Esercizi su v.c. Zero

Esercizi su v.c. Zero-Uno e Binomiale
1. Considerato un dado truccato in modo che la faccia testa abbia una probabilità tripla rispetto alla faccia
croce, determinare l’espressione della funzione di probabilità della v.c. X “numero di teste ottenute nel lancio
di una moneta” e determinarne valore atteso e deviazione standard.
Soluzione
Sia la probabilità di ottenere la faccia testa, per cui è la probabilità di ottenere la faccia croce. Dalla
somma
+ = 1
si ottiene
 =3/4
La funzione di probabilità di X è
x
1-x
f(x) = P(X=x) = (3/4) × (1/4)
x = 0, 1
E(X) =  = 3/4
V(X) = × = 3/4×1/4 = 3/16
3
x=
4
2. Considerato un esperimento che consiste nel lancio di un dado equilibrato si consideri la v.c. X che assume
valore 1 se si ottiene la faccia contrassegnata da 6 punti e valore 0 in caso contrario. Determinare l’espressione
della funzione di probabilità della v.c. X, il suo valore atteso e il coefficiente di variazione.
Soluzione
Sia la probabilità di ottenere la faccia contrassegnata da 6 punti.
La funzione di probabilità di X è
x
1-x
f(x) = P(X=x) = (1/6) × (5/6)
x = 0, 1
E(X) =  = 1/6
V(X) = × = 1/6×5/6 = 5/36
CV 
5 6
 5
1/ 6
3. Considerato un esperimento che consiste nel lancio di 10 dadi equilibrati si consideri la v.c. X “numero di
facce contrassegnate da 6 punti”. Si determini l’espressione della funzione di probabilità della v.c. X, il suo
valore atteso e la sua varianza. Si determini inoltre la probabilità che il numero di facce contrassegnate con 6
punti si presenti: a) mai, b) almeno una volta, c) 5 volte.
Soluzione
X ha una distribuzione Binomiale di parametri n=10 e  Quindi la sua funzione di probabilità è
x
10 x
10  1   5 
f x   P X  x       
x  0,1, ..., 10
 x  6   6 
E(X) = n = 10/6
V(X) = n×  = 10×1/6×5/6 = 50/36
Le probabilità richieste sono:
0
10
10  1   5 
a) P X  0        0.1615
 0  6   6 
0
10
10  1   5 
b) P X  1  1 - P X  0  1        0.8385
 0  6   6 
5
5
10  1   5 
c) P X  5        0.0130
 5  6   6 
4. Sapendo che il 20% degli articoli prodotti da un macchinario risulta difettoso, determinare la probabilità che
estraendo in modo casuale 4 articoli se ne ottengano: a) 1 difettoso; b) 4 difettosi; c) al massimo due difettosi.
Estraendo in modo casuale 500 elementi, determinare il valore atteso e la varianza della della distribuzione del
numero di pezzi difettosi.
Soluzione
Indicata con X la v.c. “numero di articoli difettosi”, le probabilità richieste sono:
 4
1
3
a) P X  1   0.2 0.8  0.4096
1
 
 4
4
0
b) P X  4   0.2 0.8  0.0016
4
 
 4
2
2
c) P X  2  P X  0  P X  1  P X  2  0.8 4  0.4096   0.2 0.8  0.9728
 2
Per n = 500 la media e la varianza della v.c. X sono uguali a
E(X) = 500×0.2 = 100
V(X) = 500×0.2×0.8 = 80
5. Considerato un test composto da 10 quesiti con 5 modalità di risposta, di cui solo una corretta, determinare
la probabilità che, rispondendo in modo casuale, si risponda correttamente ad almeno 4 quesiti.
Soluzione
Indicata con X la v.c. “numero di quesiti corretti”, la sua distribuzione è una Binomiale di parametri n=10 e
=0.2 per cui
10 

10 
10 
10 
P X  4  1  P X  3  1   0.20 0.810   0.21 0.89   0.22 0.88   0.23 0.87   0.1209
1 
2
3
 0 

6. Considerata una v.c. X che si distribuisce come una Binomiale di media 1.25 e varianza 1.21875, si determini
il valore dei suoi parametri e si calcoli la probabilità che X risulti: a) uguale a zero; b) minore di 3.
Soluzione
Dal sistema
n  1.25

n 1     1.21875
si ottengono le soluzioni n=50 e =0.025.
Le probabilità richieste risultano
 50 
0
50
a) P X  0   0.025  0.975   0.2820
0
b) P X  3  P X  0  P X  1  P X  2  0.2820  0.3615  0.2271 = 0.8706