La Sezione Aurea

La Sezione Aurea
Alcune applicazioni.
Dalla teoria finanziaria di Elliott alla musica di Bela Bartok
“…Il momento intuitivo può essere utilizzato e tuttavia ignorato
dall’indagatore matematico-fisico, per insufficienza di conoscenza
cognitiva: questa insufficienza gradualmente smorza in lui la
possibilità intuitiva: egli non riconosce la propria attività nel
contenuto conseguito: crede che questo appartenga al costrutto
dialettico o matematico mediante cui si esprime. In tal modo la
Scienza procede bensì secondo sviluppo razionale matematico, ma in
forza di un automatismo che si sostituisce al pensiero originario: lo
sviluppo perde il rapporto con il Soggetto umano e diviene processo
tecnologico che prende il sopravvento sulla Scienza…”.
Massimo Scaligero
Indice
1
LA SEZIONE AUREA .................................................................................... 4
1.1
BREVE STORIOGRAFIA: DALLE PRIME DEFINIZIONI AGLI
UTILIZZI.......................................................................................................................... 4
UN’IDEA CHE SI PERPETUA FRA MISURA E MAGIA, DALLA
MUSICA ALLA FINANZA. .......................................................................................... 8
1.2
2
LA SERIE DI FIBONACCI ....................................................................... 12
2.1 INTRODUZIONE ............................................................................................. 12
2.2 SERIE E SUA FUNZIONE .............................................................................. 14
2.3 PROPRIETÀ ELEMENTARI .......................................................................... 15
2.3.1 Somme ...................................................................................................... 15
2.3.2 Proprietà dei divisori ........................................................................ 15
2.3.3 Massimo comun divisore e primi relativi ................................. 16
2.3.4 La serie di Lucas ................................................................................. 17
2.3.5 Approccio induttivo alla formulazione esplicita ................... 17
2.4 LA MEDIA ....................................................................................................... 19
2.4.1 La “Successione Aurea” .................................................................. 21
2.4.2 La formula di de Moivre .................................................................. 22
2.4.3 Metodi geometrici per calcolare ϕ ............................................. 25
3
“DE LA CROISSANCE HARMONIEUSE” .................................... 31
3.1
ESTETICA DELLE PROPORZIONI NELL’OSSERVAZIONE DELLA
NATURA........................................................................................................................ 31
3.2 LA CRESCITA ANALOGICA ........................................................................ 34
3.2.1 La conchiglia e lo gnomone ........................................................... 37
4
LA FINANZA ..................................................................................................... 39
4.1 L’ANALISI TECNICA; ELLIOTT E GANN............................................... 39
4.1.1 Analisi Tecnica con Fibonacci ...................................................... 40
4.2 ESEMPI DI APPLICAZIONI NELLA PREDIZIONE ................................. 43
4.2.1 I Ritracciamenti ................................................................................... 45
4.2.2 I Canali Paralleli ................................................................................ 46
4.2.3 La Pitchfork di Andrews .................................................................. 48
5
LA MUSICA ......................................................................................................... 51
5.1 LA MEDIA AUREA NELLA MUSICA ...................................................... 51
5.1.1 Nelle Scale .............................................................................................. 52
5.1.2 Nel Ritmo ................................................................................................ 52
5.1.3 Nell’Arrangiamento ........................................................................... 53
5.2 ARMONIA ED EURITMIA: I NUMERI SUONANO ................................. 55
2
5.3 LE COMPOSIZIONI AUREE DI BELA BARTOK .................................... 60
5.3.1 L’assolo di bassoon della Dance Suite ...................................... 63
5.3.2 Music for Strings, Percussion, and Celesta, mvt. 1 ............. 66
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................. 71
3
1
1.1
La Sezione Aurea
Breve storiografia: dalle prime definizioni agli utilizzi
Nell’antico Egitto i sacerdoti del dio Ra, o dio del Sole, codificarono
all’interno della struttura della piramide di Cheope, e in particolare nel
disegno della tomba del faraone, alcuni numeri “cosmici” come il
rapporto ϕ uguale a
1+ 5
, e il numero irrazionale π , che venivano
2
6
5
messi in semplice relazione nella geometria della tomba: π = ϕ 2 .
Questa eguaglianza descrive π con un’accuratezza di 1,52 ⋅ 10 −3 % .
Dunque, sembrerebbe che già gli Egizi conoscessero bene entrambi i
numeri 1 . Le definizioni di ϕ possono essere molteplici, e alcune
verranno date in vario modo in questa trattazione, utilizzando di volta in
volta le nozioni di limite, somma, rapporto, canone.
Accenniamo qui a un metodo per cercare una correlazione più profonda fra ϕ e π .
Invochiamo la Serie di Fibonacci e prendiamo in considerazione la sua forma di serie di
reciproci, la cosiddetta Serie di Carl.
Manipolando la somma di questa nuova serie (un numero finito, contrariamente alla somma
della serie originale nella quale non esiste alcun numero finito), giungiamo ai limiti
superiori e inferiori. L’intervallo fra questi due limiti può essere ridotto al minimo con una
qualsivoglia accuratezza. Quindi, usando il calcolo per le serie infinite, saremo in grado di
migliorare le equazioni egiziane. Infine, impiegando il numero ϕ , nascosto sia nelle
piramidi che nella serie di Fibonacci, e insieme a nozioni più recenti come la
trasformazione affine, il triangolo di Serpinski e l’insieme di Mandelbrot (tutti strumenti
utilissimi nella quantificazione del Caos), possiamo generare uno spazio frattale che in
ultima analisi richiama proprio la forma piramidale.
1
4
Sarebbe impossibile tracciare qui la lunga storia della scoperta, anzi delle
scoperte di ϕ . Diciamo ‘scoperte’ perché dagli Egizi in poi, quasi ogni
civiltà, cimentandosi con la geometria e con la scienza delle proporzioni,
si è trovata di fronte alla necessità di codificare quella che oggi
chiamiamo Sezione Aurea (Golden Ratio, o Golden Mean) 2 .
Il filo storico che appare più interessante è quello legato allo studio del
Pentagono, e delle proprietà del numero 5. È proprio il numero 5, che
per i Pitagorici simbolizza la Salute quando rappresentato in forma di
Pentagramma (la stella a cinque punte) che sembra constituire il miglior
punto di partenza per lo studio di ϕ .
Lo scrittore greco del secondo secolo, il retorico Luciano, così scrive:
“Le missive che i Pitagorici indirizzavano ai compagni della Scuola
iniziavano sempre con ‘Salute a te’ , come incipit adatto sia al corpo che
all’anima, comprendendo così tutte le virtù umane. In effetti il
Pentagramma, il triplo triangolo incrociato che usavano come simbolo
della setta, era da loro denominato Salute”.
Fig.1 Il Pentagono e il Pentagramma in esso inscritto
Il Pentagramma è ovviamente strettamente legato al pentagono regolare;
collegando infatti i vertici del pentagono attraverso le sue diagonali, si
ottiene il Pentagramma. Le diagonali formano a loro volta un pentagono
2
Per un approfondimento sulla storia dei diversi approcci al mistero di
Livio, “The Golden Ratio”, Broadway Books 2002.
5
ϕ
rimandiamo a M.
più piccolo al centro, le cui diagonali formano di nuovo un pentagramma
e un pentagono più piccoli.
L’impressionante proprietà di tutte queste figure nidificate è che se si
guardano i segmenti in ordine di lunghezza decrescente si può provare
molto semplicemente che ogni segmento è più piccolo del precedente di
un fattore costante, ϕ . Da cui fra l’altro si deriva facilmente che la
diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili, cioè il rapporto
reciproco delle loro lunghezze ( ϕ ) è un numero irrazionale 3 .
Alcuni ricercatori attribuiscono la scoperta dell’incommensurabilità e
della Sezione Aurea proprio ai Pitagorici, nella metà del quinto secolo
a.C., e in particolare a Ippasio di Metaponto. Infatti secondo Iamblico,
fondatore della scuola siriana di Neoplatonismo, i Pitagorici eressero un
sepolcro a Ippasio proprio per celebrare la sua fondamentale scoperta;
anzi Iamblico afferma che a Ippasio si deve lo “studio della sfera
nascente dai dodici pentagoni”, cioè il dodecaedro, il più celebre solido
platonico, legato anch’esso strettamente alla magia della Sezione Aurea.
3
Proviamo qui che la diagonale e il lato di un pentagono sono fra loro incommensurabili,
dimostrando l’assunto per assurdo.
Dalle proprietà del triangolo isoscele discende che AB=AH, e HC=HJ. Se l1 e d1 sono il
lato e la diagonale del pentagono principale ABCDE, e l2 e d2 il lato e la diagonale del
pentagono minore FGHIL si ottiene che AC=AH+HC=AB+HJ, da cui d1=l1+d2, o anche d1l1=d2.
Se d1 e l1 hanno una misura in comune, allora entrambi sono interi multipli di tale misura.
Ne segue che tale misura è anche comune a d1-l1 e quindi a d2. Allo stesso modo per
l’eguaglianza dei lati si ha l1=d2+l2, o anche l1-d2=l2.
Se per ipotesi la misura comune a l1 e d1 è comune anche a d2, l’ultima eguaglianza mostra
che essa è anche comune a s2. Per cui si può proseguire all’infinito con pentagoni sempre
più piccoli. Si otterrebbe così che la stessa unità è misura comune per lato e diagonale del
6
Spostandosi poi nell’area del simbolismo, scopriamo pentagoni e
pentagrammi praticamente a ogni passo della civilizzazione umana, e
altrettanti sono stati nel tempo gli entusiasti estimatori del mistero della
Sezione Aurea: dagli scavi archeologici della antica città sumera di Uruk
in Mesopotamia, le cui rovine risalgono al quarto millennio a.C., alle steli
cuneiformi dei Babilonesi del secondo millennio a.C., all’antico Egitto
con le sue piramidi, agli astronomi arabi del nono secolo, e così via fino
ai sonetti di John Milton, poeta inglese del XVII secolo.
Di volta in volta i segni hanno destato ammirazioni profonde negli
studiosi, con coinvolgimenti che variano dal religioso all’occulto; nel
prossimo paragrafo discuteremo tali entusiasmanti approcci.
primo pentagono e per tutti gli altri, a prescindere dalla piccolezza. Poiché questo è
evidentemente impossibile, l’ipotesi è falsa, e quindi l1 e d1 sono incommensurabili.
7
1.2
Un’idea che si perpetua fra Misura e Magia, dalla musica alla finanza.
La storia di ϕ nasce con l’uomo, allorché questo si pone con genuina
curiosità allo studio delle forme che lo circondano. E senz’altro il primo
approccio non può che essere geometrico, attraverso il linguaggio diretto
delle proporzioni: infatti agli Egizi non servirono nozioni sui numeri
irrazionali per intuire che delle quantità non misurabili come ϕ e π
potessero essere alla base di un utilizzo più proficuo delle leggi della
statica costruttiva.
È altresì noto che l’idea di un “numero magico”, di una numerologia
nascosta e potente, ha percorso i millenni ed ha accompagnato in vario
modo praticamente chiunque abbia affrontato il calcolo numerico: i
desiderata del ricercatore si polarizzano di volta in volta attorno ad un
“Sacro Graal”, o alla Pietra Filosofale, o alla Stele Babilonese, e via
dicendo. Ogni disciplina della ricerca umana ha il suo amuleto, la sua
teoria magica; è quasi una componente necessaria delle scienze
deterministiche, come a voler dimostrare per assurdo l’inutilità di assiomi
assoluti e fideistici nel processo razionale ipotesi-tesi.
E se da un lato è certamente vero che l’evoluzione iperveloce della
tecnica ha disgregato e messo da parte una dopo l’altra molte delle
domande senza risposta, i “misteri della scienza”, è altresì vero che
alcune suggestioni permangono ancora solide e affascinanti, e
probabilmente lo resteranno per sempre, catalizzando come da
tradizione sia la riverente curiosità degli “aficionados” che il cinismo
pragmatico dei denigratori.
8
La Sezione Aurea incarna probabilmente il meglio di entrambi i mondi;
durante i secoli sono stati ripresentati ogni volta con la stessa forza e
determinazione gli “incredibili poteri” della magica Media, e a ogni
successiva fase dell’evoluzione tecnica si è preteso di riprendere in
considerazione le analisi già fatte, sperando di poter aggiungere qualcosa
di nuovo. E libri e articoli si susseguono periodicamente descrivendo le
coincidenze, le strane convergenze, gli utilizzi esoterici dei simboli e dei
numeri legati alla Pentade.
Così come periodicamente si susseguono autori ed artisti che di
proposito inseriscono nei loro lavori (musicali, pittorici, architettonici)
misure e proporzioni derivanti in qualche modo da ϕ .
E ancora si raggiunge un ulteriore livello di complessità quando autori
come Mario Livio (op.cit.) spendono tempo e risorse per descrivere
l’affascinante storia della Sezione Aurea, per poi concludere che molto
probabilmente parliamo solo di suggestioni e di forzature alle tolleranze
di calcolo quando pretendiamo di ritrovare ϕ nelle piante delle piramidi,
nella geodesia, nell’architettura sacra dei greci e via dicendo.
In questa trattazione vogliamo dire la nostra, esprimendo la possibilità
che ϕ sia semplicemente l’espressione numerica di una “giustezza
naturale”, una misura “analogicamente umana”, quindi non descrivibile
con il rigore del calcolo moderno, ma solo osservabile e ripetibile. Altri
troveranno, come più volte è successo in passato, l’orma divina in questa
misteriosa misura, la prova che il Caos è ordinato, e che le vere monadi
del Creato ancora sfuggono al nostro disperato determinismo, svelandoci
soltanto gli effetti della bellezza del mondo, e lasciandoci solo intuire (o
idolatrare) le cause.
9
Le applicazioni scelte per valutare questa “giusta misura” sono infatti le
due estreme tipologie di approccio, chiamiamole attiva e passiva,
al
mistero di ϕ .
Bela Bartok, compositore ungherese dei primi del ‘900, inserì di sua
spontanea volontà degli elementi numerici nelle sue composizioni, con
misure e proporzioni derivanti da ϕ e dalla Serie di Fibonacci, con la
motivazione che, essendo ϕ alla base delle strutture naturali, intendeva
esprimere la stessa forza bruta e primitiva attraverso l’utilizzo di tali
grandezze nella musica.
Ralph Nelson Elliott teorizzò negli anni ’30 che il mercato finanziario
seguisse tutto sommato le stesse regole non scritte che seguono gli esseri
viventi, dato che in fondo la collettività degli investitori è a tutti gli effetti
un essere vivente; pertanto l’armonia e la ciclicità che aveva osservato in
molti fenomeni naturali, dalla botanica alla fluidodinamica, doveva
necessariamente entrare in qualche modo anche nell’analisi finanziaria.
Bartok vuole riprodurre la natura attraverso l’introduzione forzata di una
ratio, Elliott pretende di poter riconoscere l’impronta della ratio dove
apparentemente è solo Caos.
Questi due approcci esamineremo in profondità nei capitoli 4 e 5, ma la
conclusione può essere pacificamente anticipata qui: se è vero che la
“giusta misura” di ϕ e le disposizioni pentagonali che ne derivano sono
riscontrabili così spesso in natura (forme a spirale logaritmica,
fluidodinamica, struttura molecolare delle materie organiche), e se è vero
che le azioni umane spontanee (la sezione di una barra in due parti non
uguali, la costruzione di un colonnato senza rudimenti di meccanica e di
statica,
la
compravendita
di
un
titolo
finanziario)
tendono
incredibilmente ad aggregarsi intorno a valori derivanti dalla Pentade e da
ϕ , allora siamo senz’altro in presenza di una Ratio che esprime
10
spontaneamente il segno della vita, una Ratio che necessariamente è
incommensurabile e irrazionale in qualsivoglia sistema di calcolo,
essendo
essa
proprio
il
segno
della
non
calcolabilità,
dell’approssimazione che genera quel “quid” che distingue un atto
spontaneo e naturale da un atto calcolato e riprodotto.
11
2
2.1
La serie di Fibonacci
Introduzione
Nel 1202 apparve ad opera di Leonardo Pisano detto il Fibonacci il
Liber Abbaci, un abbaco per “far di conto”, un capolavoro della
letteratura matematica che ebbe molta influenza nello sviluppo delle
scienze matematiche nell’Europa di quel periodo.
La prima edizione di quest’opera è andata persa, ma nel 1228 Fibonacci
ne elaborò una seconda, su richiesta del suo maestro, lo scozzese Michael
Scottas, astrologo di corte dell’imperatore Francesco II. Questa seconda
edizione è stata conservata e venne ristampata nel 1857 a Roma dalla
Tipografia delle Scienze Matematiche e Fisiche, in una serie di classici
scientifici a cura di Baldassarre Boncompagni.
Il libro è scritto in latino medievale, di difficile interpretazione anche per
dei validi latinisti. In una introduzione dettagliata l’autore raccomanda
caldamente, tra le altre cose, l’uso delle cifre arabe, che erano già state
introdotte dal monaco Gerberto, più tardi noto come papa Silvestro II
(999-1003), per le opere scientifiche nei conventi, al di fuori dei quali
erano però sconosciute. La particolarità del libro sta nel fatto che per
risolvere molti problemi della vita quotidiana si ricorre allo strumento
dell’algebra, che è di origine araba. Fra gli altri viene proposto il
problema dei conigli: se una coppia di conigli mette al mondo ogni mese
una coppia di piccoli, che dopo due mesi producono a loro volta una
nuova coppia di conigli, quante coppie di conigli avremo dopo un anno,
se tutti rimangono in vita? La risposta è la seguente:
12
Gennaio 1
Febbraio 2
Marzo 3
Aprile 5
Maggio 8
Giugno 13
Luglio 21
Agosto 34
Settembre 55
Ottobre 89
Novembre 144
Dicembre 233
Ci accingiamo a descrivere tale serie in modo rigoroso, osservando
subito - e sarà più chiaro nel resto della trattazione - come si incontrino
frequentemente nello studio quantitativo di un ente così semplice gli
elementi “meno lineari” dell’investigazione algebrica, come i concetti di
congruenza, modulo, proporzione, periodo e numeri irrazionali.
13
2.2
Serie e sua funzione
Definiamo la Serie di Fibonacci come
F1 , F2 , F3 ,...
dove
F1 = 1, F2 = 1
e
Fn+1 = Fn + Fn−1
(2.1)
La Serie può quindi essere esplicitata nella forma 1,1,2,3,5,8,13,21,34…, e
si può subito definire qualche formula e identificare alcune delle
proprietà più interessanti.
14
2.3
Proprietà elementari
2.3.1 Somme
Sommando i primi n numeri di Fibonacci è immediato notare che
n
∑F
k
k =1
= Fn+ 2 − 1
con le notevoli somme, con k dispari
∑F
k
= F2 n
k dispari
e con k pari
∑F
k
= F2 n+1 − 1
k pari
Anche le fattorizzazioni mostrano somme molto compatte:
n
∑F
k =1
2
k
= Fn Fn +1
2.3.2 Proprietà dei divisori
Fra le proprietà affascinanti dei numeri di Fibonacci, troviamo la
regolarità dei loro divisori. Esaminiamo i resti che danno i numeri di
Fibonacci una volta divisi per una stessa quantità.
Ad esempio, per il divisore 13, i resti sono:
1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,1,1,2,3,5,8,0,
…..
da cui notiamo che la sequenza si ripete con periodo 28. Ci chiediamo se
esistano proprietà persistenti di tale periodicità.
15
Utilizzeremo il concetto di congruenza, ricordando che a e b sono
congruenti modulo m quando divisi per m danno il medesimo resto r con
0 ≤ r < m. Supponendo quindi di avere due numeri c e d con
c = q1m + r1 ; d = q 2 m + r2
sommiamo
c + d = (q1 + q 2 )m + r1 + r2
da cui possiamo estrarre i resti per la somma c+d senza usare c e d. In
questo modo si lavorerà per i divisori dei termini della serie di Fibonacci.
Per fissare le idee consideriamo il divisore 87: i resti che otterremo
dividendo per 87 saranno 0,1,2,…86. Prendendo due di questi resti e
rendendoli i termini originanti di una serie di Fibonacci, modulo 87,
evidentemente si arriva a una successione finita. In altre parole, due resti in
un dato ordine determinano una successione di resti.
Avendo a disposizione 87 resti potremo ottenere un massimo di 87 2
coppie in successione (eventualmente eliminando la coppia 0,0 che
produce un’infinita successione di zeri), dunque 7568 coppie al massimo.
Continuando ora a scrivere i resti della successione, giungeremo prima o
poi a una coppia che abbiamo precedentemente già incontrato,
introducendo la periodicità cercata. Questo vale per l’esempio del
divisore 87 e per qualsiasi altro divisore, dunque per ogni modulo la
successione dei resti della serie di Fibonacci è periodica.
2.3.3 Massimo comun divisore e primi relativi
Due numeri a e b sono primi relativi fra loro quando il loro m.c.d. non è
maggiore di 1. Sommando ora due numeri che hanno un m.c.d. diverso
da 1, sia esso g, si ottiene un valore ancora divisibile per g.
( a, b) = g ;
a = ga'
;
b = gb'
16
;
a + b = g (a '+b' )
Nella serie di Fibonacci si nota che termini successivi non hanno divisori
comuni, in altre parole due termini consecutivi della serie di Fibonacci sono primi
fra loro.
2.3.4 La serie di Lucas
Notiamo che la serie di Fibonacci può essere sviluppata a partire da due
qualunque interi a e b, sommando i termini successivi secondo la (2.1).
Introduciamo quindi una sequenza molto legata a quella di Fibonacci, la
serie di Lucas Lk così definita:
L1 = 1, L2 = 3 .
Vediamo le due serie a confronto:
k
Fk
Lk
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
5
8
13
21
34
1
3
4
7
11
18
29
47
76
da cui
Ln = Fn−1 + Fn+1
2.3.5 Approccio induttivo alla formulazione esplicita
Dopo aver definito ricorsivamente le serie di Fibonacci e Lucas,
esplicitiamo una formula unica per trovare Fn e Ln in funzione di n.
Partiamo dalle radici r e s dell’equazione
17
x 2 − x −1 = 0
r=
(2.2)
1+ 5
1− 5
; s=
2
2
dove
r + s =1 ; r − s = 5 .
La quantità r-s apparirà come denominatore nell’espressione cercata.
Intanto annotiamo i valori di r e del suo notevole reciproco:
r = 1.618033989...
1 / r = r − 1 = 0.618033989..
;
In termini di F:
F1 =
r 2 − s2
r−s
= 1 ; F2 =
= r + s =1
r−s
r−s
Procedendo per induzione, assumiamo che fino a un dato n sia
r n − sn
.
Fn =
r−s
Le radici r e s della (2.2) soddisfano r 2 = r + 1 e s 2 = s + 1 , da cui
moltiplicando per una qualsiasi potenza di r o s, sia essa ad esempio n-1:
r n+1 = r n + r n−1 e
s n+1 = s n + s n −1 .
Dato che per ipotesi è
Fn−1 =
r n−1 − s n−1
r−s
e
Fn =
r n − sn
r−s
da cui per addizione, e per le proprietà indicate di r e s, si verifica per
induzione che
Fn+1 =
r n+1 − s n+1
r−s
Si dimostra in modo analogo che
Ln = r n + s n .
18
(2.3)
2.4
La Media
La proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide recita così:
"Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati
l'intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per
lato la parte maggiore", ovvero come trovare la Sezione Aurea di un
segmento, cioè la parte media proporzionale tra l' intero segmento e la
parte rimanente. Utilizzando questo semplice problema geometrico,
cerchiamo un punto C su un segmento AB tale che AB ⋅ CB = AC 2 , ossia
AB / AC = AC / BC.
Sia
AB / AC = r , dunque
AC = AB / r ; BC = AC / r = AB / r 2 . Poiché
AB = AC + BC = AB / r + AB / r 2 si ottiene la relazione
r 2 = r +1
1 = 1/ r + 1/ r 2
;
che riscritta come equazione quadratica
r=
r 2 − r − 1 = 0 risolve
in
1± 5
= 1.61803... ritrovando il valore della Golden Ratio r, ϕ o phi.
2
Leghiamo ora r alle serie di Fibonacci e di Lucas con
Fn =
r n − sn
5
Ln = r n + s n
;
e con la ricerca del limite di Fn . Si ha:
lim
n →∞
Fn
(r n − s n )
= lim n −1
Fn−1 n→∞ (r − s n−1 )
da cui dividendo numeratore e denominatore per r n−1 a destra si orriene
19
lim
n →∞
(r − s n )
r
n −1
/
(1 − s n−1 )
r n−1
che tende a r, definendo la Media
lim
n →∞
Fn
=ϕ
Fn−1
(2.4) .
Qualunque coppia di termini si scelga per avviare una serie di FIbonacci,
il rapporto fra due termini successivi approssimerà a ϕ . Siano
F1 = 5 , F2 = 64 :
N
Tn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
64
69
133
202
335
537
872
1409
2281
Tn / Tn−1
12.8
1.078125
1.927536232
1.518796992
1.658415842
1.602985075
1.623836127
1.615825688
1.618878637
1.61771153
Vogliamo giungere a ϕ anche con l’interessante pattern delle frazioni
continue di Fibonacci:
55/34 = 1 + 21/34
34/21 = 1 + 13/21
21/13 = 1 + 8/13
13/8 = 1 + 5/8
8/5 = 1 + 3/5
5/3 = 1 + 2/3
3/2 = 1 + 1/2
e ricordando che è possibile rappresentare numeri irrazionali con le
frazioni
continue
troviamo
1± 5
5 −1
= 1+
2
2
20
che
ritorna
a
2
5 +1
=
, per affermare che la rappresentazione a frazioni continue di
2
5 −1
ϕ è una frazione continua infinita con tutti gli elementi uguali a 1.
1
ϕ = 1+
1
1+
1
1+
1+
1
1+
1
...
2.4.1 La “Successione Aurea”
Una serie di curiose proprietà si ricava dall’osservazione che ϕ è l’unico
numero positivo il cui quadrato si ottiene sommando 1:
ϕ +1 = ϕ 2
da cui ϕ è anche l’unico numero positivo il cui reciproco si ottiene
sottraendo 1
ϕ −1 =
1
ϕ
.
Le due proprietà esposte sono casi particolari della successione infinita:
...ϕ −2 , ϕ −1 , ϕ 0 , ϕ 1 , ϕ 2 ,...
in cui ogni termine è la somma dei due termini precedenti:
ϕ n = ϕ n −1 + ϕ n − 2
relazione che vale ∀n e, posto
F− n = F− n + 2 − F− n +1
( per n > 0)
F−n = (−1) n +1 Fn
( per n > 0)
in modo che
da cui
21
ϕ n = ϕFn + Fn −1
∀n
Scriviamo dunque una nuova successione di Fibonacci
1, ϕ , ϕ + 1, 2ϕ + 1,...
che si può scrivere anche
1, ϕ , ϕ 2 , ϕ 3 ,... .
Essa è chiamata successione aurea ed è la sola successione additiva il cui
rapporto tra due termini è costante, nello specifico esattamente ϕ .
n
ϕn
ϕ -n
1
1.61803
0.61803
2
2.61803
0.38197
3
4.23607
0.23607
4
6.85410
0.14590
5
11.0902
0.09017
6
17.9443
0.05573
7
29.0344
0.03444
8
46.9787
0.02129
9
76.0132
0.01316
10
122.992
0.00813
11
199.005
0.00502
12
321.997
0.00311
13
521002
0.00192
2.4.2 La formula di de Moivre
La relazione ricorsiva che definisce i numeri di Fibonacci è
Fn = Fn −1 + Fn − 2
22
che si può scrivere anche come
Fn − Fn −1 − Fn − 2 = 0
rientra nella classe delle relazioni ricorsive del secondo ordine
(coinvolgenti cioè i termini con indice da n a n-2), lineari a coefficienti
costanti e omogenee. Per questa classe di relazioni ricorsive esiste una
regola per trasformarle, assieme alle condizioni iniziali, in definizioni
sostitutive. Applicando questa regola (Spiegel) si ottiene la seguente
formula che definisce direttamente l’n-esimo numero di Fibonacci.
n
n
1 ⎡⎛ 1 + 5 ⎞ ⎛ 1 − 5 ⎞ ⎤
⎟ −⎜
⎟ ⎥
⎢⎜
Fn =
5 ⎢⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎥
⎣
⎦
(2.5)
espressione scoperta dal matematico francese A. de Moivre nel 1718,
dimostrata poi dieci anni dopo da Nicolas Bernoulli.
L’n-esimo numero di Fibonacci varia dunque come la potenza n-esima di
ϕ (che cresce geometricamente) alterata da un ε che è sempre minore di
½ e tende a 0 per n che va all’infinito:
⎛1− 5 ⎞
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟ = −0.618 ⇒
⎝
⎠
∀n;
1− 5
2
n
5>2
n
1 ⎛1− 5 ⎞
1
⎜
⎟ < .
⎜
⎟
2
5⎝ 2 ⎠
⇒
Riscriviamo dunque la formula di de Moivre:
n
1 ⎛1− 5 ⎞
⎜
⎟ −ε;
Fn =
5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
e tabelliamo i primi numeri calcolati:
23
ε <
1
2
< 1;
n
Fn
ε
Fn-ε
deMoivre
0
0.447
0
0.447
1
0.724
1
-0.276
2
1.171
1
0.171
3
1.894
2
-0.106
4
3.065
3
0.065
5
4.960
5
-0.040
6
8.025
8
0.025
7
12.985
13
-0.015
8
21.010
21
0.010
9
33.994
34
-0.006
10
55.004
55
0.004
trovando un modo immediato di calcolare numericamente i componenti
della Serie.
24
2.4.3 Metodi geometrici per calcolare ϕ
Abbiamo accennato nel primo capitolo alla fondamentale ragione
geometrica di ϕ nel pentagono, e abbiamo definito nel secondo capitolo
la Sezione a partire dal metodo di frazionamento di un
segmento.
Vediamo ora alcuni semplici modi in cui ϕ si presenta nelle forme
geometriche elementari, ripresentando il pentagono e aggiungendo una
semplice rappresentazione cartesiana.
RETTANGOLO AUREO
A
A’
D
E
B
F
C
Fig. 2
Esiste uno speciale rettangolo le cui proporzioni corrispondono alla
sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per costruire il rettangolo
aureo si disegni un quadrato di lato AE. Quindi dividere il segmento AE
in due chiamando il punto medio A'. Utilizzando il compasso e
puntando in A' disegnare un arco che da F intersechi il prolungamento
del segmento AE in B. Con una squadra disegnare il segmento BC
perpendicolare ad AB. Il rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel
25
quale AB è diviso dal punto E esattamente nella sezione aurea:
AE:AB=EB:AE
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 72°, 72°, 36°.
Fig. 3
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 72° ciascuno, e
l’angolo al vertice misura 36°, la bisettrice di un angolo alla base divide il
lato obliquo opposto nel punto d’intersezione in due segmenti in modo
tale da creare una sezione aurea. Infatti il triangolo ABC è simile al
triangolo BCD. E da questo risulta che:
AC:BC=BD:DC
e dunque:
AC:AD=AD:DC
26
TRIANGOLO CON ANGOLI DI MISURA: 36°, 36°, 108°.
Fig. 4
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e
l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la base e
il lato obliquo danno vita a una sezione aurea. Infatti il triangolo CDE è
simile al triangolo ABD della fig. 3.
PENTAGONO E TRIANGOLI IN ESSO CONTENUTI
Fig. 5
All’interno di un pentagono, ogni lato forma con due diagonali (il
segmento che unisce due punti non adiacenti) un triangolo dagli angoli
con misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà spiegate in precedenza. Ogni
lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un
triangolo dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le proprietà descritte in
precedenza. Cioè il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una
27
sua diagonale e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna
di esse in due segmenti che stanno nel rapporto aureo.
SPIRALE AUREA
Fig. 6
Se all’interno di un rettangolo aureo si disegna un quadrato con lato
uguale al lato minore del rettangolo, il rettangolo differenza sarà
anch’esso un rettangolo aureo. Si ripeta l’operazione per almeno cinque
volte al fine di avere un effetto visivo adeguato. Si punti la punta del
compasso sul vertice del quadrato che giace sul lato lungo del rettangolo
e si tracci l’arco che unisce i gli estremi dei due lati che formano l'angolo
scelto. Si ripete l'operazione per ogni quadrato disegnato in modo da
creare una linea continua.
28
PARABOLA AUREA
Fig. 7
In un diagramma cartesiano un retta di equazione: y=x + 1 rappresenta
una crescita lineare, cioè una crescita nella quale l' incremento si ottiene
"sommando" a quanto raggiunto sempre la stessa quantità. Una crescita
invece in cui l' incremento si ottiene moltiplicando quanto raggiunto per
una quantità a questo proporzionale si dice quadratica ed è rappresentato
da una parabola di equazione: y = x2.
I due diagrammi si incontrano in un punto P che determina con gli assi
cartesiani un rettangolo aureo, quasi a significare l'equilibrio tra una
crescita lineare ed una crescita quadratica. Proprio questo aspetto della
crescita sarà alla base della trattazione del capitolo 3, dove le diverse
29
manifestazioni augmentali mostrano varie facce dell’interpretazione del
processo accrescitivo, nelle materie organiche e in quelle inorganiche.
30
3
3.1
“De la croissance harmonieuse”
Estetica delle proporzioni nell’osservazione della natura
Tutti i sistemi fisico-chimici isolati tendono verso una posizione di
equilibrio stabile seguendo un’evoluzione dettata dal principio della
minima azione (principio di azione stazionaria della teoria della relatività);
in termini statistici, “Un sistema evolve costantemente dagli stati meno
probabili agli stati più probabili; la configurazione di massima probabilità
essendo quella di massima entropia, di maggiore degradazione di
energia”. Quando lo stato di equilibrio finale dà luogo a configurazioni
relativamente stabili, o anche rigide come nei cristalli, esso può risultare
in forme pressoché geometriche in cui i dettagli sono determinati in
egual misura da occorrenze speciali del principio generale sopra
enunciato: legge di equipartizione dell’energia, legge dell’energia
potenziale delle superfici minime, legge di ripartizione omogenea (o
simmetrica) di elementi molecolari e atomici.
Ora, combinando nello spazio queste leggi con la teoria delle partizioni
omogenee dello spazio, si trovano i solidi cubici ed esagonali insieme alle
loro possibili combinazioni reciproche, ma non si trova mai un
pentagono, né un sistema pentagonale. Allo stesso modo nelle
formazioni cristalline, o nelle manifestazioni geometriche della natura
inorganica, si incontrano il tetraedro, il cubo, l’ottaedro e tutti i loro
derivati e simmetrici, ma non si trovano mai i due corpi platonici a
struttura pentagonale, il dodecaedro ed il suo reciproco icosaedro, né
tantomeno alcuno dei loro derivati.
31
Uno studio sommario dei solidi isotropi fa subito prevedere una
preferenza dei sistemi in equilibrio nei confronti dei solidi cubici ed
esagonali, o di loro combinazioni. Una manifestazione caratteristica di
simmetria esagonale in natura è fornita rapidamente dall’osservazione
microscopica di un cristallo di neve.
Eppure il pentagono, ed il suo succedaneo platonico il dodecaedro, si
prende una rivincita inattesa quando si passa a studiare dei sistemi viventi
o contenenti vita. Basta sfogliare un testo di botanica o di zoologia per
accorgersi al contrario che le forme a simmetria pentagonale appaiono
continuamente, molto più spesso dei derivati di sistemi cubici o
esagonali. F.M.Jaeger in Lectures on the Principle of Symmetry: “Sembra
esistere una certa preferenza per la simmetria pentagonale, sia nel caso
degli animali che delle piante, una simmetria chiaramente legata
all’importante proporzione della sezione aurea, sconosciuta nel mondo
della materia inanimata…In effetti, dal punto di vista del ruolo giocato
dal principio di simmetria, è difficile negare che esista una linea di
demarcazione fra le forme della natura inorganica e le forme viventi: da
un lato abbiamo l’evoluzione graduale delle forme a partire da una
simmetria perfetta (sferica) verso una simmetria inferiore, e la preferenza
caratteristica per il rapporto incommensurabile della sectio aurea; dall’altro,
la tendenza verso una simmetria più perfetta, come condizione di una
stabilità meccanica più grande, e l’esclusione di tutti i rapporti irrazionali
nei periodi degli assi di simmetria”. Jaeger descrive la presenza dei cinque
poligoni regolari nella struttura della conchiglia radiolare, mentre non
trova traccia del dodecaedro regolare o dell’icosaedro nelle forme
cristalline minerali. “Queste due forme non si incontrano mai in
cristallografia… ed è stato dimostrato che esse non si possono
riprodurre, poiché i loro indici (i coefficienti che esprimono le relazioni
32
delle facce piane con i tre assi principali di simmetria) sono irrazionali;
ora, una delle leggi fondamentali della cristallografia, dedotta dalla teoria
matematica delle partizioni dello spazio, afferma che gli indici di una
qualunque faccia di un cristallo sono piccoli numeri interi… Il
dodecaedro pentagonale della radiolare è perfettamente regolare, e noi
dobbiamo presumere che non è il risultato degli stessi principi di
partizione stabiliti in cristallografia.”
33
3.2
La crescita analogica
Dice Ghyka 4 “in sostanza, il principio della minima azione non esercita
più la sua dittatura nel mondo vivente come fa invece nei sistemi
inorganici. Si pensi a due scopi basilari con cui dobbiamo fare i conti nel
mondo naturale: la crescita e la riproduzione. Mentre in un sistema
puramente chimico-fisico, fosse anche grande quanto l’universo, il
principio di Hamilton permette in teoria di prevedere lo svolgimento del
futuro, in un sistema isolato nel quale ci sia un minimo di materia
vivente, animale o vegetale, sia esso il coniglio di Fibonacci o il
microscopico paramecio, non si osserverà più la spinta verso l’economia
del lavoro necessario, e si vedranno ignorate spesso e volentieri le rotte
geodesiche di azione… Questo per permettere alla vita, una volta
incarnata, di adattarsi e continuare…”. Al contrario, soprattutto nelle
specie viventi più avanzate, incontriamo l’economia della materia e della
sostanza, concetti sconosciuti al mondo inorganico. Già Culmann,
fondatore della Statica grafica, aveva osservato che gli scheletri animali si
presentano come un sistema che offre “massima resistenza a parità di
minima sostanza”: proprio la disposizione delle cellule delle parti
spugnose delle ossa più robuste, coincide con i diagrammi con cui la
Statica grafica riprodurrà le curve di resistenza alle trazioni e alle
flessioni. Ghyka conclude che se il principio della minima azione non si
può applicare rigorosamente a un sistema isolato contenente materia
vivente, questo implica che il sistema non si comporta da “sistema
isolato”, ma come sistema in balia di una forza esteriore: la vita. È questo
il punto di determinismo in cui cessa la rigorosità del principio di
4
“Esthétique des proportions dans la nature e dans les arts”, Gallimard 1927
34
Hamilton che non può più permettersi di prevedere il “divenire”;
dovremo obbligatoriamente completare la teoria con i principi di
statistica e probabilità, o quantomeno con coefficienti empirici. Una
trattazione molto interessante dei fenomeni naturali nei quali è possibile
applicare questi assunti è quella di Steven Strogatz, il quale esamina le
principali scoperte nel campo delle equazioni non lineari applicate alla
teoria delle reti di piccolo mondo 5 .
Ecco che le equazioni differenziali diventano approssimazioni, il
determinismo classico di Laplace e Lagrange viene rimpiazzato da un
determinismo statistico, e la fisica molecolare si avvicina alle “nuove
scienze esatte” come l’economia politica o la biometrica. Il calcolo delle
probabilità rimpiazza la causalità diretta introducendo la “legge dei grandi
numeri” quando le cause multiple sono microscopiche in rapporto al
sistema considerato.
Soffermiamoci sulla chimica vegetale, in contraddizione con la seconda
legge energetica più spesso della biologia animale: l’effetto del
metabolismo vegetale sull’atmosfera è, contrariamente al metabolismo
animale, di assorbire l’anidride carbonica e di emettere ossigeno, e la
fotosintesi continua delle piante costituisce una reazione endotermica
ancora più “improbabile” dello scambio carbonio-ossigeno, che il
chimico non potrà realizzare se non con un’aggiunta di energia. Ghyka
osserva che dal “principio della minima azione” si passa al “principio del
minimo sforzo compatibile con lo scopo”. In altri termini, M.W.
Brancroft nel 1912 riformulò in termini biologici la tendenza dei sistemi
inorganici all’equilibrio stabile: “Le modificazioni che intervengono in un
sistema (biologico) sono tali da rendere minima la perturbazione
5
“Sincronia”, Rizzoli 2003
35
proveniente dall’ambiente esterno”: esempio su tutti l’autoregolazione
della temperatura negli animali a sangue caldo.
Sul concetto di crescita dal punto di vista matematico, citiamo il trattato
Growth and Form, di M. d’Arcy Thompson: “…i cristalli inorganici
accrescono per “agglutinazione” … l’organismo vivente cresce invece
per “intussuscezione”; gli elementi molecolari di una materia inorganica,
una volta in equilibrio (rigido o oscillante), restano praticamente gli stessi
durante la durata dell’assemblaggio agglutinante … mentre gli elementi
costitutivi dei tessuti viventi si rinnovano continuamente per
combustione o eliminazione” 6 . O anche
H. Guilleminot: “L’unità
cristallina formata non è che una collettività di piccole unità tutte
somiglianti fra loro, e tutte con i segni della simmetria d’insieme, i fattori
orientatori della forma generale. Al contrario le unità viventi hanno
forme che non sono solo la risultante di proprietà morfogeniche di
elementi costituenti, e non sono totalmente giustificate dai rapporti della
parte con il tutto. Queste forme sembrano procedere da una direttiva
interiore e proprie dell’aggregato, per il migliore espletamento di una
funzione” 7 .
6
7
“Growth and Form”, Cambridge University Press, 1912
“La Matière et la Vie”, Flammarion, 1920
36
3.2.1 La conchiglia e lo gnomone
Descriviamo qui un semplice punto di contatto fra i due mondi, quello
della augmentazione geometrica e quello della crescita biologica.
La conchiglia conserva la sua forma immutata malgrado un evidente
processo di crescita asimmetrica: allo stesso modo delle corna degli
animali, essa cresce solamente da un estremità. E proprio questa
notevole proprietà di accrescimento teminale senza mutazioni dalla
forma del totale, è caratteristica della spirale logaritmica e di alcune altre
curve. D’Arcy Thompson ritrova nella crescita di una conchiglia o di un
guscio di lumaca il concetto aristotelico dello “gnomone” – una figura la
cui aggiunta a una forma data produce una forma risultante simile alla
forma iniziale.
Fig. 8
L’esempio classico in questo caso è il Nautilus, un mollusco dei mari
tropicali; la sua conchiglia, sezionata, è una spirale aurea. Tra l’ altro il
Nautilus viene considerato letteralmente un fossile vivente, essendo la
sua specie antichissima; ha avuto quindi tutto il tempo per perfezionarsi.
Estendendo la ricerca, dobbiamo annotare altri notevoli esempi.
Nel corpo umano troviamo rapporti aurei: l’ ombelico è posto ad un’
altezza che è in rapporto aureo con quella dell’ individuo con una
tolleranza di pochi punti percentuali.
37
Nei fiori, più che altrove, la natura ha voluto ricordarci la sua sapienza
matematica. Le varie specie di margherite e girasoli hanno petali in
numero della successione di Fibonacci che abbiamo visto legata al
rapporto aureo.
Le curve che si osservano in pigne ed ananas sono spirali logaritmiche,
legate anch’esse alla sezione aurea.
Ed ancora secondo spirali logaritmiche si succedono gli stami nelle
corolle di margherite e girasoli.
Nel firmamento molte galassie hanno forma a spirale. Osservando
attentamente le spirali queste risultano chiaramente logaritmiche; è
presumibile che tali siano le traiettorie delle stelle attratte al centro della
galassia. Ecco riproporsi il contributo misterioso di una forza che
imprime una traiettoria decisamente atipica, dal momento che le forze a
noi note comportano in genere solo traiettorie coniche (ellissi, parabole o
iperboli).
38
4
4.1
La Finanza
L’analisi tecnica; Elliott e Gann
John Murphy (op.cit.) definisce l’Analisi Tecnica come “lo studio
dell’andamento di un mercato basato sull’uso di grafici, allo scopo di
predire le future tendenze di prezzi”, tenendo ben presente che la storia
si ripete, e ripetendosi offre la possibilità di riconoscere, nel grafico, dei
“patterns”, delle formazioni che in qualche modo si ripresentano
preannunciando il comportamento futuro di quel grafico. Agli inizi del
secolo Charles H. Dow pubblicava sul Wall Street Journal quelli che
erano i fondamenti della sua teoria, basata proprio sull’osservazione
dell’andamento grafico del primo Indice borsistico, l’indice Dow,
appunto, che l’economista ideò incentrandosi su 11 titoli nel 1884. La
teoria di Dow enunciava dei punti fermi che tali sono rimasti fino ad
oggi: la valutazione dei prezzi in chiusura, come si definisce un “trend”,
come si costituisce un impulso di un trend, come incidono i volumi, e
così via. Si sviluppa così una “dottrina” vera e propria, fatta di paziente
lavoro manuale necessario a graficare l’andamento dei prezzi dei titoli, di
raccolta dei dati in un’epoca priva di reti e database, di formalizzazione
delle diverse possibilità grafiche. Negli anni sono messe nero su bianco le
figure, i patterns (flags, pennoni, triangoli, diamanti, testa e spalle...) che
numericamente sono andati aumentando nel tempo, fino a costituire il
bagaglio essenziale di ogni Analista Tecnico dei nostri giorni. Un mondo
“a due dimensioni” fatto di trendlines, supporti e resistenze, che acquista
una “terza dimensione” con R. N. Elliott, che nel 1938 enuncia la sua
“Wave Theory”. La Teoria delle Onde è basata sull’osservazione della
39
caoticità dei mercati, della loro “naturalità”, ed è confermata, secondo il
suo autore, dal fatto che nei grafici si possono scoprire le magiche forze
della serie di Fibonacci, con le sue “irregolari regolarità”, i prodromi di
quella che oggi definiamo Teoria Frattale: insomma, con Elliott il grafico
prende vita, acquista “personalità” nelle sue movenze, e diviene un
oggetto autonomo che come tale può essere osservato e studiato. A
questo tipo di “sguardo tridimensionale” daranno poi ulteriori
fondamentali studiosi come Gann, Dewey, Wilder.
4.1.1 Analisi Tecnica con Fibonacci
La prima applicazione dei numeri di Fibonacci in finanza si deve quindi a
Elliott che ha assunto la Serie come modello matematico generatore del
fenomeno di formazione e di tendenza del prezzo. Nell’Analisi Tecnica i
numeri di Fibonacci sono utilizzati quotidianamente per l’individuazione
di supporti e resistenze, nell’analisi dei cicli per la determinazione dei
periodi nei quali è probabile un’inversione della tendenza e in generale
come conferma dei segnali di buy/sell evidenziati dalla applicazione di
altre tecniche di analisi.
Elliott scompone il singolo ciclo di un’onda nei due movimenti
fondamentali di impulso e correzione:
Fig. 9
impulso
correzione
Nel suo testo del 1938, “The Wave Principle”, e in una serie di articoli
pubblicati nel 1939, Elliott affermò che il mercato azionario si sviluppa
40
seguendo un ritmo di base: questo ritmo pulsa ciclicamente seguendo un
pattern di cinque onde crescenti e tre discendenti che formano un ciclo
completo di otto onde. Le tre onde discendenti costituiscono la
“correzione” delle precedenti cinque.
Fig. 10 - Il “Basic Pattern” di R.N.Elliott. Le fasi impulsive vengono contrassegnate da
numeri, e le fasi correttive da lettere.
Le onde 1, 3 e 5 sono denominate impulsive e la 2 e la 4 correttive. La 1
viene corretta dalla 2, la 3 dalla 4, e l’intera sequenza 1,2,3,4,5 è corretta
dalla sequenza a,b,c. Un ciclo completo è fatto di otto onde, ed è distinto
in due fasi – quella numerica e quella letterale.
Dopo questo ciclo inizia un secondo ciclo simile di 5 + 3 onde, ed un
terzo di cinque onde ascendenti. A questo punto si è completato un
movimento complessivo di cinque onde “superiori”, quindi comincerà
un ciclo “superiore” di tre onde discendenti che “correggeranno” l’intero
movimento ascendente di cinque onde. Quindi ogni “fase” è in sostanza
41
un’onda essa stessa, ma di un grado superiore rispetto alle onde che la
compongono.
Fig. 11 - Due onde di un dato grado si possono scomporre nelle 8 onde di grado
inferiore, e ancora fino alle 34 del grado successivo. Estendendo, le somme delle onde
ascendenti sommano a 5, 21, 89.. e le somme delle onde correttive a 3, 13, 55… In
totale, le onde che costituiscono un movimento completo superiore sommano a 8, 34,
144…
L’intero fenomeno è illustrato in fig. 11, e mostra come dividere in cicli e
forme di gradi diversi la storia grafica dell’andamento di un mercato.
La teoria si completa con lo studio delle anomalie, delle possibili
estensioni e delle forme ricorrenti di falso negativo e positivo, e giunge
anche a quantificare le proporzioni “più probabili” delle correzioni e
delle estensioni.
42
4.2
Esempi di Applicazioni nella predizione
Se si arriva a considerare che l’andamento di un grafico risponde a regole
naturali di proporzione e “giusta ratio”, si può comprendere che tale
grafico altro non è se non la rappresentazione della somma di
comportamenti della collettività degli investitori: un grafico di un titolo
azionario o di un cambio valutario mostra in ogni momento se le forze
compratrici sono superiori o inferiori alle forze venditrici, e ne storicizza
il comportamento. Non risulta azzardato, dunque, ipotizzare che la
distribuzione dei comportamenti e delle reazioni di un grande numero di
variabili irrazionali (gli investitori) si addensi nei punti e nei momenti in
cui appare più “naturale” per la maggior parte di variabili, manifestare un
dato comportamento o reazione.
Questa è l’idea alla base della teoria della predizione dei mercati
finanziari, laddove si formulano ipotesi sui “più probabili scenari” che si
manifesteranno in seguito a situazioni ricorrenti. Gli enunciati
dell’Analisi Tecnica in ambito finanziario (ma un esempio simile lo si
trova nella Meteorologia) sono nella forma di “In questo stato X le possibili
evoluzioni sono gli stati Y,Z e W. Se evolveremo allo stato Y, allora è molto
probabile che si evolva allo stato A; dallo stato Z l’andamento è incerto, verso gli stati
B, C e D; nello stato W è più probabile che accada…” costituendo infiniti (ma
similarmente ricorrenti) cicli di if…then…else…
E d’altronde, come accennato nel capitolo 1, una disciplina che si
propone di ipotizzare i futuri movimenti di un essere collettivo vivente
(l’insieme degli speculatori), non può che assumere la forma di una
ricerca ad albero sui possibili stati di un sistema complesso. Possiamo di
nuovo affermare che l’analisi tecnica e la sua evoluzione dovuta alle
43
nuove teorie sul Caos, altro non è che un tentativo di superare i limiti del
determinismo, introducendo regole apparentemente animiche, ma in
verità discendenti dalla semplice osservazione di quell’errore costante e
imprevedibile che non permette la valutazione empirica e tabellare in
microscala di un fenomeno naturale. Una prova tangibile del dualismo
irrisolubile che si combatte in questa disciplina è la semplice
constatazione del fenomeno della diffusione: i metodi previsionali che
esporremo nei prossimi paragrafi sono stati descritti per la prima volta
nella prima metà del XX secolo, e hanno “funzionato” con notevole
accuratezza fino alla massificazione dei mercati finanziari degli anni ’70.
Da questa data in poi, i metodi sembrano indebolirsi in modo
proporzionale alla loro diffusione di massa, lasciando spazio a nuovi
stratagemmi analitici che sono noti inizialmente solo a pochi, ma che si
auto-debilitano molto velocemente al crescere della notorietà dei
medesimi. Quello che accade è che se troppi investitori prevedono uno
stato X in seguito a uno stato Y, inconsciamente si muovono in senso
contrario all’avverarsi dello stato X, in quanto cercano di trarre profitto
dall’avverarsi di quello stato; così facendo lo rendono il meno probabile, e la
maggioranza delle previsioni si rivelerà errata, a vantaggio di uno stato
che inizialmente sembrava essere meno probabile.
È la dimostrazione che gli osservatori di un sistema complesso, prendendo
parte alla lotta per la sopravvivenza che si svolge all’interno del sistema, e
seguendo più o meno le stesse regole, diventano immediatamente attori
del sistema, e creano inconsapevolmente un comportamento collettivo
assolutamente diverso, se non contrario, all’ipotesi iniziale formulata da
osservatori, creando caos e imprevedibilità.
44
4.2.1 I Ritracciamenti
Dopo un impulso si ha una correzione. Come possiamo dire quando la
correzione terminerà? E a che punto lo scenario verrà negato e la correzione
sarà troppo profonda, quindi costituirà un’onda di impulso inverso?
Assumendo che la correzione è la fase di riposo necessaria dopo lo sforzo,
troveremo il più delle volte, nei grafici di mercato, che la fase di
correzione dura un tempo che sta in una “Golden Proportion” rispetto
al tempo di impulso: 1 : ϕ = 0.618 , ma anche (ϕ − 1) : ϕ = 0.382 .
Fig. 12 - Andamento del prezzo dell’oro alla fine del 2003.
In sostanza si prevede che molto probabilmente la durata di un
movimento in tendenza e quella della sua correzione tecnica siano fra esse in
proporzione pari a ϕ . Operativamente, dopo un movimento impulsivo
45
si terranno d’occhio i livelli di ritracciamento del 38,2% e del 61,8% del
movimento totale, livelli sui quali il mercato più probabilmente
“rimbalzerà” per proseguire il movimento impulsivo. Laddove i prezzi
scendessero al di sotto della base del movimento impulsivo, lo scenario
di rialzo (in questo caso, o di ribasso se gli impulsi sono discendenti) si
dirà negato e nuove valutazioni dovranno essere fatte.
4.2.2 I Canali Paralleli
Le linee di tendenza, o “trendlines”, si applicano a qualunque mercato
con qualunque orizzonte temporale. Un mercato in salita rimbalza dalle
sue trendlines di supporto e un mercato in discesa rimbalza dalle
trendlines di resistenza. Nel primo caso, la trendline fornisce un punto di
acquisto ad ogni rimbalzo. Se il mercato continua a salire (cioè non
“rompe” la trendline di “supporto”) non c’è apparentemente alcun
segnale che ci dica quando vendere e bloccare i profitti. Disegnando una
linea parallela alla trendline creiamo un “canale”, che conterrà tutti i brevi
movimenti di rialzo e correzione all’interno della tendenza generale. La
linea inferiore può essere usata per comprare e la superiore per prendere
temporaneamente profitto. Dopo aver venduto, il trader aspetterà che i
prezzi colpiscano di nuovo la trendline inferiore per comprare ancora.
Se si riesce ad inviduare lo “stem” di un canale, cioè la sua radice, l’unità
geometrica ripetuta, è possibile costruire in anticipo canali multipli, che si
compongono di trendlines parallele a livelli predefiniti dalle proporzioni
auree.
Per costruire un “Canale di Fibonacci” è necessario decidere qual è la
grandezza di riferimento, l’uno del sistema. Per far questo si dovrà
46
ricercare quello che sembra il canale base, di ampiezza ben proporzionata
a un multiplo, o a un sottomultiplo del movimento globale.
Dopo aver identificato l’unità, la si potrà scomporre nelle usuali
proporzioni (38,2% - 50% - 61,8%) o moltiplicare per gli stessi rappoti
aurei (138,2% - 161,8% e loro composizioni). Proprio questa seconda
operazione, di moltiplicazione, è quella che si è rivelata più produttiva nel
cercare possibili punti di inversione o di profitto nelle estensioni dei
trend al di fuori dei canali.
Fig. 13 – I Canali Paralleli
In altre parole si ha la sensazione che i prezzi oscillino seguendo una
sorta di “schema quantico” per i loro salti e le loro inversioni.
47
Frammentare o moltiplicare una tendenza secondo le proporzioni auree
è un’operazione che porta a visualizzare i livelli quantici, inquadrando di
conseguenza i movimenti più bruschi in una semplice ottica di “salto di
livello”.
4.2.3 La Pitchfork di Andrews
Disegnare una trendline parallela risulta comunque un’operazione
soggettiva, dato che per la maggior parte del tempo i mercati non
rispettano regole di ordine e pulizia grafica: il fenomeno del “rumore”
(volatilità) e della sovrapposizione di cicli a breve e a lungo termine
donano ai grafici il classico aspetto irregolare. Estendendo il concetto alla
base della ciclicità Elliottiana, si possono studiare le pulsazioni ritmiche
applicate anche ad altri parametri, come il tempo, l’ampiezza
dell’oscillazione, la ripetizione di massimi e minimi, ecc…
Agli albori dell’analisi tecnica, Alan Andrews sviluppò un sistema che
chiamò il “metodo della linea mediana”. Il metodo richiede di disegnare
una linea da un massimo o un minimo fino al prezzo medio di una
correzione successiva, e poi di aggiungere delle parallele partendo dai
massimi e i minimi della correzione (fig. 14). Sul grafico questo si
materializza in tre linee, di cui una centrale (la linea mediana), un canale
superiore ed un canale superiore. A causa della somiglianza con un
utensile di cucina, il metodo viene conosciuto come Pitchfork
(forchettone) di Andrews.
Per misurare al meglio l’ampiezza di una tendenza, si possono
moltiplicare e dividere i canali risultanti secondo proporzioni di
Fibonacci, e ottenere ampiezze di magnitudine inferiore o superiore. La
Pitchfork di Andrews viene spesso in aiuto come studio sulla tendenza
generale di un mercato, essendo costruita intorno all’attività reale e
48
oggettiva del prezzo. Si osserva che la Pitchfork risulta più affidabile e
precisa nei movimenti contrari di correzione.
Fig. 14 – La Pitchfork di Andrews
La figura 14 mostra l’andamento del cambio Sterlina/Dollaro negli ultimi
cinque anni. La Pitchfork disegnata ipotizza come base della struttura il
movimento A-B-C, e su di esso costruisce la griglia dei livelli per i canali.
Risulta evidente come il mercato tenda a rimanere in uno stesso livello,
per poi effettuare dei salti in accelerazione e stazionare in altri livelli.
Ogni rottura di una linea di livello implica un relativo segnale di
acquisto/vendita.
49
I comportamenti dei prezzi sulle linee sono molto diversi, e il rumore
abbonda; tuttavia resta intatta la tendenza generale e soprattutto sono
notevoli le previsioni relative agli “out-burst” al di fuori del canale
principale. In questo sta la caratteristica della Pitchfork di identificare le
tendenze prima di una trendine: utilizzando un movimento correttivo del
mercato già stabilito (ritracciamento) come larghezza base del canale, si
scopre che le linee della Pitchfork si situano preferibilmente agli usuali
valori di ritracciamento di Fibonacci, rendendo una Pitchfork più simile a
una “Raggiera di Fibonacci”.
50
5
5.1
La Musica
La Media Aurea nella Musica
Il suono viene captato dal nostro organo dell’udito, ossia vengono
sottoposti a vibrazioni gli organi di Corti, che possiamo paragonare alle
asticciole di un carillon. Siamo abituati a suddividere in sette note (DO,
RE, MI, FA, SOL, LA, SI, DO: una successione definita ottava) la
distanza fra due DO successivi: otto note successive ordinate secondo
una scala che terminano sempre con la prima nota dell’ottava superiore.
Una scala può cominciare con qualunque nota, per convenzione
parleremo della Scala Maggiore di DO. Essa, come qualunque altra, è
costruita con intervalli variabili fra le otto note:
DO
1 tono
RE
1 tono
MI
FA
SOL
1 semitono 1 tono
1 tono
LA
SI
1 tono 1
semitono
Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si
susseguono con una formula:
T2 = T1 ⋅ 12 2 ; T3 = T2 ⋅ 12 2 ; ...
dalla quale risulta T13=2T1 e che il numero di vibrazioni dei semitoni
successivi forma una proporzione continua (v. frazioni continue).
T1 : T2 = T2 : T3 = T3 : T4 ...
Dove la ragione ammonta a
12
2 . Ora
12
2 8 è con approssimazione
uguale a ϕ , per cui:
T1 : T9 = T9 : T17 = 1.618 .
51
DO↑
Negli organi di Corti dell’apparato uditivo umano, nelle costruzioni di
organi a canne risonanti, nelle possibilità misteriose e indefinite di
vibrazione di un violino, gioca dunque senza dubbio un ruolo
fondamentale la sezione aurea.
Introduciamo brevemente gli ambiti tecnici compositivi in cui è
immediato immergere ϕ .
5.1.1 Nelle Scale
L’utilizzo di ϕ per creare armoniche e rapporti tonali ha un effetto
immediato e diretto sull’ascoltatore. “Stonare” le note di una scala è
permesso ovviamente agli strumenti che si intonano facilmente a mano
(archi), ma è molto difficile intervenire con un’operazione di de-tune su
un pianoforte o un ottone. Alcuni sintetizzatori moderni incorporano la
capacità di ri-intonare i tasti in progressione seguendo incrementi di
frequenza in sequenza di Fibonacci (sample audio 5.1.1). Ricordiamo che
il rapporto temperamentale più vicino a ϕ è una Sesta Minore – 5:8
(DO-LAb).
Dan Winter utilizza e suggerisce addirittura rapporti ulteriori: radice di ϕ
(1.272) e radice quinta di ϕ (1.101).
5.1.2 Nel Ritmo
Un semplice “loop” quantizzato secondo ϕ (fig. 15) offre subito un
gusto naturale al ritmo, ottenendo in modo empirico quello che viene
definito “groove” di un ritmo, cioè l’insieme di quelle spostature (offset)
di colpo che solo l’essere umano può organizzare mentalmente ed
eseguire
con
una
sorta
di
errore
controllato
inequivocabilmente il loop (sample audio 5.1.2).
52
che
caratterizza
Fig. 15 – Loop di Fibonacci. I punti grigi sono qantizzati su cadenze di
cassa
rullante
congas
hi hat
1
.
2
ϕ.
.
ϕ
ϕ
Per tener fede al verbo della stabilità e dell’equilibrio, notiamo che
l’effetto “groove” si rende interessante anche invertendo le parti: la
quarta riga si può eseguire al contrario, donando un accento più solido:
questo meccanismo è alla base dei sistemi automatici di grooving scelti
dalla Yamaha negli ultimi 2 anni per i sequencer/arrangiatori più evoluti.
Anche la velocità di esecuzione, volendo rapportarla in modo più
accurato ad un “ritmo naturale”, può essere pensata in sincrono con ϕ :
76 bpm è circa il battito cardiaco in stato di relax; 76 x 0.618 equivale a
circa 47 bpm, la velocità di pulsione della camera cardiaca secondaria.
Multipli e ϕ -multipli del “ritmo base” 76 offrono ritmi in rapporto aureo
con il cuore: 122 bpm (76 x 1.618) è il ritmo tipico della stragrande
maggioranza di musica commerciale da ballo degli ultimi 20 anni,
evidentemente perché ben si addice ai gusti di danza dei giovani.
5.1.3 Nell’Arrangiamento
Il pattern di crescita identificato da ϕ risulta uno schema molto efficace
nella stesura della struttura di una canzone: l’arrangiamento si svolge con
una progressione molto naturale, e lascia i giusti spazi di allargamento o
restringimento di sezioni che l’arrangiatore aggiunge agli schemi base di
cicli e battute equivalenti. Dividendo la durata totale secondo ϕ si può
53
scegliere il punto trovato come apice della canzone; questo risulterà
senz’altro il punto più ovvio e consono per la fine di un climax.
ϕ
1
2
3
5
Fig.16
54
8
5.2
Armonia ed euritmia: i numeri suonano
La parola ritmo è usualmente riferita a ciò che caratterizza la periodicità di
determinati eventi nel tempo, legando inevitabilmente il concetto a
musica e a poesia.
Ma proprio i Greci, che non ammettevano alcuna confusione di idee o di
definizioni in materia estetica, mischiano consapevolmente i termini
caratteristici dell’architettura e della musica: di più, i concetti
architetturali e la morfologia estetica sono da essi coscientemente
discussi e analizzati con analogie musicali; se in musica le nozioni di
accordo e di insieme di accordi armoniosi sono stabiliti in funzione di rapporti e
proporzioni numeriche o geometriche, i Greci daranno parallelamente il
nome di sinfonia alla connessione armoniosa delle proporzioni in un
insieme architettonico, e di euritmia all’effetto percepito.
MUSICA
ARCHITETTURA
INTERVALLO (accordo
RAPPORTO (di due lunghezze,
consonante o dissonante di due
due superfici...)
note)
ACCORDO (combinazione di tre
PROPORZIONE
o più note)
ARMONIA
SIMMETRIA
EURITMIA melodica
EURITMIA archittettonica
Non possiamo non citare il lavoro di Rudolf Steiner nella comprensione
degli effetti fisiologici, sul corpo e sull’anima, dell’utilizzo cosciente dei
55
principi dell’euritmia. Il maestro definisce nel 1924 l’euritmia come
“parola visibile” 8 , per poi estendere il concetto nelle successive
numerose conferenze sul tema: “L’euritmia è l’arte di rendere visibili la
parola e la musica”. Steiner giungerà ad affermare e dogmatizzare il
potere terapeutico dell’euritmia, laddove il corpo, in sintonia con i suoni
esterni ed interni, si ri-sincronizza con il mondo attraverso un gioco di
risonanze reciproche, dettate da rigide regole numeriche.
Non ci soffermeremo oltre sui numerosi punti di contatto fra le
discipline musicali (composizione, arrangiamento) e le scienze numeriche
e matematiche. Tratteremo l’opera a nostro avviso più significativa,
quella di Bela Bartok, nei paragrafi successivi, ma prima citiamo il lavoro
di Joseph Schillinger (1895-1943) nel campo della composizione
matematica. George Gershwin, Benny Goodman e Glenn Miller furono
fra gli studenti del professor Schillinger, laureato in matematica e
diplomato al conservatorio. Schillinger fu un fautore del punto di vista
Platonico nell’analisi delle relazioni fra matematica e musica, e sviluppò
probabilmente il primo Sistema di Composizione Musicale degno di
questo nome. Nel suo sistema egli combinava note successive intervallate
fra loro secondo la Serie di Fibonacci (considerando i semitoni).
Fig. 17 – La sequenza di Schillinger
8
Dornach, 4 agosto 1922 e Penmaenmawr, 26 agosto 1924
56
Secondo Schillinger questi “intervalli di Fibonacci” producevano lo
stesso senso di armonia che si ritrova nelle proporzioni della crescita
delle foglie su uno stelo. In un suo testo biografico 9 Schillinger racconta
di aver ascoltato con stupore i ritmi causali e caotici della pioggia
battente e delle raffiche di vento durante un temporale, definendola “arte
inconscia”. Egli fu anche il primo a immaginare di mettere in musica
l’andamento di un grafico finanziario, musicando le curve dei mercati
azionari americani, e riscontrando in quella musicalità le impronte
compositive di J.S. Bach (cfr. Hofstadter, op.cit.). Parecchi software
gratuiti come MusiNum, AmusicalGenerator per piattaforme Windows,
o LoShuMusic e FibonacciBlues per Macintosh permettono con estrema
semplicità di ricreare questi esperimenti (sample audio 5.2).
Un altro spunto per l’utilizzo dei numeri di Fibonacci in strutture
ritmiche complesse lo si trova nella musica tradizionale indonesiana. Il
gamelan è un ensemble di strumenti (gong, metallofoni, percussioni,
archi e flauti) che viene suonato da un collettivo di musicisti
estremamente ligi al rituale della struttura. Sul gamelan è obbligatorio
camminare scalzi, facendo attenzione a non urtare o calpestare gli
strumenti, onde non offenderli; e l’accesso alla strumentazione è un atto
di consapevolezza riservato solo ai musicisti scelti. Il gamelan è
considerato un oggetto/luogo sacro e capace di evocare grandi energie
soprannaturali. Le due configurazioni più celebrate sono quelle tipiche di
Bali e di Java.
9
Joseph Schillinger: A Memoir, 1936
57
L’utilizzo del gamelan è oggi utilizzato per accompagnare eventi religiosi
o ufficiali, nei rituali dei villaggi, durante cerimonie pubbliche, oltre che
nelle rappresentazioni teatrali e tradizionali.
Fig. 18 – I Layers del Gamelan, in notazione pianistica
Da un punto di vista musicale, il gamelan esprime melodie fluide, scale
armoniose e molti strati sonori complementari. Si pensi a ogni strato
come un tessuto di strumenti intonati sulla stessa tonalità e allineati allo
stesso tempo. Lo strumento con toni più alti (voce, flauto,…) suona
delle note a una velocità di v bpm, quello che lo segue suona a una
velocità di v/2 bpm, quindi suonando una volta ogni due beat, e così via
fino ai gong più bassi che vengono percossi solo ogni 16 o 32 beat. La
fig. 18 illustra il concetto su una partitura di piano – in questo caso ogni
strumento (ogni strato) esegue la stessa melodia. Ogni strato rinforza gli
strati superiori, senza alcuna sincope; quando uno strumento più basso
suona, suonano anche tutti i sovrastanti.
L’idea del professor David Canright 10 è di sovrapporre i layers
utilizzando intervalli proporzionali ai numeri di Fibonacci; in tal modo
l’esecuzione complessiva risuona con una potenza rinnovata e assoluta, e
l’andamento ritmico, seppure dettato da fredde successioni numeriche,
risulta incredibilmente naturale e toccante. Canright ha esplorato
10
http://www.redshift.com/%7Edcanright/
58
parecchi ambiti compositivi in cui la matematica e la numerologia
possono esprimere una forza e una credibilità indiscutibile. A tutt’oggi
esegue e diffonde le sue composizioni create con scale e intonazioni di
Fibonacci.
59
5.3
Le composizioni Auree di Bela Bartok
Bela Bartok fu un compositore che non solo realizzò una vasta opera
strutturata e variegata, ma costituì anche un punto di cambiamento per la
musica classica nel suo periodo.
Nato a Nagyszentmiklos, Ungheria (ora territorio di Romania) nel 1881,
imparò l’arte del pianoforte da giovanissimo dalla talentuosa madre.
Dopo aver studiato con Laszlo Erkel dal 1894 al 1899 entrò nella
Budapest Royal Academy of Music.
La folgorazione gli capitò con "Also sprach Zarathustra" di Strass,
dopodiché, racconta, di aver subito composto il poema “Kossuth” nel
1903.
Nel 1905, l’incontro fondamentale con la musica folk ungherese,
comprendente tutta la ricca tradizione musicale contadina. Insieme al suo
amico compositore Kodaly pubblicò 20 brani popolari nel 1906,
continuando con una fertilità unica nei 30 anni successivi. In questo
periodo compose "Music for Strings, Percussion and Celesta", i suoi
quartetti d’archi, musica da camera, composizioni per pianoforte, brani
corali e perfino alcune opere per il teatro.
Nel 1940 l’occupazione nazista in Ungheria lo spinse a fuggire negli Stati
Uniti, dove trova la leucemia che lo ferma in ospedale a New York
appena arrivato. Proprio in ospedale gli vengono commissionate le
ultime opere: "Concerto for Orchestra.", la sonata per violino e il
concerto per viola. Morì a 59 anni a New York nel 1945.
Porre un neofita musicale all’ascolto di un’opera di Bartok ottiene l’ovvio
commento di “una musica difficile da ascoltare”. La tecnica compositiva
di Bartok, seppure identificabile e leggibile a chiare lettere nell’ambito
60
della produzione classica di inizio ‘900, risulta eterogenea e infinitamente
varia, riuscendo a catturare il detto neofita su esecuzioni come “Concerto
for Orchestra” piuttosto che in “Bagattella n.4”. Ma per cogliere a pieno
il genio musicale di Bartok dobbiamo andare un po’ più a fondo.
Il processo di razionalizzazione dei metodi di scrittura musicale nei primi
anni ’20 passa abbastanza inosservato agli occhi di Bartok. In quel
periodo il compositore era fin troppo assorbito dal mondo naturista delle
performance folklorisriche e dagli stili musicali che secoli di tradizione
orale avevano pesantemente censurato imponendo costrutti teorici ai
suoni musicali. Furono queste esperienze folk a donare a Bartok una
sorgente di suoni poco familiari, stomacali, sia nel vigore che nella
mollezza: in definitiva un forte senso (perduto) di ordine armonico.
Nessuno di questi suoni e questi stili si combinava comunque con le
nette linee di sviluppo della musica classica Europea, sebbene qualche
elemento in comune esista, e questo si sente riflesso nella musica di
Bartok.
Negli anni ’50, quando i compositori raggiunsero sistemi e formule
ancora più rigorose, Bartok fu evitato ed escluso dall’avanguardia
occidentale. Allo stesso tempo la sua musica scivolò verso il repertorio
fondamentale delle orchestre sinfoniche. A questo punto Lendvai fece la
sua scoperta: Bartok usava un sistema. Egli si occupava dell’indagine dei
fenomeni naturali, e in particolare lavorava con le proporzioni in Media
Aurea, le serie di Fibonacci e con un sistema di rappresentazione per le
note che collega le note attraverso gli assi sul “circle of Fifths”, il cerchio
delle Quinte che arrangia visivamente le dodici note in intervalli di
quinta.
61
Fig. 19 - Il diagramma del “Circle of Fifths” rappresentato nel trattato di Heinichen
del 1728, Der Generalbass in der Composition. Le chiavi minori relative (‘moll’) sono
posizionate accanto alle maggiori (‘dur’), in modo da trovare l’intervallo di quinta fra
ogni segmento alternato.
Tale cerchio costituiva la rete di supporto della musica Barocca come
descritta per prima dal compositore tedesco Heinichen nel 1728; ogni
volta che sentiamo un pattern di frasi in un pezzo di Vivaldi, ad esempio,
inerpicarsi sicuro fra le tonalità, possiamo star sicuri che stia avvenendo
secondo l’ordine del cerchio. Bartok sembra invece scegliere una visione
a poli dello schema, creando tre gruppi di quattro note.
La fuga di apertura di Music for Strings, Percussion and Celesta sembra
confermare le idee di Lendvai: un tranquillo tema cromatico inzia in LA
(ore 12 sul cerchio), e ogni nuovo ingresso è alternato una quinta sopra o
una quinta sotto – ore una, ore sette, e così via. Ovviamente gli ingressi
si incontreranno culminando a ore sei (MI bemolle), dove il movimento
62
insiste in pulsanti MI bemolli. Questo culmine avviene temporalmente
intorno alla 55esima battuta di 89 totali, con 55 e 89 numeri di Fibonacci.
Fig. 20
Sia chiaro che non esiste prova scritta che Bartok abbia lavorato in
questo modo, e che Lendvai sia semplicemente riuscito a descrivere
analiticamente con la Media Aurea qualcosa che Bartok abbia realizzato
spontaneamente
e
naturalmente,
ma
questo
innesca
un’autogiustificazione semantica della presenza di ϕ nella musica di
Bartok!
5.3.1 L’assolo di bassoon della Dance Suite
Il bilanciamento tonale, armonico e ritmico di questo tema musicale è
probabilmente uno degli esempi più chiari della coerenza compositiva di
63
Bartok, che qui mostra tutta la misteriosa disciplina stilistica che guida
l’autore.
Lendvai trova Fibonacci nella Dance Suite in questo modo:
“Il Primo Movimento parte dalle seconde maggiori (numero 2);
il Secondo è costruito sulle terze minori (numero 3);
il Terzo somma i precedenti (2+3+2+3+2) e introduce una scala
pentatonica pura (numero 5).
Le armonie dei movimenti sono tutte basate su uno schema 5+5.
Infine, la melodia del Quarto Movimento segue il pattern 8=5+3,
dove 5=3+2.”
Fig. 21
La sequenza di Fibonacci 2,3,5,8 è evidente e incidentale in tutta la Suite,
tuttavia il suo uso più significativo si trova senz’altro nell’organizzazione
tonale e ritmica presentata dai bassoon. La successione in semitoni degli
intervalli nella melodia delle misure dalla 2 alla 9 è (figura 22):
12321232123201232012533
cioè un pattern ondulatorio sulla sequenza di Fibonacci con ripetizioni
occasionali (punti di reset) del numero climatico 5 e della pausa 0.
64
All’ascolto non si nota altro che una regolarità armoniosa degli intervalli,
seppure infarciti di reset occasionali, con una logica ripetizione che in
qualche modo risulta piacevole e “musicalmente sensata”.
Fig. 22
Per quanto riguarda il ritmo, se consideriamo i gruppi di note
“inizializzati” all’avvio di un legato o di un tenuto, allora il numero di
membri in ogni gruppo è ordinato secondo una serie di Fibonacci (figura
23).
Nella misura 9 ignoriamo la “grace note” e contiamo il Sol come parte
del gruppo dato che si può considerare un punto di arrivo.
Il raggruppamento 1+4 delle misure dalla 5 alla 7 sono variazioni dei
raggruppamenti a 5 che iniziano alla misura 4, e si possono considerare
quindi a loro volta un raggruppamento a 5.
Nella figura 24 continua l’analisi di questi raggruppamenti articolati:
65
Fig. 23
I raggruppamenti 1+5 delle misure dalla 18 alla 20 sono un’ulteriore
variazione dei 5 gruppi della misura 4.
Gli ultimi due raggruppamenti a 4 potrebbero essere uniti come
componenti di un singolo gruppo di 8, successore di Fibonacci di 5.
La liason da ricercare a questo punto è fra l’ascolto e la norma,
ricercando la logica numerale nelle melodie dell’opera
5.3.2 Music for Strings, Percussion, and Celesta, mvt. 1
Il primo movimento di MSPC è una fuga. Come si può vedere da una
veloce analisi dello spartito, esso contiente frequenti cambi di metrica,
denominati a volte “metriche variabili”, oltre a metriche irregolari come
il 5/8, il 7/8 e il 10/8; in definitiva non c’è alcuna apparente metrica
regolare. Non c’è neanche la segnatura di chiave, ma il movimento è
66
centrato sulla tonalità di LA, tonalità in cui il movimento inizia e finisce.
L’intervallo significativo, comunque, resta il tritono LA-MIb.
Si noti la lunga linea melodica che, comunque, inizia come un breve
motivo germinale formato da 5 note (“stem” o “germ-motive”) che
ascende di una terza e ritorna con note diverse, poi sale di nuovo
crescendo fino a un tritono per poi ridiscendere.
La terza frase è una frase di climax, seguita da una quarta frase prima che
inizi la Risposta della misura numero 5. Anche dopo la Risposta, il
soggetto originale continua il suo modo indipendente di sviluppare il
motivo base con cui era iniziato.
È esattamente una “crescita armoniosa”, uno sviluppo a strati che parte
da un seme e impara la sua struttura dagli strati precedenti, proponendola
come base agli strati successivi.
Nel frattempo non si sottovaluti il modo particolare con cui sono
arrangiate le tonalità delle successive Entrata e Soggetto: la procedura
risulta simile a un cuneo in cui i Soggetti entrano in successione di quinte
ascendenti, quindi LA– MI – SI – FA# - DO# - LAb – MIb, mentre le
Risposte entrano in successione di quinte discendenti, LA – RE – SOL –
DO – FA – SIb – MIb. In questo modo c’è un Soggetto o una Risposta
in ognuna delle 12 chiavi di tonalità, e il climax del brano si raggiunge
quando il Soggetto e la Risposta incontrano entrambi il tritono in
opposte direzioni sul Mib (mis.56).
67
Il Cuneo:
•
Eb
•
Ab
•
C#(Db)
•
F#(Gb)
•
B
•
•
•
•
•
E
A
D
G
C
•
F
•
Bb
Eb
Fig. 24
Non tutti gli ingressi sono uguali, ma si trovano dislocati così: LA mis.1,
MI mis. 4, RE mis. 9, SI mis. 12, SOL mis. 16, FA# mis. 26, DO mis.
27, DO# mis. 28, FA mis. 33, LAb mis. 35, SIb mis. 37, MIb mis. 44,
giungendo al climax dinamico del MIb alla mis. 56 per poi tornare
indietro (con una qualche compressione) ritracciando gli intervalli
invertiti verso la tonalità originale di LA. Questo Cuneo comincia con gli
archi bassi, all’ingresso in MIb della misura 56.
Qui l’armonia si ritraccia, e in configurazione di “proporzione vivente”
cammina su e giù per le chiavi e le tonalità imponendo la musicalità dei
suoi intervalli. Proseguendo l’analogia con i concetti espressi nel capitolo
68
3 ci troviamo in presenza di una collettività di semi invece che con un
individuo in crescita.
Bartok impiega nei suoi movimenti solo alcune delle tecniche che imparò
dai suoi studi di musica folk: l’utilizzo di metriche irregolari, il loro tipo
di posizionamento delle liriche e delle melodie, lo stile del cantato che lui
definì “parlando-rubato”, e l’uso frequente di quarte e seconde (e delle
loro inversioni quinte e settime) sia nella melodia che nell’armonia, ben
differenti dall’armonia tradizionale europea di quel tempo. Inoltre, egli
utilizzò una sorta di cromatismo modale (che apparirà solo negli studi
jazz dopo il 1935) in cui la stessa scala o lo stesso modo poteva includere
due note della stessa “pitch-class”, come FA diesis e FA naturale (non
esiste alcun modo né alcuna scala minore o maggiore che contiene due
note con lo stesso nome base). Di certo la sua musica non risulta per
questo semplice o pop. Anzi, la sua musica costituisce un fondamentale e
importante passo avanti.
A questo punto della sua vita, Bartok sembra aver compiuto uno sforzo
supplementare e ulteriore per organizzare la sua musica, tale da far sì che
le parti costituenti cambiano o arrivano a un climax, o comunque
indicano che qualche evento distintivo ha avuto luogo. Ad esempio, le
misure del MSPC hanno dimensioni differenti, e la Sezione Aurea si può
ritrovare contando sempre le tradizionali otto note, per giungere alla
Golden Ratio esattamente all’accordo di culmine.
Questo movimento potrebbe sembrare grigio e misterioso a un primo
ascolto. È simile ad alcuni altri movimenti di Bartok chiamati “Night
Music”, nel senso che evocano e richiamano un tipo di musica che
potrebbe essere immaginata di notte.
Questi movimenti sono di solito i lenti movimenti interni dei quartetti
d’archi e delle sinfonie di Bartok, e sono rimasti famosi gli effetti e i
69
suoni atipici che li costituivano. Proprio il secondo ed il quarto
movimento di MSPC fanno parte del set di “Night Music”; vale la pena
ascoltarlo in silenzio.
70
BIBLIOGRAFIA
Adkins, D. “Golden mean durational analysis as a guide to orchestral repeats and tempos”
Univ. Missouri, 1986
Andrews, A. http://www.marketwarrior.com/books/AA.htm
Beard, R.S. “The Fibonacci drawing board design of the great pyramid of Gizeh”, The
Fibonacci Quarterly, 1968
Colman, Coan, “Proportional Form”, G.P.Putnam’s Sons, 1920
Condat, J.B. “Nombre d'or et musique” Philips-France, 1983
Coxeter, H.S.M. “The Golden Section, phyllotaxis, and Wythoff’s game”, Scripta
Mathematica n.19, pp. 135-143 - 1953
D’Arcy Thompson, “Growth and Form”, Cambridge University Press, 1912
Di Rienzo, E. “La Divina Proportione”, EDR 2001
Dunlap, R.A. “The golden ratio and Fibonacci numbers”, World Scientific 1997
Fraenkel, Levitt, Shimshoni, “Characterisation of the Set of values f(n)=[n alpha], n=1,2” in
Discrete Mathematics Vol 2, 1972, pp. 332-345.
Frost, Prechter, “Elliott Wave Principle“, New Classic Library 1990
Gardner, M.“Fibonacci and Lucas Numbers” – Mathematical Circus, Penguin books, 1979
Ghyka, M.C. “Le Nombre d’or “, Gallimard 1931
Ginzburg, C. “The enigma of Piero”, Verso 2000
Gozza, P.“La musica nella rivoluzione scientifica del Seicento”, Il Mulino 1989
Guilleminot, H. “La Matière et la Vie”, Flammarion, 1920
Jaeger, F.M. “Lectures on the Principle of Symmetry”, 1917
Johnstone, J. “The Mechanism of Life”, Londra, 1921
Knott R., http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
Herz-Fischler, R. “A mathematical History of the Golden Number”, Dover Publications
1998
Hofstadter, D. “Goedel, Escher, Bach”, Basic Books, 1999
Lange, C. http://www.sectioaurea.com/sectioaurea/sectio_aurea.htm
Law Whyte, L. “The Unitary Principle In Physics And Biology”, London The Cresset Press
1999
Lendvai, E. “Bela Bartók, An Analysis of His Music” Kahn & Averill, 1971, p. 29.
Locke, D. “Numerical aspects of Bartok's string quartets” Musical times, vol. 128, no.1732,
1987
Luca, C.“Technical Analysis Applications”, NYIF 2000.
71
Luca, C. “Trading in the global currency markets”, NYIF 2001
Markowsky, G. “Misconceptions about the Golden Ratio”, College Mathematics Journal 1992
Mohr, J.J. “Golden proportion in the string quartets of Bela Bartok” Univ. of Alberta, 1980.
p.179
Morge, T. http://www.blackthornecapital.com/
Murphy, J.J. “Technical analysis of the future markets”, NYIF 1986
Nocera, D. “Gli strumenti del trader”, PC Magazine n.171, 2000
Norden, H. “Proportions in Music” Fibonacci Quarterly 2, 1964, p.219
Powell, N. W. “Fibonacci and the Golden Mean: Rabbits, Rumbas, and Rondeaux” in: Journal
of Music Theory 23, 1979, pp.227-73
Ruskworth, G. D. “The Golden Section in Organ Case Design” in: Condat, J.B., 'Nombre
d'or et musique', FfM. 1988
Schroeder, M.R. “Number Theory in Science and Communication, With Applications in
Cryptography”, Springer-Verlag, 1990.
Schroeder, M.R. “Fractals, Chaos and Power Laws”, 1992, Freeman.
Singh, P. “The so-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India”, Historia
Mathematica n.12 pp. 229-244
Spiegel M.R., “Differenze Finite ed Equazioni alle Differenze”, Etas Libri 1981
Stewart, I. “Fibonacci forgeries”, Scientific American, May 1995, pp. 102-105
Strogatz, S. “Sincronia”, Rizzoli 2002
Strohmeier, Westbrook, “Divine Harmony”, Berkeley Hills Books, 1999
The Mathematics Magazine Vol 68 No, October 1995
Togneti, Winley, van Ravenstein “The Fibonacci Tree, Hofstadter and the Golden String”
in “Applications of Fibonacci Numbers, 3rd International Conference”, A N Phillippou, pp.
325-334.
Webster, J.H.D. “Golden Mean Form in Music” ML 31, 1950, pp. 238-48
72