percorso semplificato geometria 3 media

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Unità
1
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Pagina 118
LA GEOMETRIA 3
Lunghezza della
circonferenza
e area del cerchio
■ Misura della circonferenza
Il rapporto fra la misura c di una circonferenza e la misura d del suo dia- 왘 circonferenza
circumference
metro è costante ed è uguale a π (si legge pi greco).
La misura di una circonferenza si ottiene moltiplicando la misura del diametro
per π.
circonférence
circunferencia
Ricorda: π = 3,14 è approssimato per difetto a meno di 1 .
100
c = d π,
da cui:
d= c.
π
왘 diametro
diameter
diamètre
diámetro
Per esempio, data una circonferenza di diametro d = 15 cm, per calcolare la
lunghezza della circonferenza procedi così:
c = d π = 15 π cm (47,1 cm).
Poiché il diametro è il doppio del raggio, cioè d = 2r, si ha:
c = 2 π r,
r= c .
2π
da cui:
왘 pi greco
pi
pi
pi griega
Per esempio, calcola il raggio di una circonferenza c = 24 π cm.
Ottieni:
r=
118
c
24 π
=
= 12 cm.
2π
2π
왘 raggio
radius
rayon
radio
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L un g h e z z a d e l l a c i r c o n
del c erc h i o
a
e
r
a
e
a
ferenz
1
■ Area del cerchio
L’area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato della misura del suo 왘 cerchio
circle
raggio per π:
cercle
círculo
= π r2
da cui:
r=
π
.
Per esempio, calcola il raggio di un cerchio avente l’area = 225 π cm2.
Ottieni:
r=
225 π
=
= 15 cm.
π
π
■ Area della corona circolare
L’area di una corona circolare si ottiene sottraendo all’area del cerchio 왘 corona
circolare
maggiore l’area del cerchio minore.
raggio del cerchio minore
raggio del cerchio maggiore
annulus
couronne circulaire
corona circular
corona circolare = π R 2 – π r 2.
Per esempio, per calcolare l’area di una corona circolare limitata da due circonferenze aventi i raggi, rispettivamente, di 13 cm e 8 cm, procedi così:
corona circolare = π R 2 – π r 2 = 132 π – 82 π = 169 π – 64 π = 105 π cm2 .
119
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Unità
4
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Pagina 120
LA GEOMETRIA 3
I poliedri
■ Poliedri
Un poliedro è una figura solida il cui contorno è costituito da un numero 왘 poliedro
polyhedron
finito di poligoni:
•
•
•
•
i poligoni si dicono facce;
i lati dei poligoni si dicono spigoli;
i vertici dei poligoni si dicono vertici;
i segmenti che congiungono due vertici non appartenenti alla stessa faccia
si dicono diagonali.
polyèdre
poliedro
왘 facce
faces
faces
caras
faccia
vertice
diagonale
spigolo
La somma delle facce laterali costituisce la superficie laterale; la som- 왘 spigoli
edges
ma di tutte le facce, comprese le basi, costituisce la superficie totale.
La misura dell’estensione di un solido è il volume.
L’unità di misura fondamentale del volume è il metro cubo (m3).
arêtes
aristas
왘 superficie laterale
lateral surface
surface latérale
superficie lateral
왘 superficie totale
total surface
surface totale
superficie total
왘 vertici
vertices (sing. vertex)
sommets
vértices
왘 volume
volume
volume
volumen
왘 metro cubo
cubic metre
mètre cube
metro cúbico
왘 diagonali
diagonals
diagonales
diagonales
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Pagina 121
I p o l i e d ri
4
Ricorda:
p ➝ perimetro;
h ➝ altezza;
d ➝ diagonale;
➝ area della superficie laterale;
t ➝ area della superficie totale;
➝ volume.
■ Prisma
Un prisma retto è un poliedro il cui contorno è costituito da due poligoni
che sono le basi del prisma e da tanti rettangoli quanti sono i lati del poligono
di base.
spigolo di base
왘 prisma retto
right prism
prisme droit
prisma recto
altezza
h
h
Un prisma si dice regolare se è retto e ha per base un poligono regolare.
da cui: p =
;h=
.
h
p
•
= p × h,
•
t = + 2b, da cui: = t – 2b; b =
•
= b × h,
da cui: b =
왘 (prisma)
regolare
t – .
2
regular
régulier
regular
;h=
.
h
b
Per esempio, calcola l’area della superficie totale e il volume di un prisma
retto a base quadrata, avente lo spigolo di base di 7 cm e l’altezza di 12 cm.
Si ha:
b = 2 = 72 = 49 cm2;
= p × h = 7 × 4 × 12 = 336 cm2;
t = + 2b = 336 + 2 × 49 = 434 cm2;
= b × h = 49 × 12 = 588 cm3.
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LA GEOMETRIA 3
A) Parallelepipedo rettangolo
Un parallelepipedo rettangolo è un prisma retto che ha per basi 왘 parallelepipedo
rettangolo
due rettangoli.
right parallelepiped
parallélépipède
rectangle
paralelepípedo
rectángulo
d
c
diagonale
b
a
dimensioni
•
•
•
•
= p × h,
da cui: p =
;h=
.
h
p
t – .
2
= a × b × c, da cui: a =
;b=
;c=
.
b×c
a×c
a×b
t = + 2b, da cui: = t – 2b; b =
d = a2 + b 2 + c 2 .
Per esempio, dato un parallelepipedo rettangolo avente le dimensioni
a = 5 cm, b = 4 cm, c = 15 cm, calcola l’area della superficie totale e il
volume. Ottieni:
b = a × b = 5 × 4 = 20 cm2;
= p × h = (5 + 4) × 2 × 15 = 270 cm2;
t = + 2b = 270 + 2 × 20 = 270 + 40 = 310 cm2;
= a × b × c = 5 × 4 × 15 = 300 cm3.
122
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Pagina 123
I p o l i e d ri
B) Cubo
Si dice cubo un parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimensioni congruenti.
4
왘 cubo
cube
cube
cubo
d
diagonale
spigolo
•
= 4 × 2,
da cui: =
.
4
•
t = 6 × 2 ,
da cui: =
t
.
6
•
= 3 ,
da cui: = 3 .
•
d = 3,
da cui: =
d
.
3
Esempio: calcola l’area della superficie laterale, della superficie totale e il
volume di un cubo con lo spigolo = 13 cm.
Ottieni:
= 4 × 2 = 4 × 132 = 4 × 169 = 676 cm2;
t = 6 × 2 = 6 × 132 = 6 × 169 = 1 014 cm2;
= 3 = 133 = 2 197 cm3.
123
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LA GEOMETRIA 3
■ Piramide
Una piramide è un poliedro il cui contorno è costituito da un poligono e da 왘 piramide
pyramid
tanti triangoli quanti sono i lati del poligono aventi tutti un vertice in comune.
pyramide
Una piramide si dice retta quando il poligono di base è circoscritto a una cirpirámide
conferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare.
V
altezza
apotema
h
D
a
a
C
H r
A
B
apotema
di base
•
a = h 2 + r 2 ; h = a2 − r 2 ; r = a2 − h 2 .
•
=
•
t = + b, da cui: = t – b; b = t – .
•
=
p×a
,
2
b × h
,
3
da cui: p =
da cui: b =
× 2
×2
; a= .
a
p
×3
×3
;h=
.
h
b
Per esempio, una piramide quadrangolare regolare ha l’apotema di 26 cm e
l’altezza di 24 cm. Calcola l’area della superficie totale e il volume.
Ottieni:
r = a2 − h2 = 26 2 − 24 2 = 676 − 576 = 100 = 10 cm;
= r × 2 = 10 × 2 = 20 cm;
=
p × a 20 × 4 × 26 13
=
= 1 040 cm2 ;
2
21
b = 2 = 20 2 = 400 cm2 ;
t = + b = 1 040 + 400 = 1 440 cm2 ;
=
124
b × h 400 × 24 8
= 3 200 cm3 .
=
3
31
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LA GEOMETRIA 3
I solidi di rotazione
6
■ Solidi di rotazione
Un solido di rotazione è generato dalla rotazione completa di una figura 왘 solido
di rotazione
piana intorno a una retta, detta asse di rotazione.
A) Cilindro
Un cilindro è un solido che si genera dalla rotazione completa di un rettangolo intorno a uno dei suoi lati.
solid of revolution
solide de rotation
sólido de rotación
A’
O’
왘 asse
altezza
h
di rotazione
O
rotation axis
axe de rotation
eje de rotación
r
A
raggio
di base
;h=
.
2πh
2πr
•
= 2 π r × h,
•
t = + 2b, da cui: = t – 2b; b =
•
=
π r2
× h,
da cui: r =
t – .
2
da cui: h =
;r=
.
πr2
πh
Per esempio, per calcolare l’area della superficie totale e il volume di un
cilindro avente il raggio di base di 8 cm e l’altezza di 20 cm, procedi così:
왘 cilindro
cylinder
cylindre
cilindro
= 2 π r × h = 2 π × 8 × 20 = 320 π cm2;
b = π r2 = 82 π = 64 π cm2;
t = + 2b = 320 π + 2 × 64 π = 448 π cm2;
= b × h = 64 π × 20 = 1 280 π cm3.
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Unità
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LA GEOMETRIA 3
B) Cono
Un cono è un solido che si genera dalla rotazione completa di un triangolo 왘 cono
cone
rettangolo intorno al un suo cateto.
cône
L’ipotenusa del triangolo rettangolo è detta apotema del cono.
cono
altezza
apotema
a
a
h
r
raggio
di base
•
a = h 2 + r 2 ; h = a2 − r 2 ; r = a2 − h 2 .
•
= π r × a,
•
t = + b, da cui: = t – b; b = t – .
•
=
π r2 × h
3
,
da cui: r =
da cui: h =
;a=
.
πa
πr
×3
×3
; r=
.
2
πh
πr
Per esempio, calcola l’area della superficie totale e il volume di un cono
avente il raggio di base di 9 cm e l’altezza di 12 cm.
Ottieni:
a = h2 + r 2 = 122 + 92 = 144 + 81 = 225 = 15 cm;
= π r × a = π × 9 × 15 = 135 π cm2;
b = π r2 = 92 π = 81 π cm2;
t = + b = 135 π + 81 π = 216 π cm2;
=
126
π r2 × h
3
=
π × 92 × 12 4
31
= 324 π cm3 .
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I s o l i di di r o t az i one
6
C) Sfera
Una sfera è un solido che si genera dalla rotazione completa di un semi- 왘 sfera
sphere
cerchio intorno al proprio diametro.
sphère
esfera
raggio
r
O
La superficie sferica (S) è l’insieme dei punti dello spazio che 왘 superficie
sferica
hanno la stessa distanza r da un punto fisso O.
•
S = 4π r 2 ,
da cui: r =
•
=
4 3
πr ,
3
da cui: r =
S
.
4π
3
spherical surface
surface sphérique
superficie esférica
× 3
.
4π
Per esempio, calcola l’area della superficie sferica e il volume di una sfera
avente il raggio r = 15 cm.
Ottieni:
S = 4π r 2 = 4π × 152 = 900 π cm2 ;;
=
4 3 4
π r = π × 153 = 4500 π cm3 .
3
3
127