Capitolo 4 - Ateneonline

Statistica 2/ed - Stefano M. Iacus
Copyright © 2010 - The McGraw-Hill Companies srl
Soluzioni Esercizi Capitolo 4 - online
Esercizio 4.2: L’intervallo di confidenza per il tempo medio di investimento µ è della
forma
σ
µ ∈ x̄n ± z1− α2 √
.
n
Quindi, per α = 0.05, abbiamo z0.975 = 1.96 che implica
3
µ ∈ 13 ± 1.96 √
= (11.48; 14.52)
15
Esercizio 4.3: a) L’intervallo di confidenza per p è della forma
!
r
p̂n (1 − p̂n )
.
p ∈ p̂n ± z1− α2
n
Per α = 0.01 abbiamo z0.995 = 2.57, quindi
!
r
0.75 · 0.25
p ∈ 0.75 ± 2.57
1000
ovvero
p ∈ (0.7148; 0.7852)
b) Si tratta di uno schema di Bernoulli in cui X assume valore 1 se la persona non possiede un cellulare e 0 viceversa. Se consideriamo l’estrazione di
n = 8 persone e ci chiediamo quante di queste sono “successi”, la risposta
la otteniamo tramite la variabile Binomiale Y ∼ Bin(n = 8, p = 0.30).
Non ci resta che calcolare P (Y = 4)
8
P (Y = 4) =
0.34 0.74 = 0.1361.
4
Esercizio 4.5: La proporzione campionaria di pasticche contenenti più di 500mg di prin8
cipio attivo è p̂n = 40
= 0.2.
a) Tenendo conto che il quantile di interesse è z0.975 = 1.96 e ricordando
che per la proporzione l’intervallo di confidenza è della forma
p
p̂n ± z0.975 p̂n · (1 − p̂n )/n
si ha p ∈ (0.076, 0.324).
b) Poiché 0.05 è un valore esterno all’intervallo di confidenza rifiutiamo
l’ipotesi nulla che la vera percentuale sia 0.05. Avremmo anche potuto
impostare una verifica d’ipotesi del test
H1 : p 6= p0
H0 : p = p0
Utilizzando la statistica
p̂n − p0
z=q
p0 (1−p0 )
n
1
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2
si ha |z| = 4.35 > 1.96 da cui si rifiuta H0 .
Esercizio 4.6: L’intervallo di confidenza per il tempo di attesa µ è della forma
(n−1) s̄n
µ ∈ x̄n ± t1− α √
2
n
(19)
quindi, per α = 0.01 abbiamo t0.995 = 2.86
3
= (8.081, 11.918)
µ ∈ 10 ± 2.86 √
20
b) si tratta di un test di ipotesi del tipo H0 : µ = µ0 = 8 contro H1 : µ > µ0 .
(n−1)
Tale test rifuta H0 quando t > t1−α con
t=
(n−1)
x̄n − µ0
10 − 8
√ = √ = 2.98
s̄n / n
3/ 20
(19)
essendo t1−α = t1−0.05 = 1.73 si rifiuta l’ipotesi nulla e quindi si propende
per aumento del tempo di attesa.
Esercizio 4.7: a) In un test d’ipotesi sulla media di questo tipo, nel caso in cui la varianza
(n−1)
non sia nota, si rifiuta H0 quando t < tα
con
t=
(n−1)
b) essendo tα
(19)
x̄n − µ0
√
s̄n / n
(19)
= t0.01 = −t0.99 = −2.53 si ha:
t=
200 − 180
(19)
= 4.7 > t0.01 = −2.53
18.7/4.47
quindi, non si rifiuta l’ipotesi H0 .
Esercizio 4.8: a) L’intervallo di confidenza per p è della forma
!
r
p̂n (1 − p̂n )
p ∈ p̂n ± z1− α2
n
quindi, per α = 0.01 abbiamo z0.995 = 2.57
!
r
0.05 · 0.95
p ∈ 0.05 ± 2.57
100
b) si tratta di uno schema di Bernoulli in cui X assume valore 1 se la
persona fa uso del servizio di spesa on-line e 0 viceversa, quindi se consideriamo l’estrazione di n = 5 persone e ci chiediamo quante di queste
sono “successi”, la risposta la otteniamo tramite la variabile Binomiale
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Y ∼ Bin(n = 5, p = 0.05). Non ci resta che calcolare P (Y ≥ 3)
P (Y ≥ 3) = 1 − P (Y < 3) = 1 − {P (Y = 0) + P (Y = 1) + P (Y = 2)}
5
P (Y = 0) =
· 0.050 · 0.955 = 0.773
0
5
P (Y = 1) =
· 0.051 · 0.954 = 0.204
1
5
P (Y = 2) =
· 0.052 · 0.953 = 0.021
2
Dunque
P (Y ≥ 3) = 1 − (0.773 + 0.204 + 0.021) = 0.002
Esercizio 4.9: a) Calcoliamo la statistica test per verificare l’ipotesi H0 : p = p0 contro
H1 : p > p0 dove p0 = 0.2
p̂ − p0
0.30 − 0.2
z=q
= q
= 2.5
p0 (1−p0 )
n
0.2·0.8
100
Poiché il test rifiuta se z > z1−α = z0.95 = 1.65 essendo 2.5 > 1.65 si rifiuta
l’ipotesi nulla.
b) In questo test il p-valure risulta pari a
p − value = P (Z > z) = P (Z > 2.5) = 1 − P (Z < 2.5) = 1 − 0.9938 = 0.0062