Emanule Cabra and his geometry Ebook

Anno
2014
1
Sommario
Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli ........................................................................................................... 2
▪ Altezze relativa a un vertice ............................................................................................................................ 2
▪ Mediane relative a un lato .............................................................................................................................. 2
▪ Bisettrici relativi a un lato ............................................................................................................................... 2
Rette perpendicolari .......................................................................................................................................... 3
▪ Teorema di esistenza delle rette perpendicolari ............................................................................................ 4
▪ Asse di un segmento ....................................................................................................................................... 5
Le Rette parallele ............................................................................................................................................... 6
▪ Il teorema delle rette parallele ....................................................................................................................... 7
▪ Rette tagliate da una trasversale ................................................................................................................... 8
Somma degli angoli interni di un poligono convesso ........................................................................................ 9
I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli ................................................................................................. 10
▪ Primo criterio di congruenza: ........................................................................................................................ 10
▪ Secondo criterio di congruenza: ................................................................................................................... 11
▪ Terzo criterio di congruenza: ........................................................................................................................ 12
▪ Quarto criterio di congruenza ....................................................................................................................... 13
I quadrilateri .................................................................................................................................................... 14
▪ Il parallelogramma ....................................................................................................................................... 14
▪ Il trapezio...................................................................................................................................................... 15
▪ Il trapezio isoscele ....................................................................................................................................... 15
▪ Il trapezio rettangolo ................................................................................................................................... 15
I parallelogrammi............................................................................................................................................. 16
▪ Il rettangolo .................................................................................................................................................. 16
▪ Il rombo ........................................................................................................................................................ 17
▪ Il quadrato .................................................................................................................................................... 18
Il fascio di rette parallele ................................................................................................................................. 19
▪ Il teorema del fascio di rette parallele...................................................................................................... 19
GeoGebra......................................................................................................................................................... 20
▪ Che cos’è GeoGebra? .................................................................................................................................... 20
2
Altezze, mediane, bisettrici dei triangoli
▪ Altezze relativa a un vertice
Dato un triangolo ABC, è il segmento che partendo dal vertice opposto
al lato, incontra il lato stesso formando due angoli retti.
▪ Mediane relative a un lato
Dato un triangolo ABC, è il segmento che ha per estremi il punto medio
del lato e il vertice opposto a quel lato.
▪ Bisettrici relativi a un lato
Dato un triangolo ABC, è il segmento costituito dai punti della
bisettrice dell’angolo A che sono anche punti del triangolo.
.
3
Rette perpendicolari
▪Definizione: Due rette sono
perpendicolari quando dividono il piano
in quattro angoli retti.
4
▪ Teorema di esistenza delle rette perpendicolari
▪Definizione: Per un punto del piano passa
una e una sola retta perpendicolare ad un
retta data.
▪Figura: Il punto P appartiene alla retta r.
▪Piede della perpendicolare: E’ il punto in cui
la perpendicolare interseca la retta data.
5
▪ Asse di un segmento
▪Definizione: Si chiama asse di un
segmento la retta perpendicolare al
segmento passante per il suo punto medio.
6
Le Rette parallele
▪Definizione: Due rette sono parallele
quando non hanno alcun punto in comune
oppure quando coincidono.
▪Figura: La retta r e la retta s sono parallele
perché non hanno alcun punto in comune,
mentre la retta t e la retta u sono parallele
perché coincidono.
7
▪ Il teorema delle rette parallele
▪Teorema: Se due rette tagliate da una
trasversale formano una coppia di angoli
alterni congruenti, allora sono parallele.
▪Figura: L’angolo α ≅ β di conseguenza le
due rette sono parallele (r ∥ s).
8
▪ Rette tagliate da una trasversale
Considerando due rette parallele tagliate da una trasversale formano otto angoli
che vengono suddivisi in:
-Angoli alterni (interni/ esterni) congruenti;
-Angoli corrispondenti congruenti;
-Angoli coniugati(interni/esterni) supplementari;
9
Somma degli angoli interni di un poligono convesso
▪Teorema: In un poligono convesso di n lati, la somma degli
angoli interni è congruente a (n-2)×180˚
-Poligono di 6 lati scomposto in 4 triangoli.
-Poligono di 7 lati scomposto in 5 triangoli.
-Poligono di 8 lati scomposto in 6 triangoli.
10
I criteri di congruenza dei triangoli rettangoli
▪ Primo criterio di congruenza:
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno
rispettivamente congruenti i due cateti.
I triangoli hanno congruenti i due cateti e l’angolo compreso
fra loro ovvero l’angolo retto, quindi sono congruenti per il
primo criterio di congruenza.
11
▪ Secondo criterio di congruenza:
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti
rispettivamente un cateto e un angolo acuto corrispondente.
I triangoli hanno congruenti i due angoli ovvero l’angolo retto
e quello acuto e un lato, quindi sono congruenti per il secondo
criterio di congruenza.
12
▪ Terzo criterio di congruenza:
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti
rispettivamente l'ipotenusa e un angolo acuto.
I due triangoli hanno congruenti i due angoli ovvero quello
acuto e quello retto e l’ipotenusa quindi sono congruenti per il
terzo criterio di congruenza.
13
▪ Quarto criterio di congruenza
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti
rispettivamente l’ipotenusa e un cateto.
14
I quadrilateri
▪ Il parallelogramma
▪Definizione: Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati
opposti paralleli.
Il parallelogramma ha cinque condizioni necessarie affinché sia un quadrilatero.
▪Le diagonali lo divide in due triangoli congruenti:
▪ABD≅BCD e ABC≅ACD
▪Lati opposti congruenti:
▪AD≅BC e AB≅CD
▪Angoli opposti congruenti:
▪ A°≅C° e B°≅D°
▪Angoli adiacenti a ogni lato supplementari:
▪(A) ° +(B) ° =180°
▪Le diagonali si incontrano nel loro punto medio:
▪ AM≅MC e BM≅MD
15
▪ Il trapezio
▪Definizione: Un trapezio è un quadrilatero con due soli lati paralleli.
▪Figura: I due lati paralleli sono le basi, la base
maggiore (AB) e la base minore (CD).
I due lati obliqui vengono chiamati lati del trapezio. La distanza fra le due basi è
l’altezza (DH1).
▪ Il trapezio isoscele
▪Definizione: Un trapezio isoscele è un trapezio avente i lati
obliqui congruenti.
▪Teorema: In un trapezio isoscele gli angoli
adiacenti a una delle basi sono congruenti, il trapezio è isoscele.
▪ Il trapezio rettangolo
▪Definizione: Un trapezio rettangolo è un trapezio avente uno dei lati
perpendicolari alle basi.
16
I parallelogrammi
▪ Il rettangolo
▪Definizione: Il rettangolo è un parallelogramma avente tutti e
quattro gli angoli congruenti.
▪Teorema: Un rettangolo ha le diagonali congruenti.
▪Teorema: Un parallelogramma avente le diagonali congruenti
è un rettangolo.
▪Teorema: In un triangolo rettangolo la mediana relativa
all’ipotenusa è congruente a metà ipotenusa.
17
▪ Il rombo
▪Definizione: Un rombo è un parallelogramma avente i
quattro lati congruenti.
▪Proprietà: Un rombo ha le diagonali che sono perpendicolari
fra di loro e sono bisettrici degli angoli.
▪Criterio per stabilire se è un parallelogramma:
Se un parallelogramma ha:
▪ le diagonali perpendicolari,
oppure
▪ le diagonali che sono bisettrici degli angoli,
allora è un rombo.
18
▪ Il quadrato
▪Definizione: Un quadrato è un parallelogramma avente i
quattro lati e i quattro angoli congruenti.
▪Teorema: Un quadrato ha le diagonali congruenti; esse sono
perpendicolari fra loro e bisettrici degli angoli.
▪Criterio per stabilire se è un parallelogramma:
Se un parallelogramma ha:
▪ le diagonali congruenti e perpendicolari,
oppure
▪ le diagonali congruenti e una di esse è bisettrice di un angolo,
allora è un quadrato.
19
Il fascio di rette parallele
▪ Il teorema del fascio di rette parallele
▪Teorema: Dato un fascio di rette parallele tagliate da due
trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale
corrispondono segmenti congruenti sull’ altra trasversale.
20
GeoGebra
▪ Che cos’è GeoGebra?
GeoGebra è un programma semplice e intuitivo adatto a tutti.
Con GeoGebra è possibile fare costruzioni geometriche
semplici ma anche più impegnative. E’ molto educativo ed è
molto utile nell’ambito scolastico.
Per scaricare GeoGebra andare su questo sito:
▪http://www.geogebra.org/cms/it/download/
Capra Emanuele