DINAMICA

DINAMICA - FORZE E ATTRITO
1 Un treno viaggia con accelerazione costante in modulo pari ad a.
a. In uno dei vagoni, una massa m pende dal soffitto attaccata ad una corda. Trovare l’angolo tra la corda e la
verticale, e la tensione della corda in funzione di m, a e g.
b. Nel caso in cui al corpo sia attaccata invece ad una molla, di costante elastica k = 25 N/m, si determini
l’allungamento della molla rispetto alla posizione di equilibrio.
c. Si risolva numericamente nel caso in cui a = 0.3 g m = 1 Kg.
d. Si determini il lavoro compiuto dalla fune quando il corpo si sposta di d=50m
2
a. Due corpi di massa m1 e m2 sono appesi agli estremi della corda di una
carrucola senza attrito. Determinare l’accelerazione delle masse e la
tensione della corda.
b. Nel caso dei sistemi di carrucole indicate nelle figure, si determini
l’accelerazione della massa m1 in funzione delle altre.
3
Una persona si trova su una piattaforma orizzontale collegata al soffitto tramite una
carrucola come schematizzato in figura. La massa della piattaforma, della persona, e
della carrucola sono rispettivamente M, m e µ. La massa della corda è trascurabile.
La persona tira la corda in modo tale che il sistema si muove con un’accelerazione di
modulo a e rivolta verso l’alto. Determinare in funzione di a:
a. la tensione T della corda;
b. la reazione vincolare N tra la piattaforma e la persona;
c. la tensione R dell’asta che collega la carrucola alla piattaforma.
4
Un corpo di massa m = 1 kg, inizialmente fermo, è soggetto all’azione di
una forza di direzione costante, ma intensità variabile nel tempo come
indicato in figura.
a. Si tracci il grafico di velocità e posizione in funzione del tempo.
Si calcolino poi:
b. l’accelerazione massima del corpo;
c. la velocità massima raggiunta e la velocità al tempo t = 40 s;
d. il lavoro compiuto dalla forza nell’intervallo di tempo [0,20]s;
e. la potenza sviluppata in funzione del tempo.
5 Una massa M = 1 kg è ferma appoggiata su un piano orizzontale scabro con coefficiente di attrito statico µS
= 0.2 e coefficiente di attrito dinamico µD = 0.1. Una massa m = 400 g collegata al corpo M mediante un filo
ideale. Inizialmente, il filo forma un angolo θ con la verticale ed il corpo m è mantenuto in quiete da un secondo
filo orizzontale, ancorato ad un muro. Ad un certo istante, il filo orizzontale viene tagliato.
a) Qual è il minimo valore di θ (lo chiamiamo θ 0) per il quale il corpo M non si muove subito dopo il taglio del
filo?
r
Nel caso in cui θ = 1.1 θ 0 determinare la forza di attrito statico Fas agente su M.
6 Un corpo viene messo in moto con velocità iniziale v0 = 10m/s su un piano inclinato di pendenza θ = 20
rispetto al piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico tra corpo e piano è pari a µD = 0.2. Si trovi
a. per quanto tempo tup il corpo scorre sul piano prima di fermarsi;
b. la distanza percorsa in questo primo tratto;
c. 1- il lavoro compiuto dalla forza di attrito e 2- il lavoro compiuto dalla forza peso sul corpo durante la salita
d. quanto tempo tdown impiega a tornare al punto di partenza.
o
7 Esercizio 2.21 pag 329
o
Due corpi di masse m1 = 0.48 kg e m2 = 0.76 kg, collegati da un filo, scendono lungo un piano inclinato (θ = 16 ).
Tra m1 e il piano non c’è attrito mentre tra m2 e il piano c’è attrito. Calcolare quale valore deve avere il
coefficiente di attrito µ affinché il moto sia uniforme.
NB per la figura si veda il libro di testo
8 Un corpo di massa m viene tenuto fermo su un piano, di massa M, inclinato di un angolo θ rispetto
all’orizzontale. Il piano inclinato può scivolare sul pavimento. Sul sistema non agisce alcuna forza di attrito. Ad
un certo istante, il corpo m viene lasciato libero di muoversi.
Calcolare l’accelerazione orizzontale Ax del piano inclinato.
9 Una corda omogenea di lunghezza totale pari a l, giace parzialmente su un piano orizzontale, con una parte
di lunghezza l1 che sborda (e quindi pende verticalmente). Sia µs il coefficiente di attrito statico. Quanto può
valere al massimo l1 perchè la corda non scivoli giù dal piano? Qual è il valore della forza di attrito statico agente
sulla corda quando la lunghezza del tratto di corda che sborda è pari a 1/3 l1?
10 Si esegue un esperimento per determinare il valore dell’accelerazione gravitazionale g in prossimità della
superficie terrestre tramite una “macchina di Atwood”.
Due corpi di ugual massa M sono appesi in equilibrio ai capi di una corda disposta lungo una
carrucola priva di attrito (si veda la figura). La massa della carrucola e della corda sia trascurabile.
Una massa m = 0.01M viene appoggiata su una delle due masse M. Il sistema si mette in
movimento e dopo che le masse M hanno percorso uno spazio h = 1m la massa m viene rimossa.
Il sistema continua a muoversi, e in 1 secondo le due masse percorrono una distanza pari a
0.312m.
a. Trovare il modulo g dell’accelerazione di gravità.
b. Disegnare il grafico di velocità e spazio percorso dalle masse M, a partire dal momento in cui la
massa m rompe l’equilibrio del sistema e per un intervallo di tempo pari a 3 s.
11
Due masse A (mA = 15kg) e B (mB = 5kg) sono disposte come in figura e i coefficienti
di attrito tra A e il piano sono µS = 0.3 e µD = 0.2.
a. Trovare il valore minimo mC,min della massa di C per impedire il moto di A.
b. Calcolare la forza di attrito statico
r
Fas agente su A quando la massa di C vale mC=1.5mC,min
c. Calcolare il modulo dell’accelerazione del sistema quando C viene tolto.
12 Due masse m1 ed m2 giacciono sui due lati di un piano inclinato e sono collegate
da unaocorda che passa
o
sopra una carrucola senza attrito. Gli angoli di inclinazione del piano sono θ1 = 53 e θ2 = 37 rispetto al piano
orizzontale.
Se il piano è liscio,
a. quale valore deve avere il rapporto tra le due masse, m2/m1 in modo tale che il sistema sia stazionario?
b. Quanto vale il modulo T della tensione della corda? (in funzione di m1 ed m2.)
Se il piano è ruvido, e m1 = m2. quanto deve valere µD in modo tale che i due corpi si muovano con
velocità costante?
DINAMICA - ATTRITO “MOTORE”
13 Esercizio 5.7 MNV Elementi
Un corpo di massa mA = 2 kg è posto su un carrello che può scorrere sul piano orizzontale, ad una distanza
d=1m dal bordo destro. La massa del carrello è mB = 8 kg. Il carrello viene messo in moto tramite una forza di
modulo F = 30 N applicata orizzontalmente (vedi figura). Il coefficiente di attrito tra il corpo ed il carrello è µd=0.2.
Calcolare quanto tempo impiega il corpo a toccare la parete del carrello.
14 Esercizio 3 - Scritto del 14 febbraio 2011 - Molto simile a Esercizio 2.9 pag 327
Un corpo di massa m = 2 kg è appoggiato ad un altro corpo di
massa M = 3 kg fermo su un piano liscio. La massa M attaccata
ad una molla di costante elastica k = 100 N/m attaccata ad un
muro.
a. Sia µS = 0.15 il coefficiente di attrito statico tra le due masse.
Determinare la compressione massima ΔLmax della molla tale
che il corpo m non scivoli rispetto ad M quando la molla viene
lasciata libera di oscillare.
r
b. Qual è la forza di attrito statico
ΔL=1/4ΔLmax?
Fas agente su M quando
15
Due blocchetti di massa m1 = 1kg e m2 = 2kg sono sovrapposti ed appoggiati
su un piano inclinato di φ = 20°. Il coefficiente di attrito dinamico tra il
blocchetto inferiore e il piano vale µd=0.1; il coefficiente statico tra i blocchetti
vale µS=0.5.
a. Al blocchetto inferiore viene applicata una forza F = 15N parallela al piano,
e si constata che i blocchi si muovono insieme. Calcolare l’accelerazione dei
due blocchetti e la forza di attrito statico agente su m2.
b. Calcolare la massima forza che si può applicare, parallelamente al piano, al blocchetto inferiore senza che il
blocco superiore scivoli all’indietro.
16 Esercizio 2 - Scritto del 22 novembre 2013
Un libro di massa M=2 kg lungo h=30 cm giace su un tavolo appoggiato sopra un foglio di cartoncino di massa m
= 0.01M, come rappresentato in figura. I coefficienti di attrito, uguali fra tutte le superfici, sono µS= 0.15 e
µD=0.10. Sul foglio di carta viene applicata una forza orizzontale F (si veda la figura).
a. Qual è il valore minimo di F (la chiamiamo F1) in grado di causare un moto dei due corpi?
b. Qual è il valore minimo di F (la chiamiamo F2) in grado di estrarre il cartoncino da sotto il libro?
Sia t0 = 0 l’istante in cui una forza F = 2F2 inizia ad agire sul sistema.
c. Determinare l'istante t1 in cui il cartoncino è completamente estratto da sotto libro.
d. Si tracci il grafico della posizione del bordo sinistro di m ed M nell’intervallo [0, t1] nel sistema di riferimento
indicato in figura.
DINAMICA - MOLLE
17 Esercizio 2.6 MNV pag 327
Un punto materiale di massa m è sospeso tramite un filo verticale ed è collegato al suolo da una molla di
costante elastica k = 70 N/m, che è in condizione di riposo; la tensione del filo è T = 4.9 N.
Si taglia il filo. Calcolare:
1) la massima distanza percorsa dal punto;
2) la posizione in cui la velocità del punto è massima;
3) il valore massimo della velocità.
18 Un uomo scivola lungo un piano inclinato liscio, che forma un angolo θ= 30° con il piano orizzontale.
L’uomo tiene in mano una bilancia a molla con il piatto mantenuto orizzontale, su cui poggia un corpo di massa
m = 3 kg, fermo rispetto al piatto della bilancia.
Calcolare il valore letto sulla bilancia.
19 Esercizio 3 - Scritto del 3 dicembre 2010
Un corpo di massa m = 2.0 kg viene spinto contro una molla di massa trascurabile e costante elastica k=400N/m
comprimendola di Δx= −0.22 m. Quando il corpo viene lasciato, si muove lungo un piano orizzontale senza
o
attrito lungo d=1.1 m e poi lungo un piano inclinato di un angolo θ = 37.0 .
a. Qual è il lavoro compiuto dalla forza elastica su m dall'istante del rilascio a quello in cui la molla torna alla
posizione di equilibrio?
b. Con quale velocità il corpo arriva alla base del piano inclinato?
c. Se il piano inclinato è privo di attrito, quale distanza massima percorre il corpo lungo il piano inclinato?
d. Si ripete l’esperimento nelle stesse condizioni, salvo che il piano inclinato è scabro. Si constata che il corpo si
ferma a 1/2 della distanza determinata al punto b.: trovare il coefficiente di attrito dinamico del piano in questo
caso.
20 Esercizio 2.8 MNV pag 329
Due punti di masse m1 = 1.5 kg e m2 = 1.8 kg sono collegati da una molla di costante elastica k = 50 N/m; la
molla è a riposo.
Supponendo che il coefficiente di attrito statico tra m1 e il piano di appoggio sia µ1 = 0.4 e che l’analogo per m2
sia µ2=0.3, calcolare l'allungamento massimo Δxmax della molla perchè il sistema sia in equilibrio statico.
Calcolare la forza di attrito statico agente su m1 quando Δx =0.1 Δxmax
21 Esercizio 2.23 MNV pag 329
Un punto materiale di massa m = 0.02 kg scende lungo un piano inclinato liscio. Alla fine del piano inclinato
scorre su un tratto orizzontale scabro (µ = 0.1) andando ad urtare una molla, di massa trascurabile, fissata ad un
vincolo verticale. La molla ha una lunghezza a riposo l0 = 10 cm e una costante elastica k = 2 N/m. La distanza
tra la fine del piano inclinato e il vincolo è d = 40 cm.
Se il punto all’istante iniziale è fermo, determinare l’altezza h da cui deve scendere affinché, dopo aver urtato la
molla, possa toccare la parete del vincolo.
Si determinino inoltre il lavoro compiuto dalla forza peso su m durante la discesa dal piano inclinato e il lavoro
compiuto dalla forza elastica su m durante la compressione della molla.
DINAMICA - VINCOLI CURVILINEI
22 Una massa m compie un moto circolare di raggio R su un piano orizzontale privo di attrito, connessa,
tramite una corda inestensibile e di massa trascurabile che passa attraverso un buco al centro del tavolo, ad una
seconda massa M sospesa e ferma all’altro capo della corda. Determinare
a. la tensione della corda;
b. il periodo del moto circolare.
23 Un punto materiale scivola lungo un emisfero liscio partendo da fermo sulla sommità.
A quale angolo avviene il distacco?
24 Esercizio 2.40 MNV pag 331 (v. disegno sul testo)
Un blocco di massa m = 0.3 kg si trova alla sommità di una guida circolare di raggio R = 2.2 m. Nell’istante t = 0 il
blocco ha velocità v0 = 5.8 m/s e comincia a scendere lungo la guida, a cui è vincolato. Nella prima metà la guida
oppone al moto una forza tangenziale di attrito con modulo costante F = 3.1 N, nella seconda metà la guida è liscia.
Calcolare la reazione della guida nell’istante in cui il blocco passa nella posizione individuata dall’angolo
o
θ = 30 .
25 Un corpo di massa m = 1kg è attaccato all’estremo di una corda lunga r=1m. L'altro estremo della corda è
fissato al muro e m è fatto ruotare verticalmente a velocità costante (per effetto di un'ulteriore forza tangenziale).
a. A quale velocità è necessario far ruotare la corda per mantenerla sempre tesa?
b. Assumendo che all'istante t1=2s il corpo si trovi in posizione angolare θ1=4°, si determini l'istante nel quale il
corpo passa per la posizione angolare θ2=130°.
c. La corda si rompe quando la massa si trova nel punto più basso della sua traiettoria: in quale direzione e con
quale velocità il corpo inizia a muoversi?
26 Esercizio 2- Compitino del 30 novembre 2009
Una biglia di massa m e dimensioni trascurabili si muove senza attrito in un piano
verticale all’interno di un anello di raggio R = 130 cm. La sua velocità nel punto più
basso è v0.
a. Determinare il minimo valore della velocità, vm, affinchè la biglia sia in grado di
compiere un giro completo senza perdere contatto con la superficie interna
dell’anello.
b. Supponendo ora che v0 = 0.775 vm, la biglia si stacca dall’anello nel punto P.
Calcolare la posizione angolare θ alla quale avviene il distacco. Commentare la
soluzione algebrica trovata
27 Esercizio 2.37 MNV pag 330
Un pendolo semplice di lunghezza L viene abbandonato con velocità nulla da una posizione che forma un
angolo θ0 rispetto alla verticale. Quando passa per la posizione di equilibrio statico (corrispondente a θ = 0) il filo
urta un piolo distante h dal punto di sospensione.
a. Dimostrare che la massa raggiunge la stessa altezza che avrebbe raggiunto in assenza del piolo;
b. calcolare l’angolo Φ0 che il filo forma con la verticale in questo punto di massimo. Discutere gli estremi di
validità della soluzione.
28 Esercizio 2.31 MNV pag 330
Due punti materiali, di masse m1 = 8.4 kg e m2 = 10 kg sono collegati tra loro come in figura (cfr il libro di testo)
con d1 = 0.21 m e d2 = 0.16 m. Il sistema, che sta in un piano orizzontale, ruota con velocità angolare costante
ω= 3 rad/s attorno al punto O. Calcolare le tensioni dei fili.
Assumendo ora che all'istante t1=4s i corpi si trovino in posizione angolare θ1=16°, si determini la posizione
angolare dei corpi all'istante t2=15s
29 Prova intermedia del 03.12.2010, Esercizio n. 2
Un punto materiale di massa m è connesso ad un asse verticale in rotazione
tramite due corde inestensibili e di massa trascurabile di lunghezza l1 = l2 = 0.9 m
o
(si veda la figura). L’angolo formato dalle corde con l’asse di rotazione `e θ = 40 .
L’asse di rotazione e il punto materiale ruotano entrambi con velocità angolare ω =
12 rad/s. La quota della massa m non varia durante il moto .
Trovare il modulo delle tensioni T1 e T2 delle corde in funzione di m.
Per risolvere il problema ricordarsi di disegnare chiaramente tutte le forze che
agiscono sulla massa m.
ESERCIZI AGGIUNTIVI
30.
31.
inclinata
Sol: LTOT=0, Lf=30.1J, La=-30.1J, µd=0.225
32.
Sol: A deve soddisfare: A2cos2ϑ-Agsen(ϑ)cos(ϑ)-2gh/τ2=0
33.
μ