NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA Le potenze

NOTAZIONE SCIENTIFICA E ORDINE DI GRANDEZZA
Le potenze sono utili quando si ha a che fare con numeri molto grandi o molto piccoli.
Facciamo degli esempi per capire a cosa serve e come funziona la notazione scientifica:
→ la distanza che la luce percorre in un secondo è di 300.000.000 m, cioè trecento
milioni di metri;
→ la distanza che la luce percorre in un anno è di 9.500.000.000.000.000 m, cioè nove
milioni e cinquecentomila miliardi di metri;
→ la massa del pianeta Terra è di 5.972.000.000.000.000.000.000.000 kg, cioè 5 milioni
e novecentosettantaduemila miliardi di miliardi di kg.
Si tratta di numeri davvero grandi e scomodi da scrivere, soprattutto per chi deve usarli
tante volte ogni giorno come nel caso di un matematico, un astrofisico, un ingegnere
spaziale. Ecco quindi la necessità di inventare una scrittura più furba e veloce!
Come vedremo meglio nei prossimi anni, questa notazione sarà molto utile per rendere
davvero più veloci le operazioni tra i numeri molto grandi o molto piccoli.
L'idea di base della notazione scientifica è quella di scomporre i numeri nel prodotto di
due fattori: il primo fattore è un numero decimale maggiore di 1 e minore di 10 e il
secondo fattore è una potenza del 10.
Mettiamoci al lavoro e vediamo come funziona:
→ il numero 300.000.000 può essere scomposto nel prodotto 3 x 100.000.000.
Usando le potenze possiamo scrivere il numero 100.000.000 come 10 8 .
Ed ecco fatto, abbiamo trasformato il numero in notazione scientifica!
Numero
→ scomposizione → notazione scientifica
300.000.000
= 3 x 100.000.000 = 3 x 108
Operiamo nello stesso modo per gli altri due esempi, ma facciamo attenzione!
Il primo fattore deve essere un numero decimale maggiore di 1 e minore di 10!
→ Se il numero da trasformare ha più di una cifra diversa da zero dobbiamo prendere
la prima cifra a sinistra come la parte intera e le altre come cifre decimali separate con
una virgola. Per capire quanti zeri avrà la potenza del 10 devo contare quante volte
devo spostare la virgola per ottenere il numero da trasformare
Numero
9.500.000.000.000.000
→ scomposizione
→ notazione scientifica
= 9,5 x 1.000.000.000.000.000
= 9,5 x 10 15
5.972.000.000.000.000.000.000.000 = 5,972 x 1.000.000.000.000.000.000.000.000
= 5,972 x 10 24
La notazione scientifica è utile anche per determinare l'ordine di grandezza di un
numero, cioè per stabilire quale è la potenza del 10 più vicina. Facciamo un esempio:
→ Il numero 80.000 in notazione scientifica è 8 x 104 quindi le due potenze del 10 più
vicine sono 104 (10.000) e 105 (100.000). 104 è la potenza precedente, minore di 80.000,
e 105 è la potenza successiva, maggiore di 80.000.
In linguaggio matematico scriviamo che : 104 < 8 x 104 < 105 .
Quale di queste due potenze è l'ordine di grandezza, cioè la potenza più vicina?
Per trovare la risposta possiamo ragionare con la retta dei numeri.
Usiamo una unità di misura comoda e rappresentiamo i numeri compresi tra 104 e 105
u = 10000
0
10000
20000
30000
Ordine 104
40000
50000
60000 70000
80000
Ordine 105
90000 100000
La freccia indica la
posizione del numero
80.000 ed è chiaro dal
grafico che il numero è
più vicino a 100.000 che
a 10.000.
Quindi l'ordine di
grandezza è 100.000
cioè 105.
Nel grafico è inserita una linea tratteggiata che corrisponde alla metà della distanza tra
10.000 e 100.000 cioè 50.000. I numeri che sono oltre la metà saranno più vicini a 10 5
mentre quelli entro la metà saranno più vicini a 104. Quindi ad esempio l'ordine di
grandezza di 30.000 è 104 .
Questo ragionamento non è valido solo per questi numeri ma possiamo ripeterlo nello
stesso modo per qualsiasi altro numero. Così abbiamo capito che:
→ per stabilire qual è l'ordine di grandezza basta scrivere il numero in notazione
scientifica e guardare il fattore che moltiplica la potenza del 10: se è maggiore o uguale
a 5 scegliamo come ordine di grandezza la potenza successiva; se è minore di 5
scegliamo come ordine di grandezza la potenza precedente.
Alleniamoci con altri esempi:
1) 370.000.000 = 3,7 x 100.000.000 = 3,7 x 10 8
→ 108 < 3,7 x 108 < 109
3,7 < 5 → ordine di grandezza è 10 8
2) 770.000.000 = 7,7 x 100.000.000 = 7,7 x 10 8
→ 108 < 7,7 x 108 < 109
7,7 > 5 → ordine di grandezza è 109
3) 125.000.000.000 = 1,25 x 100.000.000.000 = 1,25 x 10 11 → 1011 < 1,25 x 1011 < 1012
1,25 < 5 → ordine di grandezza è 1011