ridotta ai minimi termini e con denominatore positivo.
I numeri interi, Z, si scrivono nella forma
sottoinsieme proprio di Q, cioè Z ⊂ Q.
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a
1
con a ∈ Z, quindi Z è
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Numeri razionali: rappresentazione
Q=
na
b
o
: a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}
Forma frazionaria: I numeri razionali sono quei numeri che si
ottengono dal quoziente tra due interi, ed è quindi si esprimano
come ba , dove a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero
razionale
c
a
=
b
d
⇔
ad = cb;
In genere si rappresenta un numero razionale con la frazione
ridotta ai minimi termini e con denominatore positivo.
I numeri interi, Z, si scrivono nella forma
sottoinsieme proprio di Q, cioè Z ⊂ Q.
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a
1
con a ∈ Z, quindi Z è
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Numeri razionali: rappresentazione
Q=
na
b
o
: a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}
Forma frazionaria: I numeri razionali sono quei numeri che si
ottengono dal quoziente tra due interi, ed è quindi si esprimano
come ba , dove a ∈ Z, b ∈ Z \ {0}.
Esistono infinite frazioni che rappresentano lo stesso numero
razionale
c
a
=
b
d
⇔
ad = cb;
In genere si rappresenta un numero razionale con la frazione
ridotta ai minimi termini e con denominatore positivo.
I numeri interi, Z, si scrivono nella forma
sottoinsieme proprio di Q, cioè Z ⊂ Q.
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a
1
con a ∈ Z, quindi Z è
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Numeri razionali: rappresentazione
Applicando l’algoritmo divisione con virgola, i numeri razionali,
non interi, si possono anche esprimere in forma decimale,numeri
con virgola
I
I
numeri decimali finiti: con un numero finito di cifre decimali;
numeri decimali periodici: con un numero infinito di cifre decimali,
che si ripetono in modo ciclico.
Ogni numero razionale è un numero intero o un numero numero
decimale finito o periodico.
Si dispone di algoritmi per passare dalla forma frazionaria alla
forma decimale e viceversa.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su una
retta orientata gli elementi di Q.
− 32
−2
+ 12
−1
0
+ 52
+1
Q
+2
Figure: Ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta orientata.
A differenza di N e Z, l’ordine di Q è denso: tra due razionali distinti
esistono infiniti altri razionali.
Quindi non esiste il successivo di un numero razionale.
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Struttura di ordine
Si introduce un ordine lineare che permette di rappresentare su una
retta orientata gli elementi di Q.
− 32
−2
+ 12
−1
0
+ 52
+1
Q
+2
Figure: Ad ogni numero razionale corrisponde un punto sulla retta orientata.
A differenza di N e Z, l’ordine di Q è denso: tra due razionali distinti
esistono infiniti altri razionali.
Quindi non esiste il successivo di un numero razionale.
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Incompletezza di Q
Con i numeri razionali, è risolto il problema della misura?
Tramite i numeri razionali si possono ottenere misure ben
approssimate quanto si voglia; è possibile scendere al di sotto di
ogni margine di errore, per quanto piccolo:
ciò è più che sufficiente nella pratica effettiva della misura.
Con i numeri razionali è anche possibile ottenere in ogni caso
misure esatte?
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Incompletezza di Q
Con i numeri razionali, è risolto il problema della misura?
Tramite i numeri razionali si possono ottenere misure ben
approssimate quanto si voglia; è possibile scendere al di sotto di
ogni margine di errore, per quanto piccolo:
ciò è più che sufficiente nella pratica effettiva della misura.
Con i numeri razionali è anche possibile ottenere in ogni caso
misure esatte?
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Incompletezza di Q
La risposta è negativa: esistono segmenti la cui misura
rispetto al segmento unitario non è esprimibile con un
numero razionale
Esistono punti su una retta orientata che non corrispondono ad
alcun numero razionale: il segmento OP avente lunghezza pari
alla diagonale del quadrato costruito sul segmento unitario OU
non è il corrispondente di alcun numero razionale.
√
1
2
1
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Incompletezza di Q
La risposta è negativa: esistono segmenti la cui misura
rispetto al segmento unitario non è esprimibile con un
numero razionale
Esistono punti su una retta orientata che non corrispondono ad
alcun numero razionale: il segmento OP avente lunghezza pari
alla diagonale del quadrato costruito sul segmento unitario OU
non è il corrispondente di alcun numero razionale.
√
1
2
1
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√
2 non è un numero razionale
√
2 non è un numero razionale.
Cantor ha dimostrato che l’insieme dei punti di una retta orientata
che non corrispondono a nessun numero razionale è un’infinità
molto più grande dell’insieme dei punti che gli corrispondono:
la densità di Q non è sufficiente ad etichettare tutti i punti
della retta.
Per avere un numero in corrispondenza di ogni punto, e quindi per
poter misurare esattamente ogni segmento, è necessaria una
proprietà più forte che è detta completezza: il nuovo insieme
numerico deve completare la retta.
Q non la possiede e questo impone di passare ad un insieme
numerico più ricco: l’insieme R dei numeri reali.
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√
2 non è un numero razionale
√
2 non è un numero razionale.
Cantor ha dimostrato che l’insieme dei punti di una retta orientata
che non corrispondono a nessun numero razionale è un’infinità
molto più grande dell’insieme dei punti che gli corrispondono:
la densità di Q non è sufficiente ad etichettare tutti i punti
della retta.
Per avere un numero in corrispondenza di ogni punto, e quindi per
poter misurare esattamente ogni segmento, è necessaria una
proprietà più forte che è detta completezza: il nuovo insieme
numerico deve completare la retta.
Q non la possiede e questo impone di passare ad un insieme
numerico più ricco: l’insieme R dei numeri reali.
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√
2 non è un numero razionale
√
2 non è un numero razionale.
Cantor ha dimostrato che l’insieme dei punti di una retta orientata
che non corrispondono a nessun numero razionale è un’infinità
molto più grande dell’insieme dei punti che gli corrispondono:
la densità di Q non è sufficiente ad etichettare tutti i punti
della retta.
Per avere un numero in corrispondenza di ogni punto, e quindi per
poter misurare esattamente ogni segmento, è necessaria una
proprietà più forte che è detta completezza: il nuovo insieme
numerico deve completare la retta.
Q non la possiede e questo impone di passare ad un insieme
numerico più ricco: l’insieme R dei numeri reali.
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Numeri Reali
L’immagine intuitiva su cui basarsi per introdurre i numeri reali non è di
natura aritmetica, ma geometrica.
I numeri reali vengono individuati a partire dai punti di una
retta orientata r .
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Numeri Reali
L’immagine intuitiva su cui basarsi per introdurre i numeri reali non è di
natura aritmetica, ma geometrica.
I numeri reali vengono individuati a partire dai punti di una
retta orientata r .
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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Corrispondenza tra i punti di una retta orientata r e i
numeri reali
P punto della semiretta positiva di r
I
I
P ↔ numero razionale positivo se OP e OU, unità, sono
commensurabili;
P ↔ numero irrazionale positivo se OP e OU, unità, sono
incommensurabili;
P punto della semiretta negativa di r
I
P ↔ numero razionale o irrazionale negativo , opposto del
numero corrispondente al punto P 0 , simmetrico di P rispetto ad O.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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18 / 53
L’insieme R dei numeri reali
Indicato con I l’ insieme dei numeri irrazionali, si definisce insieme R
dei numeri reali:
R = Q ∪ I.
I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con i punti di una
retta:
insieme dei numeri reali o retta reale
numero reale o punto della retta
I numeri reali risolvono completamente il problema della
misura.
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Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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Rappresentazione dei reali
Come denotare i numeri reali irrazionali?
I numeri reali irrazionali hanno una rappresentazione decimale, non
finita e non periodica.
La conoscenza completa di un numero irrazionale è impossibile;
Si dimostra che non esiste un algoritmo per denotare
individualmente tutti i numeri irrazionali.
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Struttura algebrica e di ordine
L’insieme R dei numeri reali è dotato di una struttura algebrica
che ci permette di eseguire i consueti calcoli, (addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione) e di un ordinamento che
permette di confrontare tra loro due qualunque numeri reali.
I reali sono il punto di arrivo degli insiemi numerici ordinati in
modo lineare:
R è un insieme denso e completo.
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Struttura algebrica e di ordine
L’insieme R dei numeri reali è dotato di una struttura algebrica
che ci permette di eseguire i consueti calcoli, (addizione,
sottrazione, moltiplicazione e divisione) e di un ordinamento che
permette di confrontare tra loro due qualunque numeri reali.
I reali sono il punto di arrivo degli insiemi numerici ordinati in
modo lineare:
R è un insieme denso e completo.
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Come si opera con i numeri reali, R?
Ogni numero irrazionale può essere approssimato a piacere, sia
per difetto che per eccesso, da numeri razionali.
Anche i calcoli avvengono per approssimazione: un numero
irrazionale è approssimato in modo opportuno da un razionale.
Un aiuto viene dal calcolo letterale: un numero irrazionale si
indica con una lettera e si opera algebricamente su di esso,
rimandando la conversione numerica a calcoli avvenuti in modo
da evitare l’accumularsi degli errori di approssimazione.
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Come si opera con i numeri reali, R?
Ogni numero irrazionale può essere approssimato a piacere, sia
per difetto che per eccesso, da numeri razionali.
Anche i calcoli avvengono per approssimazione: un numero
irrazionale è approssimato in modo opportuno da un razionale.
Un aiuto viene dal calcolo letterale: un numero irrazionale si
indica con una lettera e si opera algebricamente su di esso,
rimandando la conversione numerica a calcoli avvenuti in modo
da evitare l’accumularsi degli errori di approssimazione.
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Come si opera con i numeri reali, R?
Ogni numero irrazionale può essere approssimato a piacere, sia
per difetto che per eccesso, da numeri razionali.
Anche i calcoli avvengono per approssimazione: un numero
irrazionale è approssimato in modo opportuno da un razionale.
Un aiuto viene dal calcolo letterale: un numero irrazionale si
indica con una lettera e si opera algebricamente su di esso,
rimandando la conversione numerica a calcoli avvenuti in modo
da evitare l’accumularsi degli errori di approssimazione.
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
Giulia Simi (Università di Siena)
⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Legame tra struttura d’ordine e struttura algebrica in R
Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a + c ≤ b + c,
a≤b
⇒
∀c ∈ R
a − c ≤ b − c,
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
∀c ∈ R+ \ {0} ac ≤ bc,
∀c ∈ R+ \ {0}
a
b
≤ ,
c
c
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Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
⇒
−a ≥ −b,
∀c ∈ R− \ {0} ac ≥ bc,
∀c ∈ R− \ {0}
a
b
≥ .
c
c
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Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
⇒
−a ≥ −b,
∀c ∈ R− \ {0} ac ≥ bc,
∀c ∈ R− \ {0}
a
b
≥ .
c
c
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Proprietà delle disuguaglianze
∀a, b ∈ R
a≤b
a≤b
a≤b
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⇒
⇒
⇒
−a ≥ −b,
∀c ∈ R− \ {0} ac ≥ bc,
∀c ∈ R− \ {0}
a
b
≥ .
c
c
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Proprietà delle disuguaglianze
0<a≤b
∨
a<0<b
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a≤b<0
⇒
⇒
1
1
≥ ,
a
b
1
1
<0< .
a
b
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Proprietà delle disuguaglianze
0<a≤b
∨
a<0<b
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a≤b<0
⇒
⇒
1
1
≥ ,
a
b
1
1
<0< .
a
b
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Valore assoluto e sue proprietà
Per ogni numero reale x ∈ R, si definisce valore assoluto di x:
x,
se x ≥ 0
|x| =
−x, se x < 0.
y
y = |x|
0
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x
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Proprietà del valore assoluto, |a|
1
2
3
|a| ≥ 0,
|a · b| = |a| · |b| e ba =
|a|
|b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
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Proprietà del valore assoluto, |a|
1
2
3
|a| ≥ 0,
|a · b| = |a| · |b| e ba =
|a|
|b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
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Proprietà del valore assoluto, |a|
1
2
3
|a| ≥ 0,
|a · b| = |a| · |b| e ba =
|a|
|b| ,
|a + b| ≤ |a| + |b|.
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Il valore assoluto di un numero reale può essere interpretato
geometricamente come la distanza dall’origine su una retta orientata.
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso a) |x| ≤ k .
x ≤ k,
se x ≥ 0;
−x ≤ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k .
k
k
−k
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x
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Valore assoluto
Per ogni x ∈ R e per ogni k > 0 si ha
Caso b) |x| ≥ k .
x ≥ k,
se x ≥ 0;
−x ≥ k , se x < 0.
Quindi
|x| ≥ k ⇔ x ≤ −k e x ≥ k .
x
−k
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k
k
0
x
k
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Esercizi
Esercizi
1
Per ciascuna disequazione, determinare i valori reali di x che la
soddisfano, distinguendo il caso a > 0, a = 0 e a < 0:
|x| < a,
2
|x| > a.
Determinare le soluzioni in Z di ciascuna delle seguenti
disequazioni:
a) x − 21 < 15
2 ;
b) |1 − x| > 2.
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Esercizi
Esercizi
1
Per ciascuna disequazione, determinare i valori reali di x che la
soddisfano, distinguendo il caso a > 0, a = 0 e a < 0:
|x| < a,
2
|x| > a.
Determinare le soluzioni in Z di ciascuna delle seguenti
disequazioni:
a) x − 21 < 15
2 ;
b) |1 − x| > 2.
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Esercizi
Esercizi
1
Per ciascuna disequazione, determinare i valori reali di x che la
soddisfano, distinguendo il caso a > 0, a = 0 e a < 0:
|x| < a,
2
|x| > a.
Determinare le soluzioni in Z di ciascuna delle seguenti
disequazioni:
a) x − 21 < 15
2 ;
b) |1 − x| > 2.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
Giulia Simi (Università di Siena)
1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
Giulia Simi (Università di Siena)
1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
Giulia Simi (Università di Siena)
1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente numero naturale o numero intero relativo
Siano x numero reale non nullo, m numero naturale. Si
definisce:
x0 = 1 x1 = x
m > 1 ⇒ x m = x · x · . . . · x,
x −m =
m volte;
m
1
1
= m.
x
x
In particolare:
x −1 =
Giulia Simi (Università di Siena)
1
,
x
reciproco di x.
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Potenze
Esponente razionale
Siano x numero reale positivo, m numero intero, n numero
intero positivo, si definisce:
√
m
n
x n = x m.
Tale definizione si estende agli esponenti razionali negativi,
ponendo:
m
1
1
x− n = m = √
.
n
xm
xn
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
= yx a .
e) yx
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Proprietà delle potenze
Per ogni x, y numeri reali positivi, x, y ∈ R \ {0}
per ogni a, b numeri razionali e più in generali, numeri reali si ha:
a) x a · x b = x a+b ;
b) x a : x b = x a−b ;
c) (x a )b = x ab ;
d) (xy)a = x a · y a ;
a
a
e) yx
= yx a .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Dalla proprietà delle potenze alle proprietà dei radicali
Siano x, y numeri reali non negativi e n, m ∈ N \ {0}. Ricordando che
√
n
1
x = xn,
dalle proprietà delle potenze si ricavano le seguenti proprietà dei
radicali:
√ √
√
a) n xy = n x · n y;
q
√
n
x
b) n yx = √
n y;
p√
√
c) n m x = nm x;
√
√
d) n x m = ( n x)m .
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Esercizi
1
Calcolare il seguente prodotto applicando le proprietà delle
potenze:
2 − 1
2
2 3
7
·
.
7
2
2
Per ogni scelta dei numeri a, b, p, q, con a, b, p e q diversi da
zero, l’espressione
−1
a
p
·
b
q
è uguale ad una soltanto delle seguenti espressioni. Quale?
i)
ap
bq
−1
,
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b
ii)
q
−1
a
,
p
a q −1
iii)
,
p b
iv )
pb
aq
−1
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.
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Esercizi
1
Calcolare il seguente prodotto applicando le proprietà delle
potenze:
2 − 1
2
2 3
7
·
.
7
2
2
Per ogni scelta dei numeri a, b, p, q, con a, b, p e q diversi da
zero, l’espressione
−1
a
p
·
b
q
è uguale ad una soltanto delle seguenti espressioni. Quale?
i)
ap
bq
−1
,
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b
ii)
q
−1
a
,
p
a q −1
iii)
,
p b
iv )
pb
aq
−1
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.
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Un’applicazione interessante delle potenze: calcoli
con numeri in notazione scientifica
Ogni numero reale positivo x, x ∈ R+ \ {0}, può essere scritto in
notazione scientifica, cioè nella forma:
x = a · 10b ,
a ∈ R, 1 ≤ a < 10 e b ∈ Z \ {0}.
a è detta mantissa di x.
b è detta esponente di x.
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Utilità della notazione scientifica
Per numeri molto grandi, o molto piccoli, evita di dover scrivere
molti zeri e ne facilita la comprensione;
Permette più facilmente il confronto: due numeri che hanno lo
stesso esponente in notazione scientifica sono più o meno dello
stesso ordine di grandezza, il numero più grande non è superiore
a 10 volte il più piccolo.
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Utilità della notazione scientifica
Per numeri molto grandi, o molto piccoli, evita di dover scrivere
molti zeri e ne facilita la comprensione;
Permette più facilmente il confronto: due numeri che hanno lo
stesso esponente in notazione scientifica sono più o meno dello
stesso ordine di grandezza, il numero più grande non è superiore
a 10 volte il più piccolo.
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Operazioni in notazione scientifica: addizione e
sottrazione
Dati x1 = a1 · 10b1 e x2 = a2 · 10b2 per determinare la somma o la
differenza si portano i numeri x1 e x2 allo stesso esponente;
ad esempio si moltiplica e si divide x2 per 10b1 ,
x2 = a2 · 10b2 = a2 10b2 · 10−b1 · 10b1
si sommano o sottraggono le mantisse mantenendo lo stesso
esponente;
x1 ±x2 = a1 ·10b1 ±a2 10b2 · 10−b1 ·10b1 = a1 ± a2 · 10b2 −b1 ·10b1 ;
si scrive il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: addizione e
sottrazione
Dati x1 = a1 · 10b1 e x2 = a2 · 10b2 per determinare la somma o la
differenza si portano i numeri x1 e x2 allo stesso esponente;
ad esempio si moltiplica e si divide x2 per 10b1 ,
x2 = a2 · 10b2 = a2 10b2 · 10−b1 · 10b1
si sommano o sottraggono le mantisse mantenendo lo stesso
esponente;
x1 ±x2 = a1 ·10b1 ±a2 10b2 · 10−b1 ·10b1 = a1 ± a2 · 10b2 −b1 ·10b1 ;
si scrive il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: addizione e
sottrazione
Dati x1 = a1 · 10b1 e x2 = a2 · 10b2 per determinare la somma o la
differenza si portano i numeri x1 e x2 allo stesso esponente;
ad esempio si moltiplica e si divide x2 per 10b1 ,
x2 = a2 · 10b2 = a2 10b2 · 10−b1 · 10b1
si sommano o sottraggono le mantisse mantenendo lo stesso
esponente;
x1 ±x2 = a1 ·10b1 ±a2 10b2 · 10−b1 ·10b1 = a1 ± a2 · 10b2 −b1 ·10b1 ;
si scrive il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: moltiplicazione e
divisione
Per determinare il prodotto o il quoziente di
x1 = a1 · 10b1
e
x2 = a2 · 10b2 ,
è sufficiente, grazie alle proprietà delle potenze
moltiplicare o dividere le mantisse;
sommare o sottrarre gli esponenti;
scrivere il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: moltiplicazione e
divisione
Per determinare il prodotto o il quoziente di
x1 = a1 · 10b1
e
x2 = a2 · 10b2 ,
è sufficiente, grazie alle proprietà delle potenze
moltiplicare o dividere le mantisse;
sommare o sottrarre gli esponenti;
scrivere il risultato in notazione scientifica.
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Operazioni in notazione scientifica: moltiplicazione e
divisione
Per determinare il prodotto o il quoziente di
x1 = a1 · 10b1
e
x2 = a2 · 10b2 ,
è sufficiente, grazie alle proprietà delle potenze
moltiplicare o dividere le mantisse;
sommare o sottrarre gli esponenti;
scrivere il risultato in notazione scientifica.
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Esercizio 1.
Il virus herpes simplex è costituito dal nucleo e da due rivestimenti
proteici del nucleo stesso. Il nucleo ha massa 2 · 10−16 g, mentre i due
rivestimenti hanno massa, rispettivamente, 5 · 10−16 g e 1, 3 · 10−15 g.
Calcolare la massa del virus herpes simplex.
Risposta: 2 · 10−15 g
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Esercizio 1.
Il virus herpes simplex è costituito dal nucleo e da due rivestimenti
proteici del nucleo stesso. Il nucleo ha massa 2 · 10−16 g, mentre i due
rivestimenti hanno massa, rispettivamente, 5 · 10−16 g e 1, 3 · 10−15 g.
Calcolare la massa del virus herpes simplex.
Risposta: 2 · 10−15 g
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
10
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
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Soluzione Esercizio 1
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 10−1 · 10−15 + 5 · 10−1 · 10−15 + 1, 3 · 10−15 =
5
13
2
+
+
10 10 10
· 10−15 =
20
· 10−15 = 2 · 10−15 g.
10
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Esercizio 2
La popolazione umana è di circa 6 miliardi di persone. Ogni persona
ha mediamente 5, 6 litri di sangue (1 litro è pari a 1dm3 ).
Determinare il volume totale in m3 del sangue umano presente nel
mondo.
Risposta: 3, 36 · 107 m3
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Esercizio 2
La popolazione umana è di circa 6 miliardi di persone. Ogni persona
ha mediamente 5, 6 litri di sangue (1 litro è pari a 1dm3 ).
Determinare il volume totale in m3 del sangue umano presente nel
mondo.
Risposta: 3, 36 · 107 m3
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Soluzione Esercizio 2
6 miliardi ha 9 zeri. Quindi
5, 6 · 6 · 109 = 33, 6 · 109 dm3
33, 6 · 109 dm3 = 3, 36 · 107 m3 .
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Soluzione Esercizio 2
6 miliardi ha 9 zeri. Quindi
5, 6 · 6 · 109 = 33, 6 · 109 dm3
33, 6 · 109 dm3 = 3, 36 · 107 m3 .
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Soluzione Esercizio 2
6 miliardi ha 9 zeri. Quindi
5, 6 · 6 · 109 = 33, 6 · 109 dm3
33, 6 · 109 dm3 = 3, 36 · 107 m3 .
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Esercizio 3
Un atomo di idrogeno ha massa di circa 1, 7 · 10−27 g ed un atomo di
ossigeno ha massa di circa 2, 65 · 10−26 g.
Calcolare la massa di una molecola di acqua H2 O, composta da
un atomo di ossigeno e di due di idrogeno.
Risposta: 2, 99 · 10−26 g
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Esercizio 3
Un atomo di idrogeno ha massa di circa 1, 7 · 10−27 g ed un atomo di
ossigeno ha massa di circa 2, 65 · 10−26 g.
Calcolare la massa di una molecola di acqua H2 O, composta da
un atomo di ossigeno e di due di idrogeno.
Risposta: 2, 99 · 10−26 g
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Esercizio 3
Un atomo di idrogeno ha massa di circa 1, 7 · 10−27 g ed un atomo di
ossigeno ha massa di circa 2, 65 · 10−26 g.
Calcolare la massa di una molecola di acqua H2 O, composta da
un atomo di ossigeno e di due di idrogeno.
Risposta: 2, 99 · 10−26 g
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Soluzione Esercizio 3
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 1, 7 · 10−1 · 10−26 + 2, 65 · 10−26 =
(0, 34 + 2, 65) · 10−26 = 2, 99 · 10−26 g.
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Soluzione Esercizio 3
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 1, 7 · 10−1 · 10−26 + 2, 65 · 10−26 =
(0, 34 + 2, 65) · 10−26 = 2, 99 · 10−26 g.
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Soluzione Esercizio 3
Si portano i numeri allo stesso esponente:
2 · 1, 7 · 10−1 · 10−26 + 2, 65 · 10−26 =
(0, 34 + 2, 65) · 10−26 = 2, 99 · 10−26 g.
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Percentuali
Le percentuali si usano ogni volta che si vogliono confrontare due
quantità dello stesso tipo, segnalando che una delle due è una
certa frazione dell’altra.
Una percentuale una frazione con denominatore 100 e
numeratore non necessariamente intero:
p y
p
y è il p% di x ⇔ y =
x⇔ =
.
100
x
100
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Percentuali
Le percentuali si usano ogni volta che si vogliono confrontare due
quantità dello stesso tipo, segnalando che una delle due è una
certa frazione dell’altra.
Una percentuale una frazione con denominatore 100 e
numeratore non necessariamente intero:
p y
p
y è il p% di x ⇔ y =
x⇔ =
.
100
x
100
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Percentuali
Le percentuali si usano ogni volta che si vogliono confrontare due
quantità dello stesso tipo, segnalando che una delle due è una
certa frazione dell’altra.
Una percentuale una frazione con denominatore 100 e
numeratore non necessariamente intero:
p y
p
y è il p% di x ⇔ y =
x⇔ =
.
100
x
100
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Percentuali
In particolare:
considerare una percentuale p% di una quantità x, equivale a
p
moltiplicare x per 100
.
Ricordare che:
I
I
il calcolo di una percentuale è sempre una moltiplicazione;
una percentuale è sempre la percentuale di qualcosa.
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Percentuali
In particolare:
considerare una percentuale p% di una quantità x, equivale a
p
moltiplicare x per 100
.
Ricordare che:
I
I
il calcolo di una percentuale è sempre una moltiplicazione;
una percentuale è sempre la percentuale di qualcosa.
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Percentuali
In particolare:
considerare una percentuale p% di una quantità x, equivale a
p
moltiplicare x per 100
.
Ricordare che:
I
I
il calcolo di una percentuale è sempre una moltiplicazione;
una percentuale è sempre la percentuale di qualcosa.
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Percentuali
Date le quantità x e y , per trovare quale percentuale p di x è la
quantità y basta fare:
p=
y
· 100.
x
Esempio
Uno stato ha una popolazione di 25 milioni di abitanti, dei quali
200.000 sono stranieri.
Quale è la percentuale di stranieri rispetto all’intera popolazione?
Soluzione
p=
2 · 105
8 · 105
8
·
100
=
=
= 0, 8%.
6
6
10
25 · 10
10
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Percentuali
Date le quantità x e y , per trovare quale percentuale p di x è la
quantità y basta fare:
p=
y
· 100.
x
Esempio
Uno stato ha una popolazione di 25 milioni di abitanti, dei quali
200.000 sono stranieri.
Quale è la percentuale di stranieri rispetto all’intera popolazione?
Soluzione
p=
2 · 105
8 · 105
8
·
100
=
=
= 0, 8%.
6
6
10
25 · 10
10
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Percentuali
Date le quantità x e y , per trovare quale percentuale p di x è la
quantità y basta fare:
p=
y
· 100.
x
Esempio
Uno stato ha una popolazione di 25 milioni di abitanti, dei quali
200.000 sono stranieri.
Quale è la percentuale di stranieri rispetto all’intera popolazione?
Soluzione
p=
2 · 105
8 · 105
8
·
100
=
=
= 0, 8%.
6
6
10
25 · 10
10
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Percentuale
Cosa significa:
la quantità x è aumentata o diminuita del p%?
Significa che la quantità finale y è data da:
p
p y =x+
x = 1+
x,
100
100
oppure
p
p y =x−
x = 1−
x.
100
100
Quindi x è moltiplicato per 1 +
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p
100 ,
oppure x è moltiplicato per 1 −
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p
100 .
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Cosa capita se una quantità aumenta prima del p% e poi del q%?
Si può affermare che l’aumento finale è del (p + q)%?
Perché?
Soluzione
Se una quantità x è aumentata prima del p% e poi del q%, il suo valore
finale è:
!
pq
p + q + 100
p q y = 1+
x,
1+
x = 1+
100
100
100
e
y=
p+q+
1+
100
pq
100
!
x 6=
Quindi l’aumento finale è del p + q +
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p+q
1+
x.
100
pq 100 %
e non del (p + q)%.
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Cosa capita se una quantità aumenta prima del p% e poi del q%?
Si può affermare che l’aumento finale è del (p + q)%?
Perché?
Soluzione
Se una quantità x è aumentata prima del p% e poi del q%, il suo valore
finale è:
!
pq
p + q + 100
p q y = 1+
x,
1+
x = 1+
100
100
100
e
y=
p+q+
1+
100
pq
100
!
x 6=
Quindi l’aumento finale è del p + q +
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p+q
1+
x.
100
pq 100 %
e non del (p + q)%.
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Cosa capita se una quantità aumenta prima del p% e poi del q%?
Si può affermare che l’aumento finale è del (p + q)%?
Perché?
Soluzione
Se una quantità x è aumentata prima del p% e poi del q%, il suo valore
finale è:
!
pq
p + q + 100
p q y = 1+
x,
1+
x = 1+
100
100
100
e
y=
p+q+
1+
100
pq
100
!
x 6=
Quindi l’aumento finale è del p + q +
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p+q
1+
x.
100
pq 100 %
e non del (p + q)%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Percentuali
Segue che: un aumento del p%, seguito da una diminuzione del p%,
non riporta al punto di partenza . . .
Esempio
Consideriamo un aumento del 50% seguito da una diminuzione del
50% di una quantità x. Si ha:
!
50
50 · 100
50
50
75
y = 1−
1+
x = 1−
x=
x.
100
100
100
100
Nota
Poiché l’operazione di moltiplicazione è commutativa, aumentare (o
diminuire) prima del p% e poi del q% è la stessa cosa dell’aumentare
(o diminuire) prima del q% e poi del p%.
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Esercizi
1
2
La popolazione di una città aumenta del 20% nel 2008 e poi del
30% nel 2009.
Di quanto è aumentata complessivamente la popolazione nel
biennio 2008 − 2009?
In un negozio di abbigliamento ho pagato c euro una maglietta a
cui era stato applicato uno sconto del 30%.
Quale operazione devo svolgere per ottenere il prezzo della
maglietta prima dello sconto?
A) moltiplicare il prezzo c per 100
70 ;
130
B) moltiplicare il prezzo c per 100 ;
C) sommare al prezzo c il 70% di c;
D) sommare al prezzo c il 30% di c.
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Esercizi
1
2
La popolazione di una città aumenta del 20% nel 2008 e poi del
30% nel 2009.
Di quanto è aumentata complessivamente la popolazione nel
biennio 2008 − 2009?
In un negozio di abbigliamento ho pagato c euro una maglietta a
cui era stato applicato uno sconto del 30%.
Quale operazione devo svolgere per ottenere il prezzo della
maglietta prima dello sconto?
A) moltiplicare il prezzo c per 100
70 ;
130
B) moltiplicare il prezzo c per 100 ;
C) sommare al prezzo c il 70% di c;
D) sommare al prezzo c il 30% di c.
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Esercizi
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2
La popolazione di una città aumenta del 20% nel 2008 e poi del
30% nel 2009.
Di quanto è aumentata complessivamente la popolazione nel
biennio 2008 − 2009?
In un negozio di abbigliamento ho pagato c euro una maglietta a
cui era stato applicato uno sconto del 30%.
Quale operazione devo svolgere per ottenere il prezzo della
maglietta prima dello sconto?
A) moltiplicare il prezzo c per 100
70 ;
130
B) moltiplicare il prezzo c per 100 ;
C) sommare al prezzo c il 70% di c;
D) sommare al prezzo c il 30% di c.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Soluzioni
1
Si applica la formula p + q +
biennio 2008 − 2009 è
20 + 30 +
2
pq
100
e l’aumento della popolazione nel
600
20 · 30
= 50 +
= 56%.
100
100
Se si denota con x il costo della maglietta prima dello sconto,
allora
30
70
c = 1−
x=
x,
100
100
ossia
x=
100
c.
70
La risposta è A.
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Esercizio
Una popolazione di cavie è infettata con una malattia che provoca la
morte del 4% delle cavie la prima settimana e del 6% delle cavie la
seconda settimana.
Quale percentuale delle cavie è ancora viva dopo 2 settimane?
E se fossero morte il 6% la prima settimana e il 4% la seconda
settimana?
Soluzione
Il numero delle cavie è diminuito del
976
24
24
=
= 9, 76%.
= 10 −
4+6−
100
100
100
Quindi la percentuale delle cavie ancora viva dopo due settimane è
100 − 9, 76 = 90, 24%.
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Esercizio
Una popolazione di cavie è infettata con una malattia che provoca la
morte del 4% delle cavie la prima settimana e del 6% delle cavie la
seconda settimana.
Quale percentuale delle cavie è ancora viva dopo 2 settimane?
E se fossero morte il 6% la prima settimana e il 4% la seconda
settimana?
Soluzione
Il numero delle cavie è diminuito del
24
976
24
4+6−
=
= 9, 76%.
= 10 −
100
100
100
Quindi la percentuale delle cavie ancora viva dopo due settimane è
100 − 9, 76 = 90, 24%.
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Esercizio
Una popolazione di cavie è infettata con una malattia che provoca la
morte del 4% delle cavie la prima settimana e del 6% delle cavie la
seconda settimana.
Quale percentuale delle cavie è ancora viva dopo 2 settimane?
E se fossero morte il 6% la prima settimana e il 4% la seconda
settimana?
Soluzione
Il numero delle cavie è diminuito del
24
976
24
4+6−
=
= 9, 76%.
= 10 −
100
100
100
Quindi la percentuale delle cavie ancora viva dopo due settimane è
100 − 9, 76 = 90, 24%.
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