pni quesito 9 - ITIS “Mattei”

PNI QUESITO 9
Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli
irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli
irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali.
Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più
numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.
SOLUZIONE:
La cardinalità di un insieme corrisponde al numero di elementi in quell’insieme.
Se tra due insiemi esiste una corrispondenza biunivoca tra tutti i loro elementi, allora quei due insiemi
hanno la stessa cardinalità.
Poiché per ogni coppia di numeri naturali, esiste sempre una coppia di numeri razionali, allora la
cardinalità di N coincide con quella di Q:
se a e b sono numeri naturali, si ha che ad ogni possibile disposizione dei due: (a,b) o (b,a), corrisponde
un numero razionale Q:
a b
e .
b a
Luisa, tuttavia, ha ragione perché la cardinalità dell’insieme dei numeri irrazionali è maggiore di quella
dei numeri naturali. Basti pensare che non esistono corrispondenze biunivoche tra un numero naturale e
numeri come π , ed e .
Giacchi Gianluca