Indice - Dipartimento di Fisica e Astronomia

Indice
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Capitolo 1
LE ONDE
Cos’è un’onda ?
Classicamente, è la perturbazione di un mezzo elastico che si propaga attraverso il
mezzo stesso...
Quand’è che un’onda si dice “linearmente polarizzata” ?
Un’onda si dice linearmente polarizzata quando la perturbazione si propaga solo
su un piano fisso dello spazio. Di conseguenza il campo magnetico oscillerà sul piano
perpendicolare...
Quandè che un’onda si dice “circolarmente polarizzata” ?
Un’onda si dice circolarmente polarizzata quando il vettore del campo elettrico è
rappresentabile come somma di due vettori oscillanti su piani perpendicolari tra loro
e che presentano uno sfasamento tra le loro funzioni oscillanti. In questo modo, il vettore risultante ruoterà perpendicolarmente alla direzione di propagazione dell’onda
con la stessa frequenza dell’onda stessa.
La perturbazione è una quantità scalare o vettoriale ?
Può essere considerata scalare se non c’è polarizzazione, è vettoriale ogni qualvolta la perturbazione deve essere considerata orientata nello spazio.
Qual e’ la relazione tra l’ampiezza e l’energia di un’onda ?
L’energia e’ la capacita’ di compiere un lavoro....come nel caso di una molla o di
un elastico....quindi l’energia e’ proporzionale al quadrato dell’ampiezza-spostamento,
ovvero e’ proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’oscillazione.
Cosè la forma di un’onda ?
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4
CAPITOLO 1.
LE ONDE
È il profilo della perturbazione descritto come funzione dello spazio o del tempo.
Qual’è l’espressione analitica di un’onda ?
Distinguiamo il 1) caso “statico”, onda “congelata”, il 2) caso “dinamico”, ovvero
l’onda osservata mentre “passa” per un punto, anche detto caso Euleriano, e il 3)
caso “dinamico”, ovvero il profilo spaziale dell’onda ad un qualsiasi istante t, detto
anche punto di vista Lagrangiano:
x
Ψ(x, t) = f (t − )
v
dove v è la velocità di propagazione dell’onda.
(1.1)
Una espressione equivalente dell’onda può essere derivata operando la sostituzione
x′ = x − vt nell’espressione “statica” (3.1). Si ottiene
Ψ(x, t) = f (x − vt)
(1.2)
L’equazione differenziale di un’onda monodimensionale è
1 ∂2Ψ
∂2Ψ
= 2 2
(1.3)
∂x2
v ∂t
L’espressione piú generale che soddisfa questa equazione differenziale sará del tipo
Ψ = C1 f (x − vt) + C2 g(x + vt),
(1.4)
dove C1 , C2 sono costanti e le funzioni sono differenziabili due volte. Si tratta ovviamente della somma di due onde che si muovono in direzioni opposte lungo l’asse x,
con la stessa velocità v, ma non necessariamente con lo stesso profilo.
Cos’è un’onda armonica ?
È un’onda descritta da una funzione armonica, un seno o di un coseno.
L’espressione di un’onda armonica è
Ψ(x, t) = Asin[φ(t, x)] = Acos(wt − kx)
(1.5)
dove A è l’ampiezza e la cooordinata angolare φ assume la forma wt − kx, essendo
w = 2π
la velocità angolare o frequenza, e k = 2π
il numero d’onda.
P
λ
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Cos’è la velocità di fase di un’onda ?
Ricordiamo che dalla espressione (3.7) possiamo ricaviamo l’espressione della
velocità
v=
∂Ψ
∂t
∓ ∂Ψ
∂x
(1.6)
Questa è l’espressione della velocità di fase, vφ , di un’onda. Nel caso in cui l’onda
non cambi forma, essa coincide con l’espressione più banale v = ∂x/∂t. Tuttavia,
l’espressione (3.14) è più generale e tiene conto anche della possibilità che il profilo
dell’onda si modifichi nel tempo. Quindi, la velocità di fase rappresenta la
velocità di un particolare punto del profilo dell’onda, spesso contraddistinto
dal valore della cosiddetta fase del suo profilo.
Ricordiamo che il segno negativo davanti al rapporto delle due derivate parziali
corrisponde al moto dell’onda nel senso positivo delle x.
Qual’è la velocità di fase di un’onda armonica?
La velocità di fase di un’onda armonica è
vφ =
∂Ψ
∂t
− ∂Ψ
∂x
=
w
k
(1.7)
Cos’è la velocità di gruppo? (caso di onde armoniche...)
Supponiamo ora di avere più onde sinusoidali, di frequenze diverse, che si sommano tra di loro. Consideriamo ora la somma di due di tali onde aventi frequenze
w1 e w2 , corrispondenti alle lunghezze d’onda λ1 e λ2 , molto vicine tra di loro.
Assumiamo per semplicità che le due onde abbiano la stessa ampiezza A. Siano
Ψ1 = Acos(k1 x − w1 t)
Ψ2 = Acos(k2 x − w2 t)
La somma di queste due onde, come si sa, è
Ψ = 2Acos(km x − wm t)cos(k̄x − w̄t)
dove
wm = 21 (w1 − w2 )
km = 12 (k1 − k2 )
e
e
w̄ = 21 (w1 + w2 ) e
k̄ = 21 (k1 + k2 )
(1.8)
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CAPITOLO 1.
LE ONDE
Qui abbiamo due funzioni armoniche, e ciascuna di esse ha la sua propria velocità
di fase. La velocità di fase della componente di frequenza più alta è data dalla
vφ′ =
w̄
k̄
(1.9)
La velocità di fase della componente di bassa frequenza, invece, è detta velocità di
gruppo ed è data dall’espressione
vφ′′ =
w1 − w2
△w
∂w
wm
=
=
∼
km
k1 − k2
△k
∂k
(1.10)
Poiché w = kv, derivando w rispetto a k otteniamo una cosa strana, e cioè che la velocità di fase dell’onda di bassa frequenza è uguale alla velocità di fase dell’armonica
di frequenza w1 (∼ w2 ) più un termine che dipende da come varia (se varia !) la
velocità di fase stessa al variare della frequenza w. Per questo motivo, vφ′′ , viene
detta velocità di gruppo, vg , la cui forma è quindi:
vg = vφ + k
dv
dk
(1.11)
Ora, come si vede, se la velocità di fase non dipende dalla frequenza dell’onda, allora
il secondo termine si annulla e la velocità di gruppo coincide con quella di fase.
L’onda risultante dalla somma delle due onde si sposta perciò “rigidamente”, senza
cioè cambiare forma nel tempo, e questa forma si chiama battimento. In molti casi
pratici, tuttavia, la velocità di fase dipende dalla frequenza dell’onda, oltre che dal
mezzo in cui si propaga. Questo avviene, per esempio, alle onde elettromagnetiche
nei dielettrici, o alle onde sismiche, quando attraversano strati diversi della crosta
terrestre. In tutti questi casi, la velocità di gruppo è distinta dalla velocità di fase
delle singole onde. L’onda risultante cambia continuamente il suo profilo, a causa
delle due (o più) componenti che si muovono a velocità diverse. Notiamo che, se
l’onda portante ha frequenza w̄ ∼ w1 ∼ w2 , la sua ampiezza, e quindi la sua
energia ( che, ricordiamo, è proporzionale al quadrato dell’ampiezza), è modulata
dalla componente di bassa frequenza wm (frequenza di modulazione). Ne consegue
che sarà solo la velocità dell’armonica di bassa frequenza a determinare la
velocità di propagazione dell’energia, ovvero dell’informazione !. Cosı̀ è
la velocità di gruppo, e non le velocità delle singole componenti, a determinare la
velocità di trasmissione delle informazioni.
Perciò, la velocità di fase e la velocità di gruppo sono molto importanti quando si
studia la propagazione delle onde nella materia, in particolare nei plasmi, nei metalli
e nei mezzi dispersivi (dielettrici).
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Cos’è un fronte d’onda?
È la superficie luogo dei punti aventi la stessa fase; puo’ essere piana, sferica o di
forma qualsiasi...
Cosa sono i raggi?
Sono le linee perpendicolari al fronte d’onda che si propaga.
Cosa sono le onde piane ?
Se l’espressione generale di un’onda monodimensionale Ψ(x, t) = f (x − vt) rappresenta una proprietà dello spazio (pressione, temperatura, intensità del campo
elettrico o magnetico, etc), poiché tale funzione dipende solo dalla coordinata x,
essa rappresenta un’onda piana.
L’espressione tridimensionale di un’onda piana sarà
1 ∂2Ψ
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ
+
+
=
∂x2
∂y 2
∂z 2
v 2 ∂t2
(1.12)
od anche
1 ∂2Ψ
v 2 ∂t2
Un’onda piana è rappresentabile come un fascio di raggi paralleli.
▽2 Ψ =
(1.13)
Cosa sono le onde sferiche ?
In un’onda sferica la perturbazione si sposta con la stessa velocitá dell’onda
piana. La perturbazione, comunque, diventa sempre piú debole mano a mano che
va aumentando la distanza dalla sorgente O. Poiché l’energia della perturbazione è
proporzionale al quadrato dell’ampiezza ed è inoltre inversamente proporzionale al
quadrato della distanza r da O, ne risulta che l’ampiezza della perturbazione deve
essere inversamente proporzionale alla distanza r. L’espressione di un’onda sferica
diventa:
f (r − vt)
Ψ(r, t) =
(1.14)
r
o anche
1 ∂2
1 ∂2Ψ
(rΨ)
=
.
(1.15)
r ∂r 2
v 2 ∂t2
Cosa afferma il principio di Huygens-Fresnel ?
Formulato nell’ambito della teoria ondulatoria della luce, potrebbe essere generalizzato dicendo che ogni punto di un fronte d’onda che si propaga in un mezzo
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CAPITOLO 1.
LE ONDE
elastico omogeneo e isotropo è sorgente di ond sferiche secondarie identiche aventi la
stessa lunghezza d’onda dell’onda generatrice e ampiezza proporzionale all’elemento
di superficie associato al punto del fronte d’onda considerato.
Come venivano chiamate le onde luminose agli albori dell’ottica ondulatoria ?
Perturbazioni ottiche. Per un certo tempo, l’ipotetico mezzo elastico attraverso
il quale si propagano le perturbazioni ottiche fu chiamato etere.
Cosa dice il principio di sovrapposizione delle perturbazioni (onde) ?
Praticamente... che la perturbazione del mezzo elastico in un certo punto e ad un
certo istante è data dalla somma di tutte le perturbazioni ivi presenti prese con il
loro segno, eventualmente trattate come grandezze vettoriali. In pratica si tratta di
una sovrapposizione, nello spazio, di due campi elettromagnetici.
Capitolo 2
LE ONDE
ELETTROMAGNETICHE richiami di background culturale...
Quali sono le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo ? (ricordare solo
le relazioni funzionali tra le grandezze in gioco)
Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono:
1)la legge di Gauss elettrica (presenza di monopolo), 2) la legge di Gauss magnetica (assenza di monopolo), 3) la legge dell’induzione di Faraday e la 4) la
legge della circuitazione di Ampère.
Se introduciamo il vettore spostamento elettrico possiamo scrivere:
1)
2)
3)
4)
R
S
R
S
H
s
H
s
Dn dS =
R
V
ρdV
Hn dS = 0
Es ds = −µ0
Hs ds =
R
S
R
S
∂Hn
dS
∂t
∂Dn
dS
∂t
+
R
S
J˙n dS
Quali sono le leggi di Maxwell? (ricordare le relazioni funzionali tra le
grandezze in gioco)
Siccome le equazioni che esprimono le quattro leggi fondamentali dell’elettromagnetismo
sono valide qualsiasi siano le dimensioni dei volumi e delle superfici considerate,
potremo anche scrivere:
1)
divD = ρ
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10 CAPITOLO 2. LE ONDE ELETTROMAGNETICHE - RICHIAMI DI BACKGROUND CULTUR
2)
divH = 0
3)
rotE = −µ0 ∂H
∂t
4)
rotH =
∂D
∂t
+ J˙
od anche
1)
∇·D =ρ
2)
∇·H =0
3)
∇ × E = −µ0 ∂H
∂t
4)
∇×H =
∂D
∂t
+ J˙
Cosa sono le onde elettromagnetiche ?
Sono una soluzione particolare delle equazioni di Maxwell ottenuta consideriamo
un campo elettromagnetico in una regione dello spazio occupata da un dielettrico
ISOTROPO ed OMOGENEO in cui la densitá di CARICA e la densitá di CORRENTE siano ovunque NULLE. In questo caso, le equazioni di Maxwell possono
essere riscritte nel modo seguente:
∇·E =0
(2.1)
∇·H =0
(2.2)
∇ × E = −µ0
∂H
∂t
(2.3)
∂E
(2.4)
∂t
Come si vede, in questo caso le equazioni di Maxwell diventano SIMMETRICHE rispetto ad E ed H, eccetto che per una differenza di segno.
∇ × H = ǫ0
Esiste una soluzione delle equazioni di Maxwell in cui l’intensità del
campo elettrico, E, e l’intensità del campo magnetico, H, sono supposti
dipendere solo dal tempo, t, e dalle cooordinate x, y, z. Questa soluzione rappresenta un’onda piana “polarizzata” (le perturbazioni applicate ai punti dello
spazio sono grandezze vettoriali):
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risulta
∂2H
∂t2
Una simile equazione può essere ottenuta per il campo elettrico
∇2 H = ǫ0 µ0
(2.5)
∂2E
∇ E = ǫ0 µ0 2
∂t
(2.6)
2
Queste sono le equazioni di un’onda piana!
Qual’è la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto?
√
La velocitá di propagazione é: v = 1/ ǫ0 µ0 . Essendo ǫ0 µ0 = 11.12×10−18s2 /m2 ,
si ottiene v ∼ 3 × 108 m/s. Questo risultato è in ottimo accordo con la misura delle
velocità della luce di 315,300 Km/s, ottenuta da Fizeau nel 1849. Nel 1983, la 17ma
Conferenza Generale dei Pesi e delle Misure a Parigi ridefinı̀ la lunghezza del metro
ed ora la velocità della luce vale c = 2.99792458 × 108 m/s.
È importante notare che la velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche
NON DIPENDE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO ADOTTATO.
Cosa ci dice il fatto che la velocità di propagazione sia una costante che
non dipende dal sistema di riferimento?
Ci dice che solo le trasformazioni di Lorentz sono valide... cioè che non è un caso
classico... quindi, necessità di una ridefinizione di sistema inerziale...
Che forma hanno le onde elettromagnetiche ?
Tutte le evidenze sperimentali legate ai fenomeni di interferenza e diffrazione
suggeriscono che le onde elettromagnetiche devono essere onde armoniche.
Le soluzioni delle equazioni di Maxwell saranno quindi del tipo:
Ey (x, t) = E0y cos [w(t − x/c) + ǫ]
(2.7)
Hz (x, t) = H0z cos [w(t − x/c) + ǫ]
(2.8)
Ricordiamo che possiamo scrivere
Ey = µ0 cHz
(2.9)
Cos’è il vettore di Poynting? (ricordare solo i concetti e la sua formulazione S=ExH)
12 CAPITOLO 2. LE ONDE ELETTROMAGNETICHE - RICHIAMI DI BACKGROUND CULTUR
Sappiamo che la densità di energia di un campo elettrico (come la si pu’ò calcolare, ad esempio, nello spazio compreso tra i due piatti di un condensatore) è data
dall’espressione
ǫ0
(2.10)
uE = E 2
2
La densità di energia del campo magnetico (calcolata, per esempio, all’interno di un
toroide) risulta
µ0
uH = H 2
(2.11)
2
√
Essendo Ey = cµ0 Hz e c = 1/ ǫ0 µ0 , si conclude anche che
u = uE + uH = ǫ0 E 2 = µ0 H 2
(2.12)
ove, per semplicità, tralasciamo di considerare l’ortogonalità dei due vettori E ed
H.
Per rappresentare il flusso di energia elettromagnetica, S, attraverso una superficie nell’unità di tempo, basta considerare l’espressione
S = uc = uE c + uH c = ǫ0 E 2 c = ǫ0 E.c2 µ0 H = EH
(2.13)
Quindi, in un campo elettromagnetico il flusso di energia per unitá di area é rappresentato da un vettore S, chiamato vettore di Poynting, dato dal prodotto vettoriale
S= E×H
(2.14)
Il valore mediato nel tempo del vettore di Poynting è
hSi =
cǫ0 2
c2 ǫ0 µ0
|E0 × H0 | =
E
2
2 0
(2.15)
Che cosa sono il momento di un fotone e la pressione di radiazione?
La teoria speciale della relativitá dimostra che un singolo fotone, seppur privo di
massa, possiede tuttavia un momento p dato dalla
p=
hν
h
=
c
λ
(2.16)
La pressione di radiazione di un’onda elettromagnetica è
Prad = ∆p/∆t = Nhν/c =
S
=u
c
(2.17)
13
Se consideriamo la densitá di energia di un campo di radiazione isotropo ρ(λ, T ), la
pressione di radiazione deve necessariamente essere espressa come
Prad = 1/3ρ(λ, T )
(2.18)
Che cos’è l’onda di de Broglie?
Essendo il momento associato ad un fotone
p = hν/c = h/λ
analogamente, anche alle particelle materiali (in particolare gli elettroni) possono
essere associati delle onde di lunghezza d’onda
λ=
h
p
(2.19)
dove p é il momento della particella.
Cos‘è il piano di polarizzazione della luce ?
È il piano dove giace il vettore elettrico oscillante. Ricordare che la sovrapposizione
di onde polarizzate genera onde polarizzate ellitticamente o circolarmente.........
Cos’è l’effetto Doppler ?
Si dimostra che, in completa analogia con quanto avviene nella propagazione dei
suoni, si ha:
v
∆λ
=
(2.20)
λ
c
L’espressione relativistica dell’effetto Doppler per le onde elettromagnetiche è:
λ = λ0
"
1+
1−
v
c
v
c
#1/2
(2.21)
14 CAPITOLO 2. LE ONDE ELETTROMAGNETICHE - RICHIAMI DI BACKGROUND CULTUR
Capitolo 3
IL CAMPO DI RADIAZIONE richiami di background culturale...
Come é prodotta la luce?
La luce é prodotta dal moto accelerato delle particelle cariche che costituiscono la
materia: elettroni, ioni, molecole polarizzate, in genere, dipoli elettrici, strutture
cristalline vibranti con cariche localizzate. Le onde elettromagnetiche sono prodotte
da un cambiamento dello stato energetico di cariche elettriche in moto. Sebbene solo
la meccanica quantistica sia in grado di descrivere adeguatamente il comportamento
degli oscillatori materiali, la fisica classica puó tuttavia fornire alcuni modelli di base
che possono spiegare i principali fenomeni osservati.
Qual’è l’energia di un fotone?
L’energia di un fotone è essenzialmente determinata dall’energia dell’interazione
tra i campi elettrici e magnetici che lo hanno prodotto. In ultima analisi essa è
∆E = hν
(3.1)
Fotoni di diversa lunghezza d’onda, ovvero di diverso colore derivano quindi da
diverse energie di interazione.
Il fotone è onda o particella?
Viene localizzato come una particella in un certo punto dello spazio. Tuttavia, la probabilità di trovarlo in un dato punto dello spazio dipende dal quadrato
dell’ampiezza della sua “funzione d’onda”. E’ quindi descrivibile come un fenomeno
ondulatorio classico, cioè come un’onda. I fenomeni di interferenza rappresentano
la probabilità di osservare un fotone in certi punti dello spazio. La diffrazione
15
16 CAPITOLO 3. IL CAMPO DI RADIAZIONE - RICHIAMI DI BACKGROUND CULTURALE...
e l’interferenza da una o più fenditure o il fuoco di una lente parlano quindi la
stessa lingua...definiscono la probabilità spaziale di esistenza di un fotone. Tuttavia, quando lo si osserva, esso viene localizzato in un unico luogo, dove avviene
l’interazione con il detector...
Qual’è la differenza tra energia e intensità ?
L’energia è quella del singolo fotone, l’intensità è data dal numero di fotoni emessi
al secondo dalla sorgente moltiplicata per l’energia del singolo fotone.
La distinzione nasce dall’effetto fotoelettrico. In esso si vede che intensità seppure elevate di fotoni di una data energia possono non essere in grado di eccitare livelli energetici come possono fare flussi meno intensi di fotoni ma individualmente di
maggiore energia (frequenza). Questo è il fenomeno della quantizzazione dell’energia
elettromagnetica e la prova dell’esistenza dei fotoni. I fotoni emessi dai corpi materiali alla temperatura T sono il prodotto di una grande varietà di processi di
interazione tra cariche elettriche e campi di forze elettromagnetiche e sono perciò
molto comuni nell’universo.
I meccanismi di emissione si distinguono in due grandi famiglie: processi termici
e processi non termici.
Dire un caso di emissione non termica?
Ciclotrone!
Cos’è il corpo nero?
È il caso di emissione termica per antonomasia. Al buio tutti gli oggetti ci
appaiono ”neri”, ma quelli che noi definiamo come ” corpi neri” appaiono tali anche
in piena luce. Il fatto é che, per la nostra vista, il colore nero corrisponde alla
incapacitá di un corpo di riflettere la luce visibile che lo illumina. Il nerofumo, per
esempio, é costituito da minuscole particelle carboniose porose di forma irregolare
ed ha infatti la proprietá di intrappolare la luce all’interno della sua struttura fisica.
Per questo motivo il nerofumo assorbe la luce invece di rifletterla.
Il corpo nero è quindi un corpo che assorbe tutte le radiazioni che lo colpiscono,
cioè non riflette! La radiazione che emette è perciò detta radiazione di corpo nero e
dipende principalmente dalla sua temperatura.
Cos’è lo spettro di corpo nero ?
Definiamo spettro di corpo nero lo spettro continuo delle radiazioni elettromagnetiche emesse dai corpi materiali (generalmente in condizioni di densità relativamente elevate) quando il loro spettro non è contaminato dalla emissione riflessa di
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altre sorgenti esterne. Un oggetto non troppo luminoso posto in una grande stanza
buia con pareti non riflettenti, o le stelle nello spazio cosmico, sono buoni esempi di
corpi neri. Comunque, un corpo nero ideale si realizza costruendo una cavità munita
di una piccola apertura dalla quale può uscire la radiazione.
Cosè l’equilibrio termodinamico?
Gli scambi energetici all’interno della cavità permettono il raggiungimento di un
equilibrio tra materia e radiazione detto anche equilibrio termodinamico. La piccola
apertura da cui esce la radiazione si suppone non influenzare tale equilibrio. In
pratica si ha equilibrio tra le diverse temperature: di eccitazione, di ionizzazione,
del gas e della radiazione (Planck).
La formula di Planck
2πhν 3
dν
c2 (ehν/KT − 1)
(3.2)
legge di Stef an − Boltzmann
(3.3)
B(ν, T )dν =
Questa espressione risulta in perfetto accordo con le curve sperimentali. /smallskip
Dalla formula di Planck si ricavano anche le leggi di Stefan-Botzmann e di Wien,
già note sperimentalmente,:
Q = σT 4
λm T = 0.289789 cm deg
Bmax = γT 5
legge degli spostamenti di W ien
legge del valor massimo di W ien
(3.4)
(3.5)
In che cosa la formula di Planck si discosta dalla trattazione classica?
Nell’assunzione che l’energia prodotta da un oscillatore nell’unità di tempo e di
frequenza sia un multiplo di hν. Questo impedisce alla distribuzione dell’energia di
andare all’infinito alle alte frequenze. Di conseguenza, per ogni data temperatura,
lo spettro della intensità della radiazione mostrerà un massimo in corrispondenza di
una ben determinata frequenza.
Ricapitolando, le leggi del corpo nero da ricordare sono (ricordare almeno
il loro significato):
B(λ, T )dλ =
2hc2
1
dλ
hc
λ5 e λKT − 1
(3.6)
18 CAPITOLO 3. IL CAMPO DI RADIAZIONE - RICHIAMI DI BACKGROUND CULTURALE...
Unità di misura: erg/cm2/s/Angstrom/sr −2
ed inoltre...
L’intensità integrata su tutte le frequenze è
σT 4
2π 4 K 4 T 4
=
B(T ) =
15c2 h3
π
(3.7)
dove σ = 5.67 × 10−5 è la costante di Stefan-Boltzmann.
Unità di misura: erg/cm2/s/sr −2
La densità totale di energia del campo di radiazione è
U=
4π
B(T ) = aT 4
c
(3.8)
dove a = (8π 5 K 4 /15c3 h3 ) = 7.56 × 10−15 ergcm−1 K −4
è la costante della densità di radiazione (erg/cm3 ).
La legge dello spostamento di Wien mostra come il picco della planckiana si sposti
verso le lunghezze d’onda più brevi al crescere della temperatura:
λmax =
5.1 × 107
T
Angstroms
(3.9)
Le stelle emettono come corpi neri?
Le stelle emettono spettri continui che assomigliano a quello di corpo nero di temperatura uguale a quella della loro fotosfera. Si definisce temperatura effettiva Tef f
di una stella quella temperatura che deve avere un corpo nero di superficie emittente
pari a quella della stella per emettere tutta l’energia emessa dalla stella stessa. In
pratica, se L è l’energia globalmente emessa al secondo da una stella di raggio R,
varrà la relazione
4
L = 4πR2 σTef
(3.10)
f
La legge dello spostamento di Wien spiega perché stelle aventi diverse temperature
effettive appaiono di diversa colorazione, le più fredde apparendo rosse e le più calde
blu.
Cosa determina lo spettro a righe delle stelle?
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La presenza di strati piu‘ freddi sopra la fotosfera che essendo otticamente sottili nel
continuo, assorbono solo determinate frequenze (transizioni atomiche) disperdendo
i fotoni di quella lunghezza d’onda.
Come si formano le righe di emissione?
A causa della presenza di atmosfere estese...oppure di meccanismi di eccitazione
indipendenti dal campo di radiazione proveniente dalla fotosfera (onde d’urto, irraggiamento da parte do corpi esterni...). Entrambe queste condizioni possono produrre
un eccesso dei fotoni osservati sopra il continuo in corrispondenza di determinate frequenze.
20 CAPITOLO 3. IL CAMPO DI RADIAZIONE - RICHIAMI DI BACKGROUND CULTURALE...
Capitolo 4
ANNOTAZIONI DI OTTICA
Quali sono le leggi fondamentali dell’ottica geometrica?
Propagazione rettilinea, riflessione, rifrazione...
Cos’e’ l’angolo di riflessione totale?
Cos’è il fuoco di una lente ?
È il punto in cui convergono raggi paralleli dopo aver attraversato una lente.
Cos’è il piano principale di una lente?
È quel piano sul quale, per ipotesi, si assume che abbia luogo il potere rifrattivo di
una lente. In pratica, il piano principale si può individuare, prolungando all’indietro
il fascio di raggi uscenti e convergenti nel fuoco della lente fino a intersecare il fascio
di raggi paralleli entranti. In lenti sottili, il piano principale è molto vicino al piano
passante per il centro della lente.
Cos’è la distanza focale di una lente?
È la distanza del punto focale dal piano principale della lente.
Cosa sono i piani coniugati?
Sono i piani dove giaciono il punto oggetto e la sua immagine focalizzata.
Cosa sono i piani (punti) nodali ?
(non trattati... comunque importanti per il “ray tracing”..)
A cosa sono dovute le aberrazioni?
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CAPITOLO 4. ANNOTAZIONI DI OTTICA
Praticamente, alla impossibilità da darte delle lenti di ottenere immagini perfettamente corrispondenti alla forma degli oggetti.
A cosa è dovuta l’aberrazione sferica?
All’approssimazione sinθ = θ......È per questo motivo che i raggi marginali soffrono di questa aberrazione più dei raggi parassiali.
Che aberrazione ha uno specchio parabolico in asse?
Nessuna. Lo stesso vale per una montatura cassegrain.
Qual’è la principale aberrazione di uno specchio parabolico fuori asse?
La coma.
Qual’è la focale equivalente di un sistema composto di due lenti?
Cercare nei sacri testi la risposta..
Capitolo 5
DIFFRAZIONE E
INTERFERENZA
Cos’è un fronte d’onda?
E’ una superficie dello spazio i cui punti hanno lo stesso vettore del campo elettrico
(o magnetico) di un onda elettromagnetica. In altre parole, in questi punti la fase
dell’onda è la medesima.
Cosa dice il principio di Huygens?
Consideriamo una superficie arbitraria Σ che circondi una sorgente di luce monocromatica. I vari punti di essa si comportano come sorgenti secondarie virtuali di onde
sinusoidali, cosı̀ che la perturbazione ottica al di la della superficie é generata
dall’interferenza di queste onde secondarie.
Per capire intuitivamente questo principio consideriamo i fronti d’onda secondari
prodotti dai punti di Σ. Essi formano un inviluppo Σ′ . Supponiamo che la perturbazione ottica sia confinata in uno strato di spessore molto piccolo e sia positiva
nella sua parte anteriore e negativa nella parte posteriore. L’inviluppo Σ′ é quindi
tangente solo a tutte le parti positive delle perturbazioni secondarie. Ogni altro
punto interno al volume delimitato da Σ′ esistono un egual numero di perturbazioni
positive e negative delle verie onde secondarie che si sovrappongono. Il principio di
Huygens spiega dunque in che modo la perturbazione ottica si sposti come se si trattasse del semplice spostamento del fronte d’onda. Il principio di Huygens è tuttavia
fondamentale per comprendere il fenomeno della diffrazione da ostacoli e fenditure.
Quando, cioè, una parte di un fronte d’onda ( ∼ infinitamente esteso) viene bloccata
da un ostacolo, i bordi del fronte producono onde secondarie che espandendosi in
tutte le direzioni hanno l’effetto di “raggirare” l’ostacolo stesso.
23
24
CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE E INTERFERENZA
Cosa dice il principio di sovrapposizione delle perturbazioni ottiche?
Il Principio di sovrapposizione afferma che La perturbazione ottica prodotta in un
punto da due o piú onde luminose é uguala alla somma delle perturbazioni luminose
che sarebbero prodotte da ciascuna delle onde separatamente. Tale possibilitá é
garantita dalla linearitá delle equazioni di Maxwell. In pratica, si tratta della somma
di più vettori, ciascuno dei quali rappresenta un valore del campo elettromagnetico
associato all’onda elettromagnetica. Si tratta quindi della somma di campi.
Cos’è il fenomeno della diffrazione?
Secondo il principio di Huygens-Fresnel ogni punto di un fronte d’onda é a sua
volta centro sorgente di nuove onde semisferiche che vengono istantaneamente emesse
con la fase propria del fronte d’onda. La perturbazione ottica presente in un “punto”
di un fronte d’onda piàvanzato é quindi determinata dalla somma (vettoriale) di
tutte le perturbazioni provenienti da ciascun punto del fronte d’onda originario. In
tutti gli altri punti del secondo fronte d’onda la perturbazione ottica dovrà avere
la stessa fase del primo punto. Tutto questo ha anche come effetto l’apparente
spostamento di ciascun fronte d’onda nel senso del moto dell’onda.
I raggi rappresentano perciò la direzione del moto della perturbazione legata a
ciascun punto di un fronte d’onda e sono perciò perpendicolari ad essa in ogni suo
punto.
Cosa prova il fenomeno delle occultazioni lunari?
Una prova eloquente della validità del principio di Huygens è fornita da comportamento della intensità luminosa di una stella osservata mentre viene eclissata
dal bordo della luna (la quale, come si sa, ha un moto apparente diverso da quello
delle stelle fisse...). Infatti, noi possiamo notare una diminuzione della luce dell’astro
ancor prima che esso venga eclissato, e continuiamo a vedere la sua luce che si indebolisce sempre più fino a scomparire anche dopo l’istante dell’eclisse astronomica.
Al momento dell’eclisse, l’intensità luminosa dell’astro appare metà di quella effettiva. Questo si spiega con il fatto che, in quel momento, il disco lunare copre circa
metà dei fronti d’onda provenienti dalla sorgente lontana, cosicché l’osservatore di
fatto riceve solo metà delle perturbazioni ottiche provenienti da quei fronti d’onda.
Quando la posizione dell’astro passa dietro al disco della luna, l’osservatore può
ancora ricevere le perturbazini ottiche (e quindi vede ancora luce) provenienti dalla
porzione del fronte d’onda non ancora eclissato.
Diffrazione da un’apertura
25
Consideriamo un’onda piana che colpisca uno schermo opaco provvisto di una fenditura rettangolare. Possiamo considerare ogni punto della fenditura stessa (una volta
che sia stata raggiunta dal fronte d’onda) come sorgente di onde sferiche. Se la fenditura é larga, la parte centrale del fascio di luce si presenterá ancora pressapoco come
un’onda piana. Diverso é il comportamento ai bordi della fenditura, in quanto le
onde secondarie che li si generano, non trovando altre emissioni al loro esterno, produrranno fronti d’onda sferici determinando una specie di apertura a ventaglio del
fascio di raggi.
L’immagine che si forma su un secondo schermo posto oltre la fenditura apparirá
sempre piú strutturata, essendo costituita da una serie di frange luminose e scure. Il
fenomeno si dice diffrazione di Fresnel da ( e non di) una fenditura. Se portiamo lo
schermo sempre più lontano, la struttura dell’immagine cambia tendendo verso una
forma che rimane inalterata nella distrubuzione angolare delle strutture osservate.
Questa forma “limite” della figura di diffrazione di Fresnel viene detta diffrazione
di Fraunhofer da una fenditura. In pratica la diffrazione di Fraunhofer rappresenta
il comportamento della somma delle perturbazioni ottiche al variare della direzione
dei raggi paralleli provenienti da tutti i punti della fenditura.
Tale situazione si realizza molto semplicemente mettendo una lente dopo la fenditura ed osservando l’immagine che si forma sul suo piano focale. Cosı̀ la direzione
angolare delle frange luminose e di quelle buie dipenderà solo dall’inclinazione e
dalle dimensioni della fenditura, e non dalla distanza dello schermo su cui proiettiamo l’immagine, che dovrà inevitabilmente coincidere col piano focale della lente.
Si dimostra facilmente che, se il fronte d’onda originario è parallelo al piano della
fenditura, il massimo di luce cadrà nella direzione del suo asse, mentre il primo
minimo (buio) si troverà ad una distanza angolare dal picco luminoso che, per una
fenditura rettangolare, è dato dalla
∆θ ≃
λ
d
(5.1)
dove λ è la lunghezza d’onda della luce e d è il diametro della fenditura.
Tale immagine di diffrazione corrisponde alla Trasformata di Fourier della fenditura la cui larghezza è espressa in unità di λ.
Dato un fascio di raggi paralleli (onde piane), ad esempio prodotti da
un laser, un reticolo e una lente, dove possiamo vedere la trasformata di
Fourier del reticolo e dove la sua immagine?
Intanto facciamo in modo che il fascio collimato del laser attraversi il reticolo
e poniamo la lente, a valle, ad una certa distanza dal reticolo. Ora abbiamo un
26
CAPITOLO 5. DIFFRAZIONE E INTERFERENZA
sistema ottico con due diversi piani focali. Il primo, più vicino alla lente, è il piano
focale per antonomasia, posto quindi alla distanza focale dalla lente, dove vanno a
fuoco solo raggi paralleli, l’altro e’ il piano coniugato dove andrà a fuoco l’immagine
del reticolo. La posizione del piano focale, per una data lente, è fissa; la posizione
del piano coniugato, invece, dipende dalla distanza della lente dal reticolo, essendo
questa la distanza del primo piano coniugato dove si trova l’oggetto. Allora, se ci
poniamo sul fuoco della lente vedremo l’immagine di diffrazione e interferenza del
reticolo, mentre se ci poniamo sul piano coniugato vedremo l’immagine del reticolo
stesso. Quindi, sul piano focale della lente vedremo la trasformata di Fourier del
reticolo (naturalmente espressa in intesità e non in ampiezza....).
Perchè noi non produciamo diffrazione quando attraversiamo una porta
?
Qual’è l’onda di De Broglie associata ad uno di noi mentre attraversa una porta?
λ = h/mv. Quindi noi siamo troppo grossi e la lunghezza d’onda dell’onda associata
è infinitesima. Inoltre la quantità λ/D è ancora più piccola!
Cos’è il fenomeno dell’interferenza?
Due sorgenti di luce coerente producono in ogni punto dello spazio interferenza
costruttiva o distruttiva. Una serie di fenditure sottili colpite da onde piane rappresentano un insieme di sorgenti coerenti. Se a valle delle fenditure metto una
lente, sul suo piano focale si formerà l’immagine di interferenza di Fraunhofer. Il
fenomeno della diffrazione da un’apertura può essere considerato come un processo
di interferenza tra i punti sorgente della fenditura stessa.
Interferenza da più fenditure, il reticolo
Vedere appunti e formule principali: dispersione, risoluzione, ordini mancanti.
L’interferometro di Michelson
Vedere le varie esperienze di laboratorio....
Capitolo 6
L’INTERAZIONE DELLA
RADIAZIONE CON LA
MATERIA
Quale modello di struttura della materia si assume per studiare l’interazione
con le onde elettromagnetiche?
Al fine di comprendere l’interazione delle onde elettromagnetihe con la materia
considereremo le molecole e gli atomi come dei dipoli elettrici in grado di oscillare
quando sono perturbati da campi elettromagnetici oscillanti. Per questo motivo i
dipoli sranno messi in moto dal campo elettrico oscillante e potranno assorbire e
a loro volta emettere onde elettromagnetiche. Supponiamo quindi che uno di tali
dipoli sia costituito da una carica positiva ed una carica negativa legate assieme dalla
forza coulombiana. Ora dobbiamo ricordare l’equazione del moto di un oscillatore
libero e quella di un oscillatore forzato. L’onda incidente fa oscillare i dipoli con
la propria frequenza. Combinando le proprietà dei dielettrici immersi in un campo
elettrico con l’equazione del moto di un oscillatore forzato si ottiene una espressione
dello spostamento ∆x della carica oscillante (tipicamente, l’elettrone) ed una espressione dell’indice di rifrazione n. Entrambe queste espressioni risultano inversamente
proporzionali alla differenza ω 2 − ω02 , dove ω e ω0 sono, rispettivamente, la frequenza
dell’onda incidente e la frequenza di risonanza propria dell’oscillatore.
I dipoli quindi assorbono parte dell’energia dell’onda incidente che va cosı́ attenuandosi. Escludendo il caso della risonanza, i dipoli successivamente riemettono le
onde sinusoidali assorbite. Essi quindi sono wsorgenti di onde secondarie le quali,
sovrapponendosi alla frazione dell’onda incidente che non é stata assorbita, producono onde armoniche con la stessa frequenza ma ormai sfasate rispetto all’onda
27
28 CAPITOLO 6. L’INTERAZIONE DELLA RADIAZIONE CON LA MATERIA
iniziale. Questi sfasamenti che si generano ogni volta che un dipolo assorbe determinano uno slittamento della fase dell’onda con una apparente variazione di lunghezza
d’onda. E’ questa la causa della apparente variazione della velocità di fase della
radiazione all’interno del dielettrico. Si trova che Vφ = c/n. In pratica la velocitá di
fase puó apparire maggiore o minore della velocitá della luce.
Cos’è la velocità di gruppo?
In un mezzo dispersivo, un treno d’onde di lunghezza finita, anche se emesso
da una sorgente monocromatica, puó essere scomposto nella sovrapposizione di infinite onde di diversa frequenza e fase. Succederá perció che ogni componente di
questo treno d’onde si muoverá con una velocitá diversa. In questo caso dovremo
considerare la velocitá di gruppo di tutte la onde che si generano all’interno del
dielettrico.
La velocitá di gruppo é diversa dalla velocità di fase delle singole onde e risulta
sempre minore della velocità della luce..
Esiste una radiazione perfettamente monocromatica?
Praticamente no. A parte il problema dell’allargamento naturale delle righe spettrali, esiste una ulteriore indeterminazione nella frequenza dovuta all’interazione con
la materia. I dipoli elettrici materiali operano una sorta di trasformatya di Fourier
della radiazione incidente in quanto ogni dipolo ha una probabilità di oscillare, e
quindi a riemettere, anche a frequenze diverse da quella nominale.
Come si spiega la polarizzazione?
Con l’esistenza di particolari strutture di reticolo cristallino che costringono le
cariche elettriche dei dipoli ad oscillare solo su un determinato piano.
Come si comporta l’indice di rifrazione con la frequenza?
L’indice di rifrazione varia al variare della frequenza. In un mezzo dispersivo, un
treno d’onde di lunghezza finita, anche se emesso da una sorgente “quasi” monocromatica (perché bisogna dire “quasi?... allargamento naturale di una riga...), puó
essere scomposto nella sovrapposizione di infinite onde di diversa frequenza e fase.
In particolare, un’onda armonica limitata nel tempo e nello spazio non implica la
misura di una singola frequenza ma bens
‘i di un pacchetto d’onde aventi uno spettro di frequenze. Questo è evidenziato dalla
trasformata di Fourier del segnale per cui solo se il treno d’onde è infinitamente esteso la sua trasformata di Fourier sarà una delta di Dirac. Viceversa, tanto più
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corto sarà il segnale e tanto più esteso, e quindi indeterminato, sarà lo spettro delle
frequenze che hanno peso ( ovvero ampiezza) nella trasformata di Fourier.
Cos’ha di particolare l’indice di rifrazione di un metallo?
È sempre minore di 1, ma può anche diventare immaginario
Perché uno specchio metallico riflette ?
Uno specchio metallico riflette il visibile perché e’un metallo e come tale ha
indice immaginario nella banda del visibile. Andando verso le alte frequenze l’indice
di rifrazione torna ad essere reale, MA SEMPRE MINORE DI 1 ! Quindi NON
riflette i raggi X !!!
Perché, tipicamente, un metallo ha indice di rifrazione immaginario nel
visibile ?
Un metallo si comporta come un plasma ! I plasmi hanno una frequenza tipica,
ω0 detta appunto “di plasma”, che è una frequenza di risonanza. Onde con frequenza
inferiore a ω0 riscontrano un indice immaginario e il plasma le riflette. A frequenze
superiori l’indice di rifrazione risulta reale e MINORE di 1. I metalli hanno gli
elettroni di conduzione che sono nella cosiddetta “banda di conduzione” e come
un plasma possiedono una frequenza di risonanza che cade nell’ultravioletto o nel
visibile. L’alluminio riflette dal violetto in giù, mentre l’oro o il rame riflettono bene
solo a partire dal giallo... da quı̀la loro colorazione !
Come può uno specchio riflettere i raggi X?
Sfruttando l’angolo di riflessione totale! Quindi, per incidenza radente, essendo
l’indice di rifrazione minore di 1, i raggi subiscono riflessione totale ... etc.
Perché il rame è rosso, l’oro è giallo e l’alluminio bianco?
Ricordare esercizio su indice di rifrazione metalli.... esso ha una parte reale ed
una immaginaria. Quando n e’ immaginario si ha riflessione. Bisogna quindi vedere
al di sotto di quali frequenze il metallo incomincia a riflettere, ovvero il suo indice
di rifrazione, che e’ sempre minore di uno (!) diventa puramente immaginario....
Cos’é il cammino ottico?
In un mezzo non omogeneo la velocitá di fase della luce varia da punto a punto.
Quindi, in generale, avremo che la velocitá di fase sará
vφ (x, y, z) =
cdt
n(x, y, z)
(6.1)
30 CAPITOLO 6. L’INTERAZIONE DELLA RADIAZIONE CON LA MATERIA
Quindi i fronti d’onda procederano all’interno del dielettriche deformandosi. Comunque, é ovvio che per passare da un fronte d’onda ad un altro il tempo richiesto é
lo stesso per tutti i punti del fronte d’onda iniziale. Naturalmente, le parti del fronte
d’onda che andranno, per cosı́ dire, piú piano resteranno indietro rispeto alle altre.
Tuttavia, anche se i cammini geometrici percorsi dalle diverse parti di un fronte
d’onda possono apparire diversi a causa della apparente variazione delle lunghezze
d’onda, i loro “cammini ottici” risulteranno identici in quanto tutti raggi hanno
compiuto un numero uguale di oscillazioni con velocitá di fase diversa.
Premesso questo, possiamo esplicitare il concetto di CAMMINO OTTICO dicendo :
” Il cammino ottico, l, tra un punto A e un punto B lungo un dato cammino geometrico all’interno di un mezzo qualsiasi é dato dalla distanza che la luce percorrerebbe
nel vuoto nel tempo che, di fatto, é stato necessario per coprire la distanza tra i
punti A e B lungo quel particolare cammino geometrico considerato”.
Per questo motivo tutti i raggi che connettono i punti corrispondenti di due fronti
d’onda Σ1 e Σ2 hanno cammini ottici uguali corrispondendo ad un eguale numero
di oscillazioni. In tal modo tutti i punti del secondo fronte d’onda saranno sfasati
allo stesso modo rispetto ai punti del primo fronte. Ma questo é proprio quello che
ci si aspettava, ovvero che tutti i punti di un fronte d’onda avessero la stessa fase!
Cosa dice il principio di Fermat?
Un raggio luminoso, per passare da un punto A ad un punto B di un mezzo
non omogeneo, seguirá il percorso che richiede il minor tempo, ossia quello che
rappresenta il minore cammino ottico possibile all’interno di quel mezzo.
In termini piú rigorosi si scrive:
δ
Z
n.ds = 0
(6.2)
Capitolo 7
I COLLETTORI DELLA LUCE
Cosa determina la potenza di un telescopio?
Le dimensioni del collettore (obiettivo), ovvero la sua area (e non la lunghezza della
focale), determinano la potenza del telescopio, intesa come la quantità di energia che
può essere raccolta nell’unità di tempo.
Qual’è il potere risolutivo di un telescopio ?
θ ∼ sin(θ) = 1.22 × λ/D
Il potere risolutivo NON dipende dalla lunghezza focale, ma dalle dimensioni
della lente (diametro) che si comporta come una fenditura che ’intercetta’ (diaframma) i fronti d’onda praticamente piani e infinitamente estesi che provengono
dall’astro ( la sua luce). Il potere risolutivo di un telescopio non dipende solo dalle
dimensioni dell’obiettivo, ma anche dal dominio spettrale in cui si osserva. Infatti,
se volessimo mantenere sempre lo stesso potere risolutivo osservando a lunghezze
d’onda sempre maggiori, bisognerebbe che le dimensioni del collettore di luce aumentassero proporzionalmente alla lunghezza d’onda. È evidente che passando dalla regione ultravioletta alle onde radio, le dimensioni dei telescopi dovrebbero aumentare
a dismisura! Per questo motivo, nel campo radio, la risoluzione delle immagini è
affidata alle tecniche interferometriche che si basano sull’analisi di immagini.
Qual’è la differenza tra un telescopio a rifrazione e uno a riflessione ?
Il primo è a lente, il secondo a specchio.
Quali sono le forme tipiche delle superfici lavorate degli specchi usati in
astronomia ?
sferiche, paraboliche o iperboliche.
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CAPITOLO 7. I COLLETTORI DELLA LUCE
Quali sono le principali aberrazioni ?
Per gli specchi: sferica, coma e astigmatismo. Per i diottri, bisogna aggiungere il
cromatismo.
Perché uno specchio riflette ?
Intanto riflette il visibile perché é un metallo e come tale ha indice immaginario
nella banda del visibile. Andando verso le alte frequenze l’indice di rifrazione torna
ad essere reale, MA SEMPRE MINORE DI 1 ! Quindi NON riflette i raggi X !!!
Perché, tipicamente, uno specchio metallico ha indice di rifrazione immaginario nel visibile ?
Un metallo si comporta come un plasma. I plasmi hanno una frequenza tipica, ω0
detta appunto “di plasma”, che è una frequenza di risonanza. Onde con frequenza
inferiore a ω0 riscontrano un indice immaginario e il plasma le riflette. A frequenze
superiori l’indice di rifrazione risulta reale e MINORE di 1. I metalli hanno gli
elettroni di conduzione che sono nella cosiddetta “banda di conduzione” e come
un plasma possiedono una frequenza di risonanza che cade nell’ultravioletto o nel
visibile. L’alluminio riflette dal violetto in giù, mentre l’oro o il rame riflettono bene
solo a partire dal giallo... da quı̀la loro colorazione !
Come può uno specchio riflettere i raggi X?
Sfruttando l’angolo di riflessione totale! Quindi, per incidenza radente, essendo
l’indice di rifrazione minore di 1, i raggi subiscono riflessione totale ... etc.
Come è fatto lo specchio di un telescopio X?
Si tratta di una superficie parabolica, ma si utilizza solo la parte lontana dal
vertice della parabola in modo da lavorare con le superfici in incidenza radente dei
raggi. Infatti, l’indice di rifrazione dei metalli alle alte frequenze r̀eale e minore di 1.
Perciò i raggi X attraversano il metallo ma, se l’angolo di incidenza è sufficientemente
grande (incidenza radente), allora si supera l’angolo di riflessione totale e la superficie
metallica diventa, di fatto, rifettente. Dovendo lavorare in incidenza radente, la
superficie usata generalmente offre una cross section molto ridotta al fascio incidente.
Di conseguenza, si usano molti specchi che corrispondono a porzioni coassiali di
diversi paraboloidi aventi tutti lo stesso fuoco. In tal modo si realizza una più
grande suferficie efficace di raccolta dei raggi.
Quali sono le principali differenze tra le aberrazioni di uno specchio sferico
e quelle di uno parabolico?
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Nello Schmidt lo specchio sferico e’ diaframmato al centro di curvatura , ovvero
entro un certo angolo, ogni direzione è asse ottico dello specchio; allora non si avrà
coma e astigmatismo perché le aberrazioni saranno solo quelle sull’asse -..sferica.... L’aberrazione sferica può tuttavia essere corretta da una lastra, detta appunto
“lastra correttrice”, posta davati al diaframma sul centro di curvatura dello specchi
sferico. Tale lastra allarga i raggi marginali e concentra quelli parassiali.
Invece, lo specchio parabolico, in asse, non presenta aberrazione sferica. Presenta
la coma fuori asse.
Qual’e’ il segreto dell’ottica ?
Ha a che fare con l’accuratezza della lavorazione di uno specchio. Le deviazioni
dalla superficie ideale devono soddisfare alla condizione che per avere due onde in fase
esse non devono essere sfasate più di lambda quarti. Di conseguenza, la lavorazione
dello specchio deve essere fatta con tolleranze minori di lambda ottavi.... infatti lo
sfasamento tra due raggi raddoppia nella riflessione.
Perché un radio telescopio può usare specchi fatti da reti e che quindi
presentano dei buchi?
Perché osserva onde elettromagnetiche con lunghezza d’onda molto superiore alle
dimensioni delle discontinuità rappresentate da una struttura a rete.
Qual’è la focale di uno Schmidt?
Metà del raggio di curvatura!
Qual’è la focale di un Cassegrain?
Ricordare la formula della focale equivalente di un sistema di due lenti.
Potere risolutivo di un telescopio in relazione alle frequenze osservate.
Fare l’esempio di un telescopio di 10 metri di diametro che lavori nell’ottico o nel
radio......risoluzione nei due casi ? Per l’ottico (visuale) si scelgano 5500 Angstrom
e per il radio si prendano i famosi 21 cm.
Cos’e’ l’apertura relativa di un telescopio ?
Il rapporto f/D
Qualè la scala di un telescopio?
Ricavare l’espressione 206265/f=”/mm !
Cosè l’ingrandimento di un cannocchiale ?
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CAPITOLO 7. I COLLETTORI DELLA LUCE
L’ingrandimento è di un cannocchiale, ovvero ci vuole una seconda lente... tipicamente un oculare. L’ingrandimento riguarda l’angolo sotto cui e’ visto un oggetto...quindi
è il rapporto tra le due focali....
Qual’è il diametro del più grande rifrattore e perché si costruiscono grandi
telescopi a specchio?
Solo un metro! Non è facile costruire lenti molto grandi... ci sono parecchi
problemi... Uno specchio è costituito da una sola superficie.. La specchio è costituito
dal metallo che viene depositato sul supporto vetroso...
Spiegare la differenza tra montatura equatoriale e montatura altazimutale.
Il tipo di montatura è riferito alla direzione dell’asse di rotazione del telescopio: in quella equatoriale l’asse di rotazione è parallelo a quello terrestre... punta
quindi il Polo Celeste; in quella altazimutale, l’asse di rotazione è diretto come la
perpendicolare al luogo.
Che vantaggi offre la montatura altazimutale?
Facilità di costruzione e bilanciamento dei pesi, ottima per telescopi molto grandi...
MA NECESSITA DI MUOVERE CONTINUAMENTE SIA L’ANGOLO ORARIO
CHE LA DECLINAZIONE. Ora usata sempre più spesso perché i movimenti sono
controllati da computer.
Qual’è lo spessore di uno specchio? Perché oggi si usano specchi sottili?
Tipicamente circa un quinto del diametro. Tuttavia oggi si usano specchi sottili
per poterli deformare allo scopo di introdurre aberrazioni che compensino quelle
dovute al peso dello specchio quando viene inclinato... OTTICA ATTIVA.
DOMANDA: Cos’è il seeing ?
RISPOSTA: E’ l’allargamento dell’immagine di diffrazione prodotto dalla turbolenza atmosferica. Varia a seconda del luogo e delle condizioni atmosferiche.
E’ il prodotto degli eddies che si formano nell’atmosfera. Le dimensioni degli eddies
variano a seconda della lunghezza d’onda a cui si osserva. Nel campo ottico hanno
diametro medio di circa 40 cm e si formano anche vicino al suolo. Nell’infrarosso
sono più grandi e nel campo radio sono di parecchi metri e si formano nella ionosfera.
Gli eddies deformano i fronti d’onda in arrivo e li corrugano. Questo è anche causa
del scintillio delle stelle. le dimensioni del seeing vengono date in secondi d’arco.
Un buon seeing e’ di un secondo d’arco o meno. Il seeing medio annuo di Asiago e
di 3.14 !!! L’immagine di seeing è, in prima approssimazione una gaussiana. se si
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facessero immagini a posa brevissima si potrebbe vedere l’immagine di diffrazione
che si sposta velocemente sul piano focale, come agitata un moto browniano, secondo una legge di probabilità che è rappresentata appunto dal profilo gaussiano
dell’intensità dell’immagine.
DOMANDA: Cos’è l’OTTICA ADATTIVA ?
RISPOSTA: E’ la possibilità di deformare uno specchio in tempo reale per compensare le ondulazioni del fronte d’onda prodotte dal seeing.
DOMANDA: Quale sarà il diametro lineare dell’immagine di una stella fotografata
da un telescopio ?
RISPOSTA: Dipende dal seeing, dalla focale del telescopio e dalla risoluzione del
rivelatore (lastra fotografica o CCD). Per quanto riguarda il telescopio il diametro
sarà d=(seeing”/206265)xf....
Cosè un’antenna?
Non è lo specchio parabolico, ma è invece l’antenna messa sul piano focale,
l’equivalente della lastra fotografica o del CCD posti sul piano focale di un telescopio ottico. L’antenna è proprio una vera e propria antenna, generalmente a croce
per vedere onde con qualsiasi angolo di polarizzazione, posta al fuoco di un radiotelescopio.
Come si definisce il potere risolutivo di un radiotelescopio?
Analogamente a quello ottico. In realtà si definisce il lobo d’antenna. Il lobo
d’antenna è a tutti gli effetti l’equivalente della centrica dell’immagine di diffrazione.
La risoluzione viene però questa volta definita come l’angolo, rispetto all’asse ottico,
a cui l’intensità del segnale si è dimezzata. Insomma, sarebbe grosso modo la metà
dell’angolo usato per definire la risoluzione nel campo ottico.
Perché in radioastronomia si usano le tecniche interferometriche?
Perchè alle grandi lunghezze d’onda del campo radio ( metri ) il potere risolutivo
di un telescopio, seppur grande, rimane alquanto modesto. L’interferometria tra
telescopi lontani, anche si base intercontinentale, permette di ottenere risoluzioni
elevate.
Come funziona un’antenna a filo?
Quando riceve un onda elettromagnetica, il campo elettrico variabile mette in
oscillazione gli elettroni di conduzione. Basta mettere un rivelatore di corrente (con
amplificatore) e si misura la corrente alternata che si genera. Naturalmente un
36
CAPITOLO 7. I COLLETTORI DELLA LUCE
filo metallico riceve solo la componente polarizzata su piani che contengono il filo
stesso...
Capitolo 8
GLI ANALIZZATORI DELLA
LUCE.
IMAGING
Qual’è la differenza tra il tipo di risposta dell’occhio, quella della lastra
fotografica e quella del CCD o del fotometro fotoelettrico?
L’occhio e la lastra forografica hanno una risposta logaritmica, ovvero proporzionale ad incrementi relativi (∆S/S) dello stimolo S (la luce), mentre il CCD
ed il fotometro hanno risposte lineari, cioè direttamente proporzionali allo stimolo
S.
Cos’è un CCD?
CCD vuol dire Charged Couple Device. E’ una lastrina di silicio (semiconduttore
!) sulla quale è stato realizzato un reticolo di piccole aree, i pixels, che corrispondono a delle minuscole buche di potenziale elettrico, all’interno delle quali i fotoni
che arrivano dall’esterno possono portare degli elettroni dalla banda di valenza a
quella di conduzione. Il numero degli elettroni portati via dalla banda di valenza
è proporzionale all’intensità della luce. Tali elettroni mantengono la loro posizione
all’interno del pixel dove sono stati generati fino al momento della lettura. In questo
modo si può ricostruire l’immagine osservata. Il potere risolutivo di un CCD dipende
dalle dimensioni dei pixels che può essere inferiore a 20 micron.
Quali sono le dimensioni di un pixel?
10-20 micron, ma oggi si arriva anche attorno ai 5 micron.
Cos’è il “bias”?
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CAPITOLO 8. GLI ANALIZZATORI DELLA LUCE.
È un piedestallo per i conteggi artificialmente introdotto nell’elettronica. Si
ottiene con una lettura senza esposizione, per eliminare la componente termica.
Cos’è il “dark”?
In pratica, la somma del bias più il segnale termico relativo alla posa effettuata
al buio.
Cos’è il “flat field”?
È una esposizione uniforme del CCD ottenuta con luce diffusa in modo da avere
una immagine in cui le differenza di conteggi tra pixel e pixel rifletteranno le diverse
efficienze quantiche dei pixel stessi.
Quali sono i vantaggi di un CCD rispetto ad una lastra fotografica?
I più importanti sono: 1) la linearità della rsiposta; 2) la possibilità di correggere
la diversa risposta dei pixel con il flat field.
Cos’è la risposta quantica di un CCD?
È la sua efficienza alle varie lunghezze d’onda.
Come si fa a rendere un CCD sensibile all’UV?
Ricordare che il silicio, come il vetro, assorbe l’ultravioletto, quindi gli elettrodi
e lo strato isolante del CCD tendono a non far passare i fotoni fino all buca di
potenziale dove potrebbero generare elettroni di conduzione. Quindi il CCd tende
ad essere cieco nall’UV. Tuttavia, col “coating”, ovvero dipingendo la superficie del
CCD con una vernice trasparente fluorescente che se investita da fotoni UV emette
fotoni nel giallo verde.. allora diventa possibile una “indiretta” rilevazione dei fotoni
UV.
Oppure, usando un CCD “back lighted” che è un CCD illuminato da sotto, onde
evitare lo strato vetroso isolante che fortemente assorbe l’UV. In questo caso il CCD
viene assotigliato in modo da facilitare la penetrazione dei fotoni all’interno delle
buche di potenziale.
Con quale funzione matematica si riesce a prevedere le dimensioni dell’immagine
OSSERVATA di un oggetto puntiforme con un telescopio munito di CCD?
La convoluzione. Bisogna far la convoluzione tra le immagini (profili) di diffrazione,
seeing e la risposta rettangolare dei pixel del CCD.
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IL PRISMA
Da cosa dipende il potere risolutivo di un prisma?
Dalle sue dimensioni...la base B.. e dal materiale di cui è fatto, ovvero dalla
funzione dn/dω.
Qual’è l’andamento della dispersione di un prisma?
Non è lineare con lambda. Mentre il reticolo lo è quasi. (Si usa la formula di
Hartman).
I RETICOLI
Le formule principali dei reticoli.
Dispersione, risoluzione
Qual’è
Con
tale da
l’ordine
la differenza tra un reticolo a trasmissione ed uno a riflessione?
quello a riflessione possiamo inclinare gli specchietti (le fenditure) in modo
dirigere il picco dell’immagine di diffrazione (la campana di luce) verso
e la lunghezza d’onda che desideriamo!
Quali sono le caratteristiche principali di un reticolo?
1) la dispersione
2) il potere risolutivo
3) l’angolo di blaze
Che cos’e’ l’angolo di blaze?
E’ l’angolo che formano gli specchietti con il piano del reticolo, cioè la loro
inclinazione.
L’angolo di blaze, α fa si che un reticolo sia “blazed” ad una certa lambda
e ad un certo ordine; ovvero, che il massimo di luce vada verso una
direzione, individuata da un angolo θ rispetto alla normale al reticolo.
Ricordate: α e’ l’inclinazione richiesta agli specchietti del reticolo, θ è
la direzione dove converge il massimo di ordine m e lunghezza d’onda λ
assieme al massimo di luce della figura di diffrazione.
Come si progetta un reticolo a riflessione?
Ricordare la combinazione delle condizioni di riflessione e quelle di interferenza
positiva per una certa lambda. Vedere appunti.... angolo di “blaze” etc.
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CAPITOLO 8. GLI ANALIZZATORI DELLA LUCE.
GLI SPETTROGRAFI
Descrivere lo schema di uno spettrografo
vedere schema... telescopio–¿fenditura–¿collimatore–¿prisma o reticolo —¿lente
di camera–¿detector (immagine dello spettro)
Come si sceglie la larghezza della fenditura?
Spesso in base al seeing! In genere, in base a quel che si vuole fare. È comunaue
inutile stringere la fenditura quando la sua immagine “ridotta” sul piano focale della
camera dello spettrografo ha già raggiunto le dimensioni di un pixel! In genere si
campionano almeno due/tre pixel in modo da poter definire meglio la “posizione”
(fit gaussiano) di una riga spettrale.
Il rapporto delle focali Collimatore/Camera deve essere maggiore o minore di uno?
Maggiore, affinché l’immagine monocromatica della fenditura sia rimpicciolita...per
sfruttare meglio la risoluzione del CCD (vedi sopra).
Cosa determina la risoluzione di uno spettro?
La combinazione della risoluzione del mezzo dispersivo (reticolo o prisma), dalla
fenditura, dal rapporto Collimatore/Camera e dalle dimensioni dei pixel.
Dire come si può ricavare geometricamente il potere risolutivo del “cuore”
dello spettrografo, ovvero del prisma o del reticolo..
Bisogna considerare la larghezza del fascio monocromatico in uscita dal mezzo
dispersivo e applicare la condizione del primo minimo di luce per una rotazione
del fascio di un angolo corrispondente ad una variazione di cammino tra i due raggi
estremi pari ad una lunghezza d’onda. Questa impostazione porta alla esplicitazione
del potere risolutivo sia del prisma che del reticolo.
Come funzione lo spettrografo Echelle?
Si lavora ad alti ordini e quindi è necessario separarli prima di focalizzare lo
spettro usando un secondo reticolo che lavora in dispersione perpendicolare a quella
del primo dispersore.... In pratica i reticoli, le fenditure e non i loro piani, saranno
perpendicolari tra di loro.
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CAPITOLO 8. GLI ANALIZZATORI DELLA LUCE.
I FILTRI INTERFERENZIALI
Come funziona un filtro interferenziale?
È una cavità risonante entro la quale entarno raggi paralleli e dalla quale escono
selettivamente quelli che rappresentano onde con frequenze corrispondenti a quelle
di onde stazionarie nella cavità stessa. La cavità è una lastra di vetro a facce piane
e parallele.
Cosè un Fabry-Perot?
Il Fabry-Perot è un filtro interferenziale formato da due lastre sottili semiargentate. L’ambiente compreso tra le due lastre ha lo stesso indice di rifrazione dell’aria
e quindi la geometria dei raggi rifratti e riflessi è semplificata.
Qual’è la condizione dei massimi per un Fabry-Perot?
mλ = 2dcosα
e per incidenza normale, cosα = 1...
Da cosa dipende il potere risolutivo di un filtro interferenziale?
Dal grado di semiargentatura, ovvero dal coefficiente di riflessione, ovvero dal
numero di riflessioni ottenute all’interno della cavità. In pratica, più sono le riflessioni e maggiore è il numero dei raggi emergenti, ed anche più estesa e la superficie
del fascio in uscita. Questo, qualitativamente, corrisponderebbe in un reticolo ad
un maggior numero di fenditure e/o ad un più largo fascio in uscita.
Come può essere usato un Fabry-Perot per fare spettroscopia di alta
risoluzione?
Cambiando con continuità la sua inclinazione rispetto al fascio incidente la condizione di massimo di luce si sposta di lambda. La risoluzione corrisponde alla
larghezza del profilo di un ordine a metà altezza.
Capitolo 9
PROGRAMMA ANNO
2007/2008
Libro di testo consigliato:OPTICS (Hecht). La biblioteca studenti ne possiede cinque
copie.
Background culturale richiesto
1) Le equazioni di Maxwell, ovvero le quattro leggi dell’elettromagnetismo dalle
quali derivano e la forma delle relazioni matematiche tra le grandezze in gioco.
2) Proprietá dei dielettrici, polarizzazione, corrente di spostamento, costante dielettrica e indice di rifrazione.
3) Principi di ottica geometrica, rifrazione, prismi, lenti convergenti e divergenti,
punti coniugati, distanze focali, piani principali, immagini reali e virtuali, ingrandimento, principali aberrazioni delle lenti, sistemi ottici di più lenti.
4) Ricordi di trigonometria e di astronomia sferica.
Argomenti trattati a lezione
1) L’equazione delle onde. velocità di fase, onde piane e sferiche. Onde sinusoidali,
velocità di fase. Somma di onde sinusoidali, battimenti, onde con velocità di fase
diverse, velocità di gruppo. Esempi.
2) Le onde elettromagnetiche come soluzione delle equazioni di Maxwell. Invarianza
delle eq. di Maxwell per trasformazioni di Lorentz. Il vettore di Pointing, i fotoni,
la polarizzazione, momento e pressione di radiazione. La perturbazione ottica e
l’espressione generale della propagazione lineare di un’onda e.m. lungo una data
direzione. Il principio di indeterminazione, la posizione e l’energia di un fotone, la
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CAPITOLO 9. PROGRAMMA ANNO 2007/2008
definizione di fronte d’onda e il concetto di raggio come fascio di raggi collimati. Il
principio di Huygens.
3) L’interazione delle ond e.m. con i dielettrici. Dipoli oscillanti sotto l’azione di
onde e.m., equazione e legge del moto, indice di rifrazione dei dielettrici. L’effetto
delle forze dissipative.
Comportamento del vetro rispetto allo spettro dall’UV all’IR. I metalli e i plasmi.
Come si modifica l’espressione dell’indice di rifrazione, la frequenza di plasma.
L’espressione complessa dell’indice di rifrazione e conseguenze. La colorazione dei
metalli. L’oro come filtro che elimina la parte IR della radiazione. La riflessione
dei raggi X da parte degli specchi metallici dei telescopi spaziali. La ionosfera e la
riflessione delle onde radio. Perche’ le microonde sono usate per colloquiare con i
satelliti. Introduzione alle antenne. Onde e.m.polarizzate e non. I polarizzatori.
4) I dielettrici possono materialmente realizzare il principio di Huygens. Come il
time-delay e il phase-shift della radiazione riemessa dai dipoli riescono a modificare
la lunghezza d’onda della radiazione all’interno del dielettrico e quindi la posizione
dei fronti d’onda rispetto al vuoto. Definizione della velocità di fase all’interno di
un dielettrico in funzione dell’indice di rifrazione. Definizione di cammino ottico
e suo preciso significato fisico. Spiegazione dei fenomeni di rifrazione utilizzando
i concetti di “elemento” di fronte d’onda e di velocità di fase. Spiegazione del
fenomeno della rifrazione e della riflessione. Cambiamento delle fase di un’onda
quando passa attraverso la superficie di separazione di due dielettrici di diverso
indice di rifrazione. L’esempio della corda attaccata al chiodo e della frusta agitata
nel vuoto. La propagazione dei segnali nei dielettrici e nei plasmi. Il caso dei
time-delay osservati nei picchi di luce emessi dalle pulsar nelle varie bande spettrali
e causati dalle diverse velocità di gruppo della radiazione alle diverse lunghezze
d’onda quando attraverso il mezzo ionizzato interstellare.
4) Introduzione alla prima esperienza di laboratorio sulla determinazione dell’indice
di rifrazione di un dielettrico (vetro) attraverso la misura delle variazioni di cammino
ottico che esso può introdurre in un fascio collimato di luce laser (Michelson).
5) Analisi e sintesi di funzioni sinusoidali. Introduzione intuitiva all’analisi armonica
di una funzione attraverso la ricerca di periodicità in una funzione discreta. Esempio:
ricerca di periodicità in una serie temporale di dati. Funzioni periodiche e non e
i teoremi di Fourier. La FT di funzioni periodiche e non. Le funzioni rettangolari
periodiche e non. Spiegazione di come si passa dallo sviluppo in serie di Fourier a
quello dello sviluppo in integrale di Fouier per funzioni con periodo infinitamente
lungo. Antitrasformate e filtraggio di segnali e immagini. Filtri passabanda. I
pacchetti d’onda. La lunghezza di coerenza della radiazione. Il caso della luce
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bianca e del laser.
6) Il principio di Huygens. Gli effetti di una fenditura o di un ostacolo che intercettano un fronte d’onda esteso. La diffrazione delle onde marine causate da ostacoli
e analogia con la diffrazione prodotta dalla luce stellare durante le occultazioni lunari. Esempi di fenomeni di diffrazione ed interferenza.
7) Come si imposta matematicamente il calcolo del profilo di intensità dell’immagine
di diffrazione da fenditura rettangolare. La diffrazione di Fresnel e di Fraunhofer.
Derivazione analitica dell’immagine di diffrazione di Fraunhofer. Confronto del profilo di intensità ottenuto con il modulo della trasformata di Fourier di una funzione
quadra. Gli spazi delle frequenze nei due casi, analogie e diversità. La connessione
tra la natura ondulatoria della materia (e dei fotoni!) e il principio di indeterminazione di Heisemberg. La lente come trasformatore di Fourier. Le fenditure
circolari e il potere risolutivo di un telescopio. I lobi di antenna e il potere risolutivo
dei radiotelescopi.
8) Derivazione del profilo di intensita’ prodotto dall’interferenza delle perturbazioni
ottiche provenienti da due o piu’ fenditure: impostazione del metodo di integrazione
ed espressione generale. I reticoli a trasmissione. L’equazione del reticolo, la dispersione, il potere risolutivo. La necessità dei reticoli a riflessione. I reticoli blazed.
Come si progetta un reticolo fissandone la dispersione, il potere risolutivo e l’angolo
di blaze (ovvero la lambda e l’ordine che interessano). I prismi. Analogia tra il
potere risolutivo di un prisma e quello di un reticolo.
9) Introduzione alla seconda ed ultima esperienza di laboratorio: la teoria della formazione delle immagini di Abbe. Trasformate di Fourier di immagini di mascherine
di varie forme e confronto con le loro immagini di diffrazione-interferenza raccolte
sul piano focale di una lente.
10) I telescopi Schmidt, Parabolico Newtoniano e Cassegrain. La PSF di un telescopio e il seeing. Effetti del seeing alle diverse lunghezze d’onda. Cenni sull’ottica
attiva e adattiva. Schema ottico di uno spettrografo. Progettazione di uno spettrografo a reticolo. Discussione articolata sulle scelte strategiche in base a prefissati
obiettivi scientifici. Gli ingredienti principali sono: le caratteristiche telescopio, le
caratteristiche del reticolo, ovvero il potere risolutivo, la dispersione e l’angolo di
blaze, poi il seeing del sito, l’eventuale uso di ottica adattiva, e infine le dimensioni
dei pixel del CCD e il rapporto delle focali collimatore/camera. Spettri osservati da
terra e dallo spazio. la sovrapposizione degli ordini. L’Echélle e gli spettrografi ad
alta risoluzione.
11) Visita di due giorni al 120 cm di Asiago. Il telescopio, puntamento e tracking.
Ridiscussione dello schema di uno spettrografo a reticolo e il caso dello spettrografo
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CAPITOLO 9. PROGRAMMA ANNO 2007/2008
B&C. Tecniche di messa a punto dello spettrografo e di osservazione. Cenni sulla
formazione degli spettri stellari. Righe di assorbimento e di emissione. Righe di
emissione da shell in espansione. L’effetto P Cyg. Cenni sulle tecniche di riduzione
di immagini di CCD e, in particolare, di spettri.
Molti degli argomenti elencati sono stati ripetuti molte volte allo scopo di facilitarne l’assimilazione. L’esame tenderà a verificare quanto i contenuti fondamentali
sono stati compresi e se lo studente è in grado di esporli.