Statistiche quantiche e quaternioni - Digilander

Unificazione delle statistiche quantistiche ?
È possibile con l’uso dei quaternioni usare un artificio matematico, che potrebbe mettere in
evidenza il fatto che le statistiche quantistiche possano essere casi particolari di una sola statistica
quaternionica oppure di due parastatistiche quaternioniche visto che gli spin dei fermioni e dei
bosoni sono gli uni seminteri e gli altri interi e quindi non facilmente riconducibili gli uni agli altri.
Vediamo come si può realizzare questo:
1
e
1
E−
KT
1
e
E−
KT
−1
queste sono le differenze tra le due statistiche il segno più o meno sotto la frazione nel primo caso
abbiamo la statistica di Fermi-Dirac, nel secondo quella di Bose-Einstein come convertire l’una
nell’altra? Si può usare la cosiddetta continuazione analitica, ma invece che nel campo complesso
nel campo quaternionico vediamo come:
1
E−
e
w pc
KT
1

Essendo p il modulo dell’impulso e w un vettore di Hamilton di modulo uno cioè con le coordinate
tali che:
w= w 1 i w 2 j w 3 k
e
w12 w 22 w 23= 1
e al solito i versori di Hamilton le proprietà:
i 2= j 2= k 2= i j k= − 1
Ora se poniamo pc/KT = 2n+1), cioè se il modulo dell’impulso moltiplicato la velocità della luce
diviso KT è un multiplo dispari di  allora si ha che nel caso fermionico :
1
e
E−
KT
w
=
1 −e
1
E−
KT
−1
=
1
e
E−
KT
−1
Analogamente per il caso bosonico:
1
e
E−
KT
w
=
−1 −e
1
E−
KT
−1
=
−1
e
E−
KT
1
w
w sin
valendo infatti, anche per i quaternioni la formula di Eulero: e = cos
infatti
il coseno a è uguale a - 1 e il seno uguale a zero, modulo 2. Come si vede la possibilità di
estendere la dipendenza delle statistiche anche dall’impulso porterebbe a statistiche quaternioniche
di cui le statistiche di Fermi-Dirac e Bose-Einstein, sarebbero casi particolari per p=> 0 o per pc/KT
≈ con circa zero. Se la variabile pc/KT è zero la statistica quaternionica approssima quelle già
conosciute se sta intorno a può sembrare  che la statistiche possa flippino l'una nell’ altra
pagando però il segno –. Questo, se viene messo a numeratore, potrebbe complicare la formula che
oltre a flippare di statistica, potrebbe flippare da particella ad antiparticella, visto che a numeratore
sono presenti nuovamente la variabile p magari in forma di differenziale, e valori di p negativi
possono convertire una particella nella sua antiparticella. Tralasciando per adesso questa non facile
questione, si capisce che ad ogni giro, cioè ogni volta che pc/KT=2avremo un flip di segno e di
statistica (ogni ritorna la statistica originaria) a seconda di quale statistica sopravvive avremo
dei comportamenti diversissimi. Una possibilità potrebbe essere quella di spiegare il motivo
dell’esistenza dei superconduttori e soprattutto dei diversi tipi di superconduttori, infatti se partiamo
da dei fermioni come gli elettroni, questi dopo il primo flip, diverrebbero “bosoni” (mettiamo le
virgolette perché c'è il problema del segno meno a numeratore) e potrebbero condensare e questo
senza bisogno di introdurre il concetto di coppia di Cooper come attualmente si fa, nel secondo flip
ridiverrebbero Fermioni, e la conduzione ridiverrebbe normale, nel terzo flip di nuovo avremmo
super conduzione e così via. Ovviamente la cosa andrebbe studiata sia teoricamente che
sperimentalmente in maniera approfondita in ogni caso la variabile pc/KT = 2n+1) sarebbe la
variabile dominante di questo fenomeno e siccome dipende dall’impulso e dalla temperatura si
avrebbero due variabili che possono contrastarsi a vicenda infatti se per p fissato T è grande, la fase
quaternionica diventa quasi nulla o meglio l’esponente diventa nullo, la fase si approssima ad uno e
quindi il flip di statistica non avviene o meglio la statistica quaternionica può essere bene
approssimata da quelle reali, se invece a p fissato T diventa 0, i flip di statistica possono avvenire
più di una volta in quanto il denominatore può far esplodere la frazione pc/KT, ovviamente cose
analoghe possono succedere a p variabile e T fissato, per p=0 la fase quaternionica sparisce o
meglio è uguale ad uno, per p diverso da zero esso vale p = 2n+1)KT/c a seconda del suo valore
possiamo avere flip di statistica, oppure no. Queste possibilità di spiegare proprietà esotiche della
materia, certo potrebbero essere epocali, per esempio i flip di statistica oltre a spiegare la
superconduzione potrebbero aprire nuove problematiche anche nel modello solare, a seconda infatti
delle velocità delle particelle esse potrebbero condensare o meno e quindi la fusione potrebbe essere
facilitata da flip di Statistica quantica. La cosa che più sconcerta, non è tanto la spiegazione della
superconduzione senza Coppie di Cooper e teoria BCS, quanto piuttosto la fermionizzazione dei
Bosoni, quindi la possibilità di un fenomeno opposto a quello della bosonizzazione se così si può
dire che avviene nella superconduzione, se vi fossero quindi condizioni di condensazione di BoseEinstein e le condizioni fisiche cambiassero potrebbe succedere che un condensato finirebbe per
disperdersi e si avrebbero condizioni tipiche della fisica fermionica tipo una incomprimibilità del
condensato e quindi una sorta di principio di Esclusione di Pauli per spin interi