Le geometrie non euclidee
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Le geometrie non euclidee Gattini Vittoria 2^ G a.s.2013-14 Che cos’è la geometria ? La geometria è quella parte della scienza matematica che si occupa delle forme nel piano e nello spazio e delle loro mutue relazioni. Già dal medioevo si insegnava la geometria. Geometria Geometria non euclidea Geometria iperbolica Geometria iperbolica Geometria euclidea Geometria piana Geometria solida La geometria euclidea ha caratterizzato la matematica e la fisica per oltre venti secoli. La sua validità era anche uno dei principi fondamentali della filosofia di Kant. L’opera di Euclide “Elementi “(circa 300 a. C.) è stata usata come ” bibbia matematica” e i cinque postulati di Euclide sono stati considerati alla base del metodo assiomatico. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi ad si possa prolungare indefinitamente una linea retta ogni altro punto si possa descrivere un cerchio con un centro qualsiasi e un raggio Tutti gli angoli retti siano uguali fra loro qualsiasi se una retta che interseca due altre rette forma dalla stessa parte angoli inferiori a due angoli retti, le due rette, se estese indefinitamente, si incontrano da quella parte dove gli angoli sono inferiori a due rette IL 5º POSTULATO Il V postulato è logicamente equivalente al seguente: Fissati nel piano un punto P ed una retta r, non passante per P, esiste ed è unica la retta s passante per P e parallela alla retta prefissata r Sotto questa forma il V postulato è detto :POSTULATO DELLE PARALLELE Si definiscono “Geometrie non euclidee“ quelle geometrie che, non accettando il V postulato, lo negano proponendo in alternativa i seguenti due postulati: Non esiste alcuna retta s passante per il punto P e parallela ad una retta r prefissata. Esistono almeno due rette s’ e s’’ passanti per il punto P e parallele ad una retta prefissata r. Gli enti primitivi di questa geometria sono : Il piano di Riemann Il punto di Riemann la retta di Riemann Esso è costituito da una qualunque superficie sferica Esso è costituito da una qualunque coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica Essa è costituita da una qualsiasi circonferenza massima Esempi familiari sono i meridiani e l'equatore, non lo sono i paralleli. Sulla superficie della sfera non esistono 'rette' o meglio geodetiche che non si incontrano, quindi non esistono parallele. Nella figura sono rappresentati due meridiani perpendicolari all'equatore e che si incontrano perpendicolarmente al polo Nord. Si vede che la somma degli angoli interni del triangolo curvilineo ABN è 270 . In generale la somma degli angoli interni di un triangolo di questo tipo è sempre maggiore di 180 e non è costante per tutti i triangoli. Mentre nella geometria euclidea la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180 , nella geometria ellittica la somma degli angoli interni del triangolo è variabile e dipende dalla grandezza del triangolo. Gli enti primitivi di questa geometria sono : Il piano di Klein Il punto di Klein La retta di Klein Esso è costituito dalla superficie interna ad un qualunque cerchio Esso è costituito da un qualsiasi punto interno al cerchio Essa è costituita da una qualunque corda della circonferenza In particolare, non esiste un modello che rappresenti globalmente una geometria di questo tipo. Si può prendere una superficie a forma di sella, o meglio la pseudosfera. PSEUDOSFERA Il triangolo curvilineo ABC su un pezzo di pseudosfera è il corrispondente di un triangolo rettilineo del piano euclideo, perché è composto da linee geodetiche. La somma degli angoli interni di questo triangolo è minore di 180 e dipende dalla grandezza del triangolo Le tre geometrie rispettivamente di : Euclide Reimann Bolay-lobacevskij Hanno ciascuna una loro validità e possibilità di applicazione in situazioni concrete del campo scientifico, sia teorico che tecnologico COSA SONO? Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria. FRATTALI E NATURA La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda. Frattale fiocco di neve Frattale la chiocciola Frattale bruco Frattale rosa Come funzionano gli oggetti frattali
