Variabili Casuali Variabile Casuale Una variabile casuale è una funzione a valori reali definita su uno spazio degli eventi, quindi una funzione che associa agli elementi dello spazio Ω degli eventi un numero reale Variabili Casuali Discrete Variabili Casuali Continue 1 Variabile Casuale Discreta La v.c. X è detta discreta se assume un numero finito o una infinità numerabile di valori x1, x2, ..xk La funzione che associa ai valori x1, x2, ..xk le rispettive probabilità P(X=xi), i=1,…,k si chiama distribuzione di probabilità ed è tale per cui k ∑ P( X = xi ) = 1 i =1 Variabile Casuale Continua Una v.c continua è una funzione che può assumere tutti i valori compresi in un intervallo (a,b) { } La funzione x, f ( x ) x P( X ≤ x) = ∫ −∞ f ( ⋅) ≥ 0 è detta densità di frequenza è tale per cui con f ( u ) du e ∞ ∫ f ( u ) du = 1 −∞ dove P( X ≤ x) rappresenta l’area sotto la curva f ( ⋅) fino al punto x, cioè la funzione di ripartizione. Per le variabili casuali continue P(X=x)=0, i casi possibili sono di Per le variabili casuali continue P(X=x)=0, i casi possibili sono di fatto infiniti e quindi fatto infiniti e quindi # casi favorevoli 1 P ( X = xi ) = = =0 ∞ # casi possibili 2 Esercizio: Si considerino due dadi a 3 facce e sia X la variabile casuale ‘somma dei due dadi’ • Si costruisca la variabile casuale X • Si calcolino E(X) e V(X) Ω = {(1,1)(1, 2 )(1, 3 )( 2,1)( 2, 2 )( 2, 3 )( 3,1)( 3, 2 )( 3, 3 )} 2 3 4 xi ni pi 2 3 4 5 6 1 2 3 2 1 9 1/9=0.11 2/9=0.22 3/9=0.33 2/9=0.22 1/9=0.11 1 3 4 5 4 5 6 ∑ xi pi = 2 ⋅ 0.11 + 3 ⋅ 0.22 + .... = 4 2 V ( X ) = ∑ xi2 p i − [ E ( X ) ] = E(X ) = ( ) = 2 2 ⋅ 0.11 + 3 2 ⋅ 0.22 + .... − 4 2 = 1, 33 Esperimento Bernoulliano E’ esperimento casuale che consiste in un insieme di n prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) Ad ogni singola prova si hanno solo due esiti possibili, ‘successo’ e ‘insuccesso’ ii) La probabilità p di ‘successo’ è costante iii) Le prove sono indipendenti n =1 Variabile Casuale di Bernoulli n >1 Variabile Casuale Binomiale 3 Variabile Casuale di Bernoulli Variabile casuale discreta che assume solo 2 valori 0 e 1 con probabilità rispettivamente (1-p) e p con 0<p<1 è detta variabile casuale di Bernoulli. Si scrive X ≈ Ber ( p ) Proprietà: P ( X = 1) = p; P ( X = 0) = 1− p 0 < p < 1 E ( X ) = p; V ( X ) = p (1− p) Variabile Casuale Binomiale La Variabile casuale discreta che conta il numero di successi in n prove bernoulliane dove p , 0<p <1, è la probabilità di successo nella singola prova è detta variabile casuale Binomiale. Si scrive X ≈ Bin ( n , p ) e assume tutti i valori interi da 0 a n secondo la seguente distribuzione di probabilità n n− x P ( X = x) = p x (1 − p ) x x = 0,1,..., n Proprietà: E (X ) = n p ; V ( X ) = n p (1 − p ) Ad ogni prova le condizioni sono uguali a quelle di partenza, cioè p è costante Ad ogni prova le condizioni sono uguali a quelle di partenza, cioè p è costante 4 ESEMPIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE Dato un mazzo di 52 carte, si estraggano 5 carte con rimessa e si consideri la variabile X=“n° carte di cuori” a) Che variabile è? b) Probabilità di estrarre 3 cuori? c) Probabilità di estrarre almeno 3 cuori? d) Probabilità di estrarre al più 3 cuori e) Probabilità di non estrarre cuori f) Probabilità di estrarre almeno 1 cuori ESEMPIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE a) Che variabile è? 13 X ≈ Bin n = 5, p = ⇒ X ≈ Bin ( 5, 0.25 ) 52 b) Probabilità di estrarre 3 cuori? 5 5! 3 5−3 P ( X = 3) = ( 0.25) (1 − 0.25) = 0.2530.752 = 0.088 8,8% 3!2! 3 c) Probabilità di estrarre almeno 3 cuori? P ( X = 3) + P ( X = 4) + P ( X = 5) = 5 3 2 5 4 1 5 5 0 = ( 0.25) (1 − 0.25) + ( 0.25) (1 − 0.25) + ( 0.25) (1 − 0.25) = 3 4 5 = 0.088 + 0.0146 + 0.001 = 0.1036 10,36% 5 ESEMPIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE d) Probabilità di estrarre al più 3 cuori P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) = = P ( X ≤ 3 ) = 1 − P ( X > 3 ) = 1 − P ( X = 4 ) + P ( X = 5 ) = = 1 − [ 0 .0 1 4 6 + 0 .0 0 1 ] = 0 .9 8 4 9 8 , 4 % e) Probabilità di non estrarre cuori P (X 5 0 5 = 0 ) = ( 0 . 2 5 ) (1 − 0 . 2 5 ) = 0 . 2 3 7 3 0 2 3 ,7 3 % f) Probabilità di estrarre almeno 1 cuori P = ( X = 1)+ P ( X P ( X ≥ 1) = 1 − = 2)+ P P (X < = 1 − 0 .2 3 7 3 = 0 .7 6 2 7 (X = 3)+ P (X = 4)+ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = P (X = 5)= 76,27% ESERCIZIO: VARIABILE CASUALE BINOMIALE 7 amici lanciano 2 monete ciascuno. Calcolare la probabilità che 2 di essi ottengano 2 teste. Soluzione Detta X la variabile casuale “numero di teste” si osserva che tale variabile si distribuisce secondo la legge binomiale cioè: X ≈ Bi (7; p ) essendo 7 il numero dei giocatori. Si pone ora il problema di determinare la probabilità p dell’evento “coppia di teste per un giocatore”. Anche in questo caso si tratta di una legge binomiale, quella che descrive l’esperimento casuale “numero di teste per un giocatore” ovvero Y ≈ Bi(2;0.5) essendo 2 il numero di monete lanciate da ogni giocatore ed essendo 0.5 la probabilità che ogni moneta mostri il lato con la “testa”. Quindi: p => Pr {Y = 2} = 0 .25 e quindi P r {"2 am ici o tten g o no 2 teste"} = P r { X = 2 } = 0 .3 11 46 2 6